Монотонная сравнительная статика - это подраздел сравнительной статики, в котором основное внимание уделяется условиям, при которых эндогенные переменные претерпевают монотонные изменения (то есть либо увеличиваются, либо уменьшаются) при изменении экзогенных параметров. Традиционно сравнительные результаты в экономике получают с помощью теоремы о неявной функции., подход, который требует вогнутости и дифференцируемости целевой функции, а также внутренности и единственности оптимального решения. Методы монотонной сравнительной статики обычно обходятся без этих предположений. Он фокусируется на основном свойстве, лежащем в основе монотонной сравнительной статики, которое является формой взаимодополняемости между эндогенной переменной и экзогенным параметром. Грубо говоря, проблема максимизации демонстрирует комплементарность, если более высокое значение экзогенного параметра увеличивает предельную отдачу эндогенной переменной. Это гарантирует, что набор решений задачи оптимизации увеличивается по экзогенному параметру.
Основные результаты
Мотивация
Позволять и разреши - семейство функций, параметризованных , где - частично упорядоченный набор (или сокращенно poset). Как устроена переписка варьироваться в зависимости от ?
Стандартный подход сравнительной статики: предположим, что набор компактный интервал и является непрерывно дифференцируемой строго квазивогнутой функцией от. Если является уникальным максимизатором , достаточно показать, что для любой , что гарантирует, что увеличивается в . Это гарантирует смещение оптимума вправо, т. Е.. Этот подход делает различные предположения, в первую очередь о квазивогнутости.
Одномерные задачи оптимизации
Хотя ясно, что означает увеличение уникального оптимального решения, не сразу понятно, что это означает для соответствия увеличиваться в . Стандартное определение, принятое в литературе, следующее.
Определение (строгий порядок множеств): [1] Пусть а также быть подмножествами . Набор доминирует в строгом порядке () если для любого в а также в , у нас есть в а также в .
В частности, если а также , тогда если и только если . Переписка считается возрастающим, если в любое время .
Идея комплементарности между экзогенными и эндогенными переменными формально фиксируется однократными перекрестными различиями.
Определение (функция однократного пересечения): Пусть. потомявляется однократной функцией пересечения, если для любого у нас есть .
Определение (одиночные перекрестные разности): [2] Семейство функций, , подчиняться разностям одиночного пересечения (или удовлетворять свойству одиночного пересечения ), функция - функция одиночного пересечения.
Очевидно, что возрастающая функция - это функция однократного пересечения и, если увеличивается в (в приведенном выше определении для любого ), мы говорим, что подчиняться возрастающим различиям . В отличие от возрастающих различий, одиночные пересекающиеся различия являются порядковым свойством , т. подчиняться одиночным перекрестным отличиям, то так же , где для какой-то функции что строго увеличивается в .
Теорема 1: [3] Определить. Семья подчиняться одиночным перекрестным различиям тогда и только тогда, когда для всех , у нас есть для любой .
- Доказательство: Предположим а также , а также . Мы должны показать, что а также . Нам нужно только рассмотреть случай, когда . С , мы получаем , что гарантирует, что . Более того, чтобы . Если не, что означает (путем однократного пересечения разностей), что , что противоречит оптимальности в . Чтобы показать необходимость однократных пересечений разностей, установите , где . потом для любой гарантирует, что если , тогда . QED
Применение (монопольный выпуск и изменение затрат): монополист выбирает чтобы максимизировать свою прибыль , где - обратная функция спроса и постоянные предельные затраты. Обратите внимание, чтоподчиняются одиночным перекрестным различиям. Действительно, возьмите любой и предположим, что ; для любой такой, что , мы получаем . Согласно теореме 1, выпуск, максимизирующий прибыль, уменьшается по мере увеличения предельных издержек выпуска, т. Е. Когда уменьшается.
Порядок интервального доминирования
Однократные пересечения разностей не являются необходимым условием для увеличения оптимального решения по параметру. Фактически условие необходимо только для увеличиваться в для любого . Как только наборы ограничиваются более узким классом подмножеств, условие одиночных перекрестных разностей больше не требуется.
Определение (интервал): [4] Пусть. Множествоявляется интервал от если, когда а также находятся в , то любой такой, что также в .
Например, если , тогда это интервал но нет . Обозначить.
Определение (порядок интервального доминирования): [5] Семья.подчиняться порядку интервального доминирования (IDO), если для любого а также , такое что , для всех , у нас есть .
Подобно разностям одиночного пересечения, порядок доминирования интервала (IDO) является порядковым свойством. Примером семейства IDO является семейство квазивогнутых функций. где увеличивается в . Такая семья не обязана подчиняться одиночным перекрестным различиям.
Функция является регулярным , если непусто ни для каких , где обозначает интервал .
Теорема 2: [6] Обозначим. Семейство обычных функций подчиняется интервальному порядку доминирования тогда и только тогда, когда увеличивается в для всех интервалов .
- Доказательство: чтобы показать достаточность IDO, возьмите любые два , и предположим, что а также . Нам нужно только рассмотреть случай, когда . По определению , для всех . Кроме того, по IDO у нас есть . Следовательно, . Кроме того, должно быть, что . В противном случае, т. Е. Если , то по IDO имеем , что противоречит . Чтобы показать необходимость IDO, предположим, что существует интервал такой, что для всех . Это значит, что . Есть два возможных нарушения IDO. Одна возможность состоит в том, что . В этом случае по регулярности , набор не пусто, но не содержит что невозможно, так как увеличивается в . Другое возможное нарушение IDO происходит, если но . В этом случае набор либо содержит , что невозможно, так как увеличивается в (обратите внимание, что в этом случае ) или не содержит , что также нарушает монотонность . QED
Следующий результат дает полезные достаточные условия для разностей однократного пересечения и IDO.
Предложение 1: [7] Пусть быть интервалом а также - семейство непрерывно дифференцируемых функций. (i) Если для любого, существует номер такой, что для всех , тогда подчиняются одиночным перекрестным различиям. (ii) Если для любогосуществует неубывающая строго положительная функция такой, что для всех , тогда подчиняться IDO.
Применение (задача оптимальной остановки): [8] В каждый момент времени агент получает прибыль в размере, которые могут быть как положительными, так и отрицательными. Если агент решит остановиться вовремя, текущая стоимость его накопленной прибыли равна
где - ставка дисконтирования. С, функция имеет много поворотных моментов, и они не зависят от ставки дисконтирования. Мы утверждаем, что оптимальное время остановки уменьшается по, т. е. если тогда . Возьми любой. Потом, С положительно и возрастает, предложение 1 говорит, что подчиняются IDO, и по теореме 2 набор оптимальных моментов остановки уменьшается.
Проблемы многомерной оптимизации
Приведенные выше результаты можно распространить на многомерную настройку. Позволятьбыть решеткой . Для любых двух, в , мы обозначаем их супремум (или точную верхнюю границу , или объединение) черези их нижняя грань (или наибольшая нижняя граница , или встреча) по.
Определение (строгий порядок множеств): [9] Пусть быть решеткой и , быть подмножествами . Мы говорим что доминирует в строгом порядке ( ) если для любого в а также в , у нас есть в а также в .
Примеры сильного установленного порядка в высших измерениях.
- Позволять а также , быть некоторыми отрезками в . Четко, где это стандартный заказ на , является решеткой. Следовательно, как было показано в предыдущем разделе если и только если а также ;
- Позволять а также , быть гипер прямоугольниками . То есть существует несколько векторов, , , в такой, что а также , где - естественный покоординатный порядок на . Обратите внимание, чтоэто решетка. Более того, если и только если а также ;
- Позволять быть пространством всех распределений вероятностей с поддержкой, являющейся подмножеством, наделенный порядком стохастического доминирования первого порядка. Обратите внимание, чтоэто решетка. Позволять, обозначают множества распределений вероятностей с поддержкой а также соответственно. Потом, относительно если и только если а также .
Определение (квазисупермодулярная функция): [10] Пустьбыть решеткой. Функцияявляется квазисупермодулярным ( QSM ), если
Функция называется супермодульной функцией, еслиКаждая супермодульная функция квазисупермодулярна. Как и в случае разностей единичных пересечений, и в отличие от супермодульности, квазисупермодулярность является порядковым свойством. То есть, если функция квазисупермодулярна, то и функция , где - некоторая строго возрастающая функция.
Теорема 3: [11] Пусть решетка, частично упорядоченный набор, и , подмножества . Дано, обозначим от . потом для любой а также
- Доказательство:. Позволять , , а также , . С а также , тогда . По квазисупермодульности , а за счет разностей одиночных пересечений . Следовательно . Теперь предположим, что . потом . По квазисупермодульности , а путем однократного пересечения разностей . Но это противоречит тому, что . Следовательно, .
- . Набор а также . Потом, и поэтому , что гарантирует, что если , тогда . Чтобы показать, что одиночные пересечения также сохраняются, установите , где . потом для любой гарантирует, что если , тогда . QED
Применение (Производство с несколькими товарами): [12] Пусть обозначают вектор входов (взятых из подрешетки из ) фирмы, максимизирующей прибыль, вектор входных цен, и входной вектор отображения функции дохода к выручке (в ). Прибыль фирмы составляет. Для любой, , , увеличивается в . Следовательно,имеет увеличивающиеся различия (и поэтому он подчиняется разностям одиночного пересечения) Более того, если супермодульна, то и . Следовательно, он квазисупермодулярный и по теореме 3 для .
Проблемы с ограниченной оптимизацией
В некоторых важных экономических приложениях соответствующее изменение набора ограничений не может быть легко понято как увеличение относительно строгого порядка набора, и поэтому теорему 3 нелегко применить. Например, рассмотрим потребителя, который максимизирует функцию полезности.с учетом бюджетных ограничений. По цене в и богатство , его бюджет и его требование установлено на есть (по определению) . Базовым свойством потребительского спроса является нормальность, что означает (в случае, когда спрос уникален), что спрос на каждый товар увеличивается в богатстве. Теорема 3 не может быть непосредственно применена для получения условий нормальности, поскольку если (когда происходит от евклидова порядка). В этом случае имеет место следующий результат.
Теорема 4: [13] Предположим,является супермодульным и вогнутым. Тогда соответствие спроса является нормальным в следующем смысле: предположим,, а также ; тогда есть а также такой, что а также .
Супермодульность одно только гарантирует, что для любого а также , . Обратите внимание, что четыре точки, , , а также образуют прямоугольник в евклидовом пространстве (в том смысле, что , , а также а также ортогональны). С другой стороны, супермодульность и вогнутость вместе гарантируют, что для любой , где . В этом случае, что особенно важно, четыре точки, , , а также образуют обратный параллелограмм в евклидовом пространстве.
Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности
Позволять , а также - семейство действительных функций, определенных на которые подчиняются одиночным различиям скрещивания или порядку доминирования интервалов. Теорема 1 и 3 говорят нам, что увеличивается в . Устный переводчтобы быть состоянием мира, это означает, что оптимальное действие увеличивается в состоянии, если состояние известно. Предположим, однако, что действие принято до реализовано; тогда кажется разумным, что оптимальное действие должно увеличиваться с вероятностью более высоких состояний. Чтобы сформулировать это понятие формально, пусть - семейство функций плотности, параметризованных в позе , где выше связан с более высокой вероятностью более высоких состояний либо в смысле стохастического доминирования первого порядка, либо в смысле свойства монотонного отношения правдоподобия . Делая выбор в условиях неопределенности, агент максимизирует
Для увеличиваться в , достаточно (по теоремам 1 и 2), чтобы семейство подчиняться одиночным пересечениям или порядку доминирования интервала. Результаты этого раздела дают условие, при котором это выполняется.
Теорема 5: предположим подчиняется возрастающим различиям. Если упорядочен относительно стохастического доминирования первого порядка, то подчиняется возрастающим различиям.
- Доказательство: Для любого , определять . Потом, , или эквивалентно . С подчиняется возрастающим различиям, увеличивается в и гарантии стохастического доминирования первого порядка увеличивается в . QED
В следующей теореме X может быть либо «разностью одиночного пересечения», либо «порядком доминирования интервала».
Теорема 6: [14] Предположим, (для ) Слушается X . Тогда семьяподчиняется X, если упорядочен относительно свойства монотонного отношения правдоподобия.
Условие монотонного отношения правдоподобия в этой теореме нельзя ослабить, как показывает следующий результат.
Предложение 2: Пусть а также - две вероятностные массовые функции, определенные на и предположим не доминирует относительно свойства монотонного отношения правдоподобия. Тогда есть семейство функций, определенные на , которые подчиняются одиночным перекрестным различиям, таким, что , где (для ).
Применение (задача оптимального портфеля): агент максимизирует ожидаемую полезность с помощью строго возрастающей функции полезности Бернулли.. (Вогнутость не предполагается, поэтому мы позволяем агенту проявлять любовь к риску.) Богатство агента,, можно вложить в безопасный или рискованный актив. Цены двух активов нормализованы к 1. Безопасный актив дает постоянную доходность., а возврат рискованного актива регулируется распределением вероятностей . Позволятьобозначают вложение агента в рискованный актив. Тогда богатство агента в государстве является . Агент выбирает максимизировать
Обратите внимание, что , где , подчиняется единичным пересекающимся (но не обязательно возрастающим) различиям. По теореме 6 подчиняется одиночным перекрестным различиям, и, следовательно, увеличивается в , если упорядочен относительно свойства монотонного отношения правдоподобия.
Агрегация единичного пересечения собственности
Хотя сумма возрастающих функций также увеличивается, ясно, что свойство единственного пересечения не обязательно должно сохраняться путем агрегирования. Чтобы сумма отдельных перекрестных функций имела одно и то же свойство, необходимо, чтобы функции были связаны друг с другом определенным образом.
Определение (монотонное отношение со знаком): [15] Пустьбыть позетом. Две функцииподчиняться монотонности отношения со знаком {-}, если для любого, имеет место следующее:
- если а также , тогда
- если а также , тогда
Предложение 3: Пусть а также - две функции одиночного пересечения. потом является однократной функцией пересечения для любых не {-} отрицательных скаляров а также если и только если а также подчиняться знаковой монотонности.
- Доказательство: предположим, что а также . Определять , чтобы . С функция одиночного пересечения, должно быть, что , для любой . Кроме того, напомним, что поскольку - функция одиночного пересечения, то . Преобразуя указанное выше неравенство, заключаем, что
- Чтобы доказать обратное, без ограничения общности предположим, что . Предположим, что
- Если оба а также , тогда а также так как обе функции являются однократным пересечением. Следовательно, . Предположим, что а также . С а также подчиняться знаковой {-} монотонности соотношения, должно быть, что
- С - функция одиночного пересечения, , и другие QED
Этот результат можно обобщить на бесконечные суммы в следующем смысле.
Теорема 7: [16] Пусть - пространство с конечной мерой, и предположим, что для каждого , - ограниченная и измеримая функция от . потом является единственной функцией пересечения, если для всех , , пара функций а также из удовлетворяют знаковой монотонности. Это условие также необходимо, если содержит все одноэлементные наборы и требуется, чтобы быть единственной функцией пересечения для любой конечной меры .
Применение (проблема монополии в условиях неопределенности): [17] Фирма сталкивается с неопределенностью в отношении спроса на ее продукцию. и прибыль в государстве дан кем-то , где предельная стоимость и обратная функция спроса в состоянии . Фирма максимизирует
где это вероятность состояния а также - функция полезности Бернулли, отражающая отношение фирмы к неопределенности. По теореме 1 увеличивается в (т. е. объем производства падает вместе с предельными издержками), если семья подчиняется разностям одиночного скрещивания. Последний по определению говорит, что для любого, функция
- функция одиночного пересечения. Для каждого, функция однократного пересечения . Однако, если линейно, в целом не будет увеличиваться . Применяя теорему 6, является однократной функцией пересечения, если для любого , функции а также (из ) подчиняются знаковой монотонности. Это гарантировано, когда (i) уменьшается в и увеличиваясь в а также подчиняется возрастающим различиям; и (ii) дважды дифференцируема, с , и подчиняется уменьшению абсолютного неприятия риска (DARA).
Смотрите также
Избранная литература по монотонной сравнительной статике и ее приложениям
- Основные методы - Милгром и Шеннон (1994), [18] Милгром (1994), [19] Шеннон (1995), [20] Топкис (1998), [21] Эдлин и Шеннон (1998), [22] Эти ( 2002), [23] Quah (2007), [24] Quah and Strulovici (2009, 2012), [25] Кукушкин (2013); [26]
- Взаимодополняемость производства и их последствия - Милгром и Робертс (1990a, 1995); [27] Топкис (1995); [28]
- Игры со стратегической взаимодополняемостью - Милгром и Робертс (1990b); [29] Топкис (1979); [30] Вивес (1990); [31]
- Сравнительная статика проблемы оптимизации потребителей - Антониаду (2007); [32] Quah (2007); [33] Шираи (2013); [34]
- Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности - Эти (2002); [35] Куах и Струловичи (2009, 2012); [36]
- Монотонная сравнительная статика для моделей политики - Ганс и Смарт (1996), [37] Эшворт и Буэно де Мескита (2006); [38]
- Сравнительная статика задач оптимальной остановки - Куах и Струловичи (2009, 2013); [39]
- Монотонные байесовские игры - Этей (2001); [40] Макадамс (2003); [41] Куах и Струловичи (2012); [42]
- Байесовские игры со стратегической взаимодополняемостью - Ван Зандт (2010); [43] Вивес и Ван Зандт (2007); [44]
- Теория аукционов - Этей (2001); [45] Макадамс (2007a, b); [46] Рени и Замир (2004); [47]
- Сравнение информационных структур - Quah и Strulovici (2009); [48]
- Сравнительная статика в промышленной организации - Амир и Грило (1999); [49] Амир и Лэмбсон (2003); [50] Вивес (2001); [51]
- Неоклассический оптимальный рост - Амир (1996b); [52] Датта, Мирман и Реффетт (2002); [53]
- Многоступенчатые игры - Vives (2009 г.); [54]
- Динамические стохастические игры с бесконечным горизонтом - Амир (1996а, 2003); [55] Бальбус, Реффетт и Возни (2013, 2014) [56]
Рекомендации
- ^ См. Veinott (1992): Программирование на решетке: качественная оптимизация и равновесие . MS Stanford.
- ^ См. Милгром П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика», Econometrica , 62 (1), 157–180; или Quah, JK-H., и B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Milgrom, П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика,» Эконометрика , 62 (1), 157-180.
- ^ . Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009): «сравнительная статика, информативная, а интервал Преобладание заказ,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992.
- ^ . Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009): «сравнительная статика, информативная, а интервал Преобладание заказ,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992.
- ^ . Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009): «сравнительная статика, информативная, а интервал Преобладание заказ,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992.
- ^ . Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009): «сравнительная статика, информативная, а интервал Преобладание заказ,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992.
- ^ Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009):. «Сравнительная статика, информативный, а интервал Преобладание заказа,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992; и Куах, Дж. К. Х., и Б. Струловичи (2013): «Дисконтирование, ценности и решения», Журнал политической экономии , 121 (5), 896-939.
- ^ См. Veinott (1992): Программирование на решетке: качественная оптимизация и равновесие . MS Stanford.
- ^ Milgrom, П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика,» Эконометрика , 62 (1), 157-180.
- ^ Milgrom, П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика,» Эконометрика , 62 (1), 157-180.
- ^ См. Милгром П. и Дж. Робертс (1990a): «Экономика современного производства: технология, стратегия и организация», American Economic Review , 80 (3), 511–528; или Топкис, Д.М. (1979): «Точки равновесия в субмодульных играх с ненулевой суммой n человек», SIAM Journal of Control and Optimization , 17, 773–787.
- ^ Quah, JK-H. (2007): «Сравнительная статистика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica , 75 (2), 401–431.
- ^ См. Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности», Ежеквартальный журнал экономики , 117 (1), 187–223; для случая единичных пересекающихся различий и Quah, JK-H. и B. Strulovici (2009): «Сравнительная статика, информативность и порядок интервального доминирования», Econometrica , 77 (6), 1949–1992; для случая IDO.
- ^ Quah, JK-H., И B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Quah, JK-H., И B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Quah, JK-H., И B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Milgrom, П. и К. Шеннон (1994): «Монотонная сравнительная статика,» Эконометрика , 62 (1), 157-180.
- ^ Милгром, П. (1994): «Сравнение оптимумов: влияют ли упрощающие предположения на выводы?», Журнал политической экономии , 102 (3), 607–15.
- ^ Шеннон, К. (1995): «Слабая и сильная монотонная сравнительная статика», Экономическая теория , 5 (2), 209–27.
- ^ Topkis, DM (1998): супермодулярности и взаимодополняемость , Frontiers экономических исследований, Princeton University Press, ISBN 9780691032443 .
- ^ Edlin А.С., Шеннон К. (1998): «Строгая Монотонность в сравнительной статике,» Журнал экономической теории , 81 (1), 201-219.
- ^ Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности», Ежеквартальный журнал экономики , 117 (1), 187–223.
- ^ Quah, JK-H. (2007): «Сравнительная статистика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica , 75 (2), 401–431.
- ^ Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009):. «Сравнительная статика, информативный, а интервал Преобладание заказа,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992; Quah, JK-H., And B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Кукушкин, Н. (2013): «Монотонная сравнительная статика: изменения предпочтений по сравнению с изменениями в допустимом множестве», Экономическая теория , 52 (3), 1039–1060.
- ^ Милгром П. и Дж. Робертс (1990a): «Экономика современного производства: технология, стратегия и организация», American Economic Review , 80 (3), 511–528; Милгром П. и Дж. Робертс (1995): «Дополнительные и подходящие. Стратегия, структура и организационные изменения в производстве », Учетно-экономический журнал , 19, 179–208.
- ^ Topkis, DM (1995): «Сравнительная статика фирмы,» Журнал экономической теории , 67, 370-401.
- ^ Милгром, П., и Дж. Робертс (1990b): «Рационализируемость, обучение и равновесие в играх со стратегическими дополнениями», Econometrica , 58 (6), 1255–1277.
- ^ Topkis, DM (1979): «Равновесные Очки в ненулевом Сумма п-Person субмодулярных игр,» СИ журнал контроля и оптимизации , 17, 773-787.
- ^ Вивес, X. (1990): «Равновесие по Нэшу со стратегической дополнительностью», Журнал математической экономики , 19, 305–321.
- ↑ Antoniadou, E. (2007): «Сравнительная статика для потребительской проблемы», Economic Theory , 31, 189–203, Exposita Note.
- ^ Quah, JK-H. (2007): «Сравнительная статистика задач оптимизации с ограничениями», Econometrica , 75 (2), 401–431.
- ^ Шираи, К. (2013): «Вариации благосостояния и сравнительная статика спроса», Экономическая теория , 53 (2) Том 53, 315-333.
- ^ Эти, С. (2002): «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности», Ежеквартальный журнал экономики , 117 (1), 187–223.
- ^ Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009):. «Сравнительная статика, информативный, а интервал Преобладание заказа,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992; Quah, JK-H., And B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Gans, JS, и М. Смарт (1996): «Большинство голосования с предпочтениями одного пересечения,» Журнал Public Economics , 59 (2), 219-237.
- ^ Эшворт, С., и Э. Буэно де Мескита (2006): «Монотонная сравнительная статика для моделей политики», Американский журнал политических наук , 50 (1), 214–231.
- ^ Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009):. «Сравнительная статика, информативный, а интервал Преобладание заказа,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992; Куах, JK-H., И Б. Струловичи (2013): «Дисконтирование, ценности и решения», Журнал политической экономии , 121 (5), 896-939.
- ^ Athey, S. (2001): «Одиночный Crossing Свойство и существование чистых стратегии равновесий в играх с неполной информацией,» Эконометрика , 69 (4), 861-889.
- ^ МакАдамс, D. (2003): «Изотон Равновесие в играх с неполной информацией,» Эконометрика , 71 (4), 1191-1214.
- ^ Quah, JK-H., И B. Strulovici (2012): «Агрегирование свойства единственного пересечения», Econometrica , 80 (5), 2333–2348.
- ^ Ван Зандт, Т. (2010): «Промежуточное равновесие Байеса-Нэша на пространствах универсального типа для супермодульных игр», Журнал экономической теории , 145 (1), 249–263.
- ↑ Vives, X., and T. Van Zandt (2007): «Монотонные равновесия в байесовских играх со стратегическими дополнениями», Журнал экономической теории , 134 (1), 339–360.
- ^ Athey, S. (2001): «Одиночный Crossing Свойство и существование чистых стратегии равновесий в играх с неполной информацией,» Эконометрика , 69 (4), 861-889.
- ↑ McAdams, D. (2007a): «Монотонность в асимметричных аукционах первой цены с присоединением», Международный журнал теории игр , 35 (3), 427–453; Макадамс, Д. (2007b): «О нарушении монотонности аукционов с единой ценой», Журнал экономической теории , 137 (1), 729–732.
- ^ Рени, PJ, и С. Замир (2004): «О существовании чистой стратегии монотонных равновесий в асимметричной первой цене аукционах,» Эконометрика , 72 (4), 1105-1125.
- ^ . Quah, JK-Н, и Б. Strulovici (2009): «сравнительная статика, информативная, а интервал Преобладание заказ,» Эконометрика , 77 (6), 1949-1992.
- ↑ Amir, R., and I. Grilo (1999): «Штакельберг против равновесия Курно», Игры и экономическое поведение , 26 (1), 1–21.
- ^ Амир, Р., и В. Э. Лэмбсон (2003): «Вход, выход и несовершенная конкуренция в долгосрочной перспективе», Журнал экономической теории , 110 (1), 191–203.
- ^ Вивес, X. (2001): Ценообразование олигополии: старые идеи и новые инструменты . MIT Press, ISBN 9780262720403 .
- ^ Амир, Р. (1996b): «Анализ чувствительности многосекторной оптимальной экономической динамики», Журнал математической экономики , 25, 123–141.
- ^ Датта, М., Л. Дж. Мирман и К. Л. Реффетт (2002): «Существование и единственность равновесия в искаженных динамических экономиках с капиталом и трудом», Журнал экономической теории , 103 (2), 377–410.
- ↑ Vives, X. (2009): «Стратегическая взаимодополняемость в многоэтапных играх», Economic Theory , 40 (1), 151–171.
- ^ Амир, Р. (1996a): «Непрерывные стохастические игры накопления капитала с выпуклыми переходами», Игры и экономическое поведение , 15 (2), 111-131; Амир, Р. (2003): «Стохастические игры в экономике и смежных областях: обзор», в « Стохастические игры и приложения» , под ред. А. Нейман и С. Сорин, Институты перспективных наук НАТО. Серия D: Поведенческие и социальные науки. Kluwer Academin Press, Бостон, ISBN 978-94-010-0189-2 .
- ^ Бальбус, л., К. Reffett и Ł. Woźny (2013): «Марковские стационарные равновесия в стохастических супермодульных играх с несовершенной частной и общедоступной информацией», Динамические игры и приложения , 3 (2), 187–206; Бальбус, Э., К. Реффетт и Э. Войны (2014): «Конструктивное исследование марковских равновесий в стохастических играх со стратегическими дополнениями», Журнал экономической теории , 150, с. 815–840.