Теория множественного рассеяния (MST) - это математический аппарат, который используется для описания распространения волны через совокупность рассеивателей. Примерами являются акустические волны, распространяющиеся через пористую среду, рассеяние света на каплях воды в облаке или рассеяние рентгеновских лучей от кристалла. Более недавнее применение - распространение квантовых волн материи, таких как электроны или нейтроны, через твердое тело.
Как было отмечено Ян Корринги , [1] происхождение этой теории можно проследить до 1892 г. статье лорда Рэлея . Важная математическая формулировка теории была сделана Полом Питером Эвальдом . [2] Корринга и Эвальд признали влияние на их работу докторской диссертации Николая Кастерина 1903 года , части которой были опубликованы на немецком языке в Трудах Королевской академии наук в Амстердаме при спонсорской поддержке Хайке Камерлинг-Оннес . [3] Формализм MST широко используется для расчетов электронной структуры, а также теории дифракции., и это тема многих книг. [4] [5]
Подход многократного рассеяния - лучший способ получить одноэлектронные функции Грина . Эти функции отличаются от функций Грина, используемых для решения проблемы многих тел , но они являются лучшей отправной точкой для расчетов электронной структуры систем конденсированного состояния , которые не могут быть рассмотрены с помощью зонной теории.
Термины «множественное рассеяние» и «теория множественного рассеяния» часто используются в других контекстах. Так, например, описывается теория рассеяния быстрых заряженных частиц в веществе Мольера [6] .
Математическая формулировка
Уравнения MST могут быть получены с помощью различных волновых уравнений, но одним из самых простых и полезных является уравнение Шредингера для электрона, движущегося в твердом теле. С помощью теории функционала плотности эту задачу можно свести к решению одноэлектронного уравнения
где эффективный одноэлектронный потенциал, , является функционалом плотности электронов в системе.
В обозначениях Дирака волновое уравнение можно записать как неоднородное уравнение: , где - оператор кинетической энергии. Решение однородного уравнения есть, где . Формальным решением неоднородного уравнения является сумма решения однородного уравнения с частным решением неоднородного уравнения, где . Это уравнение Липпмана – Швингера , которое также можно записать. T-матрица определяется как.
Предположим, что потенциал это сумма неперекрывающиеся потенциалы, . Физический смысл этого состоит в том, что он описывает взаимодействие электрона с кластером атомы, ядра которых расположены в позициях . Определить оператора чтобы можно записать в виде суммы . Вставка выражений для а также в определение приводит к
- ,
так , где - матрица рассеяния для одного атома. Итерирование этого уравнения приводит к
- .
Таким образом, решение уравнения Липпмана-Швингера может быть записано как сумма приходящей волны на любом участке и исходящая волна с этого сайта
- .
Сайт Мы решили сосредоточить внимание на любом из сайтов в кластере. Входящая волна на этом сайте - это входящая волна в кластере и исходящие волны со всех других сайтов.
- .
Исходящая волна с сайта определяется как
- .
Эти последние два уравнения являются фундаментальными уравнениями многократного рассеяния.
Чтобы применить эту теорию к дифракции рентгеновских лучей или нейтронов, мы вернемся к уравнению Липпмана – Швингера :. Предполагается, что рассеяние от узла очень мало, поэтому или же . Приближение Борна используется для вычисления Т-матрицы, которая просто означает , что заменяется на . Плоская волна падает на участок, а сферическая волна выходит из него. Уходящая волна от кристалла определяется конструктивной интерференцией волн от узлов. Развитие этой теории связано с включением членов высшего порядка в полную матрицу рассеяния, такой как. Эти члены особенно важны при рассеянии заряженных частиц, рассмотренном Мольером.
Теория многократного рассеяния электронных состояний в твердых телах
В 1947 году Корринга указал, что уравнения многократного рассеяния можно использовать для вычисления стационарных состояний в кристалле, для которых число рассеивателей уходит в бесконечность. [7] Установив приходящую на кластер волну и исходящую от кластера волну равной нулю, он записал первое многократное рассеяние как
- .
Простое описание этого процесса состоит в том, что электроны разбегаются от одного атома к другому до бесконечности.
Поскольку ограничены в пространстве и не перекрываются, между ними есть промежуточная область, внутри которой потенциал является постоянной величиной, обычно принимаемой равной нулю. В этой области уравнение Шредингера принимает вид, где . Приходящая волна на месте Таким образом, можно записать в позиционном представлении
- ,
где - неопределенные коэффициенты и . Функция Грина может быть расширена в интерстициальной области.
- ,
и исходящую функцию Ганкеля можно записать
- .
Это приводит к набору однородных одновременных уравнений, определяющих неизвестные коэффициенты
- ,
которое является принципиальным решением уравнений многократного рассеяния для стационарных состояний. Эта теория очень важна для исследований по физике конденсированного состояния. [4] [5]
Периодические твердые тела, один атом на элементарную ячейку
Расчет стационарных состояний значительно упрощается для периодических твердых тел, в которых все потенциалы такие же, и ядерные позиции образуют периодический массив. [7] Теорема Блоха верна для такой системы, что означает, что решения уравнения Шредингера могут быть записаны как блоховская волна .
Более удобно иметь дело с симметричной матрицей для коэффициентов, и это можно сделать, задав
- .
Эти коэффициенты удовлетворяют системе линейных уравнений , с элементами матрицы существование
- ,
и являются элементами, обратными t-матрице.
Для блоховской волны коэффициенты зависят от узла только через фазовый множитель, , а удовлетворяют однородным уравнениям
- ,
где а также .
Уолтер Кон и Норман Ростокер вывели ту же теорию, используя вариационный метод Кона. Он называется методом Корринги – Кона – Ростокера (метод ККР) для расчетов по зонной теории. Эвальд вывел математически сложный процесс суммирования, который позволяет вычислять структурные константы,. Собственные значения энергии периодического твердого тела для конкретного, , являются корнями уравнения . Собственные функции находятся путем решения для с участием . Размерность этих матричных уравнений технически бесконечна, но без учета всех вкладов, которые соответствуют квантовому числу углового момента больше чем , у них есть измерение . Обоснованием этого приближения является то, что матричные элементы t-матрицы очень маленькие, когда а также больше чем , а элементы обратной матрицы очень большие.
В первоначальных выводах метода KKR использовались сферически-симметричные потенциалы маффин-тин. Такие потенциалы имеют то преимущество, что матрица, обратная матрице рассеяния, диагональна по
- ,
где представляет собой фазовый сдвиг рассеяния, который появляется при анализе парциальных волн в теории рассеяния. Также легче визуализировать волны, рассеянные от одного атома к другому, иможно использовать во многих приложениях. Приближение маффин-олова подходит для большинства металлов в плотной упаковке. Его нельзя использовать для расчета сил между атомами или для таких важных систем, как полупроводники.
Расширения теории
Теперь известно, что метод KKR можно использовать с несферическими потенциалами, заполняющими пространство. [4] [8] Его можно расширить для обработки кристаллов с любым числом атомов в элементарной ячейке. Существуют версии теории, которые можно использовать для расчета поверхностных состояний . [9]
Аргументы, которые приводят к решению многократного рассеяния для одночастичной орбитали можно также использовать для формулировки версии одночастичной функции Грина для многократного рассеяния которое является решением уравнения
- .
Потенциал та же теория функционала плотности, которая использовалась в предыдущем обсуждении. С помощью этой функции Грина и метода Корринги – Кона – Ростокера получается приближение когерентного потенциала Корринги – Кона – Ростокера (KKR-CPA). [10] KKR-CPA используется для расчета электронных состояний для сплавов твердых растворов замещения, для которых теорема Блоха не выполняется. Электронные состояния для еще более широкого диапазона структур конденсированного состояния могут быть найдены с помощью метода локально самосогласованного многократного рассеяния (LSMS), который также основан на одночастичной функции Грина. [11]
Рекомендации
- ^ Дж. Корринга (1994). «Ранняя история теории множественного рассеяния для упорядоченных систем». Отчеты по физике . 238 (6): 341–360. Bibcode : 1994PhR ... 238..341K . DOI : 10.1016 / 0370-1573 (94) 90122-8 .
- ^ П.П. Эвальд (1916). «Об основах кристаллооптики» (PDF) . Annalen der Physik . 354 (1): 1–38. Полномочный код : 1916AnP ... 354 .... 1E . DOI : 10.1002 / andp.19163540102 .
- ^ Н. Кастерин (1898). «О рассеянии акустических волн в неоднородной среде». Королевская академия наук в Амстердаме . Протокол очередных заседаний физико-математического факультета 26 февраля: 460–480.
- ^ а б в Антониос Гонис; Уильям Х. Батлер (2000). Многократное рассеяние в твердых телах . Springer . ISBN 978-0387988535.
- ^ а б Ян Ван; Г. Малькольм Стокс; Дж. Сэм Фолкнер (2015). Бета-версия Multiple Scattering (Kindle Interactive ed.). Amazon . ASIN B015NFAN6M .
- ^ А.А. Бедняков (2014). «О теории многократного рассеяния заряженных частиц Мольера (1947–1948) и ее критике в последующие годы». Физика частиц и ядер . 45 (5): 991–999. Bibcode : 2014PPN .... 45..991B . DOI : 10.1134 / s1063779614050037 .
- ^ а б Дж. Корринга (1947). «К расчету энергии блоховской волны в металле». Physica . 13 (6): 392–400. Bibcode : 1947Phy .... 13..392K . DOI : 10.1016 / 0031-8914 (47) 90013-X .
- ^ А. Русану; Акции GM; Ю. Ван; Дж. С. Фолкнер (2011). «Функции Грина в теории многократного рассеяния с полным потенциалом» (PDF) . Physical Review B . 84 (3): 035102. Bibcode : 2011PhRvB..84c5102R . DOI : 10.1103 / PhysRevB.84.035102 .
- ^ Л. Шуньог; Б. Эйфалусси; П. Вайнбергер; Й. Коллар (1994). «Самосогласованная локализованная схема KKR для поверхностей и интерфейсов». Physical Review B . 49 (4): 2721–2729. Bibcode : 1994PhRvB..49.2721S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.49.2721 .
- ^ Акции GM; WM Temmerman; BL Gyorffy (1978). "Полное решение уравнений аппроксимации когерентного потенциала Корринги-Кона-Ростокера: сплавы Cu-Ni". Письма с физическим обзором . 41 (5): 339–343. Bibcode : 1978PhRvL..41..339S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.41.339 .
- ^ Ян Ван; Акции GM; WA Shelton; DMC Nicholson; З. Шотек; WM Temmerman (1995). "Подход многократного рассеяния порядка N к расчетам электронной структуры". Письма с физическим обзором . 75 (15): 2867–2870. Bibcode : 1995PhRvL..75.2867W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.75.2867 . PMID 10059425 .