Уравнение Липпмана – Швингера

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Амплитуда вероятности Распределение вероятностей Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Фокское пространство
Эффекты Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома. Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер Функциональная интеграция
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Транзакционный
Дополнительные темы Гипотеза термализации собственного состояния Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Blackett Блох Бом Бор Рожденный Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Уравнение Липпмана – Швингера (названное в честь Бернарда Липпмана и Джулиана Швингера ^[1] ) является одним из наиболее часто используемых уравнений для описания столкновений частиц - или, точнее, рассеяния  - в квантовой механике . Он может использоваться при рассеянии молекул, атомов, нейтронов, фотонов или любых других частиц и важен, главным образом, в атомной, молекулярной и оптической физике , ядерной физике и физике элементарных частиц , а также для задач сейсмического рассеяния в геофизике.. Он связывает рассеянную волновую функцию с взаимодействием, вызывающим рассеяние (потенциал рассеяния), и, следовательно, позволяет рассчитать соответствующие экспериментальные параметры ( амплитуду рассеяния и сечения ).

Самым фундаментальным уравнением для описания любого квантового явления, включая рассеяние, является уравнение Шредингера . В физических задачах это дифференциальное уравнение необходимо решать с вводом дополнительного набора начальных и / или граничных условий для конкретной исследуемой физической системы. Уравнение Липпмана – Швингера эквивалентно уравнению Шредингера плюс типичные граничные условия для задач рассеяния. Чтобы включить граничные условия, уравнение Липпмана – Швингера должно быть записано как интегральное уравнение . ^[2] Для задач рассеяния уравнение Липпмана – Швингера часто более удобно, чем исходное уравнение Шредингера.

Общий вид уравнения Липпмана – Швингера (на самом деле, два уравнения показаны ниже, одно для знака, а другое для знака): ^[3]${\displaystyle +\,}$${\displaystyle -\,}$

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$

Потенциальная энергия описывает взаимодействие двух сталкивающихся систем. Гамильтониан описывает ситуацию , в которой две системы бесконечно далеки друг от друга и не взаимодействуют. Его собственные функции - это, а его собственные значения - это энергии . Наконец, это математическая техническая сторона, необходимая для вычисления интегралов, необходимых для решения уравнения. Это следствие причинности, гарантирующее, что рассеянные волны состоят только из исходящих волн. Это обеспечивается принципом предельного поглощения .${\displaystyle V\,}$ ${\displaystyle H_{0}\,}$${\displaystyle |\phi \rangle \,}$${\displaystyle E\,}$${\displaystyle i\epsilon \,}$

Использование [ править ]

Уравнение Липпмана – Швингера полезно в очень большом количестве ситуаций, связанных с рассеянием двух тел. Для трех или более сталкивающихся тел это не работает из-за математических ограничений; Вместо этого можно использовать уравнения Фаддеева . ^[4] Однако существуют приближения, которые могут свести задачу многих тел к набору задач двух тел во множестве случаев. Например, в столкновении электронов с молекулами могут быть задействованы десятки или сотни частиц. Но феномен можно свести к задаче двух тел, описав все потенциалы частиц, составляющих молекулу, вместе с псевдопотенциалом . ^[5]В этих случаях можно использовать уравнения Липпмана – Швингера. Конечно, основной мотивацией этих подходов также является возможность выполнять вычисления с гораздо меньшими вычислительными затратами.

Вывод [ править ]

Будем предполагать, что гамильтониан можно записать как

${\displaystyle H=H_{0}+V}$

где H ₀ - свободный гамильтониан (или, в более общем смысле, гамильтониан с известными собственными векторами). Например, в нерелятивистской квантовой механике H ₀ может быть

${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}}$.

Интуитивно V - это энергия взаимодействия системы. Пусть имеется собственное состояние из H ₀ :

${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle }$.

Теперь, если мы добавим взаимодействие в смесь, уравнение Шредингера будет выглядеть так:${\displaystyle V}$

${\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$.

Теперь рассмотрим теорему Геллмана – Фейнмана , которая требует, чтобы собственные значения энергии гамильтониана непрерывно изменялись с непрерывным изменением гамильтониана. Поэтому желаем, чтобы как . Наивным решением этого уравнения было бы${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$${\displaystyle V\to 0}$

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle }$.

где обозначение 1 / обозначает обратное из A . Однако E - H ₀ является сингулярным, поскольку E является собственным значением H ₀ . Как описано ниже, эта сингулярность устраняется двумя различными способами, слегка усложняя знаменатель, чтобы дать себе немного места для маневра [1] :

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle }$.

Путем вставки полного набора состояний свободных частиц

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle }$,

уравнение Шредингера превращается в интегральное уравнение. Предполагается, что состояния «вход» (+) и «выход» (-) также образуют основы , в далеком прошлом и далеком будущем, соответственно, имея вид состояний свободных частиц, но являясь собственными функциями полного гамильтониана. Таким образом, наделяя их индексом, уравнение принимает вид

${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi _{\alpha }\rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }^{(\pm )}|\phi _{\beta }\rangle }{E_{\alpha }-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }^{(\pm )}=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle }$.

Методы решения [ править ]

С математической точки зрения уравнение Липпмана – Швингера в координатном представлении является интегральным уравнением типа Фредгольма. Это может быть решено дискретизацией . Поскольку оно эквивалентно не зависящему от времени дифференциальному уравнению Шредингера с соответствующими граничными условиями, оно также может быть решено численными методами для дифференциальных уравнений. В случае сферически-симметричного потенциала его обычно решают с помощью парциального волнового анализа . Для высоких энергий и / или слабого потенциала это также может быть решено пертурбативно с помощью ряда Борна${\displaystyle V}$. Метод удобен также в случае физики многих тел, как и в описании атомных, ядерных или молекулярных столкновений является метод R-матрицы из Вигнера и Эйзенбуда. Другой класс методов основан на сепарабельном разложении потенциала или оператора Грина, как метод цепных дробей Горачека и Сасакавы. Очень важный класс методов основан на вариационных принципах, например, метод Швингера-Ланцоша, сочетающий вариационный принцип Швингера с алгоритмом Ланцоша .

Интерпретация состояний in и out [ править ]

Парадигма S-матрицы [ править ]

В S-матричной формулировки физики частиц , которые был впервые Уилер среди других, ^[6] все физические процессы моделируются в соответствии со следующей парадигмы. ^[7]

Один начинается с невзаимодействующего многочастичного состояния в далеком прошлом. Невзаимодействие не означает, что все силы отключены, и в этом случае, например, протоны развалятся, а скорее, что существует гамильтониан H ₀ без взаимодействия , для которого связанные состояния имеют одинаковый спектр энергетических уровней в качестве фактического Гамильтона Н . Это начальное состояние называется состоянием « включено» . Интуитивно он состоит из элементарных частиц или связанных состояний, которые достаточно хорошо разделены, так что их взаимодействия друг с другом игнорируются.

Идея состоит в том, что любой физический процесс, который мы пытаемся изучить, может быть смоделирован как процесс рассеяния этих хорошо разделенных связанных состояний. Этот процесс описывается полным гамильтонианом H , но как только он завершается, все новые элементарные частицы и новые связанные состояния снова разделяются, и обнаруживается новое невзаимодействующее состояние, называемое состоянием выхода . S-матрица более симметрична с точки зрения теории относительности, чем гамильтониан, потому что для ее определения не требуется выбор временных интервалов.

Эта парадигма позволяет с поразительной точностью вычислить вероятности всех процессов, которые мы наблюдали за 70 лет экспериментов с коллайдерами частиц. Но многие интересные физические явления явно не вписываются в эту парадигму. Например, если кто-то хочет рассмотреть динамику внутри нейтронной звезды, иногда он хочет знать больше, чем то, во что она в конечном итоге распадется. Другими словами, кого-то могут интересовать измерения, не относящиеся к асимптотическому будущему. Иногда асимптотическое прошлое или будущее даже недоступно. Например, вполне возможно, что до Большого взрыва не было прошлого .

В 1960-х годах парадигма S-матрицы была возведена многими физиками в ранг фундаментального закона природы. В теории S-матрицы утверждалось, что любая величина, которую можно измерить, должна быть найдена в S-матрице для некоторого процесса. Эта идея была вдохновлена ​​физической интерпретацией, которую методы S-матрицы могли дать диаграммам Фейнмана, ограниченным массовой оболочкой , и привела к построению моделей двойного резонанса . Но это было очень спорным, так как он отрицал справедливость квантовой теории поля на основе локальных полей и гамильтонианам.

Связь с Липпманном-Швингером [ править ]

Интуитивно понятно, что слегка деформированные собственные функции полного гамильтониана H являются состояниями входа и выхода. Являются невзаимодействующим состоянием , которые будут выглядеть в и из состояний в бесконечном прошлом и бесконечном будущее.${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$

Создание волновых пакетов [ править ]

Эта интуитивная картина не совсем верна, потому что является собственной функцией гамильтониана и поэтому в разное время отличается только фазой. Таким образом, в частности, физическое состояние не развивается и поэтому не может стать невзаимодействующим. Эта проблема легко обойти путем сборкой и в каком - то с волновыми пакетами распределения энергий над характерным масштабом . Принцип неопределенности теперь позволяет взаимодействиям асимптотических состояний происходить во временном масштабе, и, в частности, больше не исключено, что взаимодействия могут отключиться за пределами этого интервала. Следующий аргумент предполагает, что это действительно так.${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle g(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \Delta E}$${\displaystyle \hbar /\Delta E}$

Подставляя уравнения Липпмана – Швингера в определения

${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$

и

${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$

из волновых пакетов , которые мы видим , что в данный момент времени, разница между и волновых пакетов дается интегралом по энергии Е .${\displaystyle \psi _{g}(t)}$${\displaystyle \phi _{g}(t)}$

Контурный интеграл [ править ]

Этот интеграл можно вычислить, задав волновую функцию по комплексной плоскости E и замкнув контур E с помощью полукруга, на котором волновые функции обращаются в нуль. Затем интеграл по замкнутому контуру можно вычислить, используя интегральную теорему Коши , как сумму вычетов на различных полюсах. Теперь мы будем утверждать, что остатки приближаются к остаткам в момент времени, и поэтому соответствующие волновые пакеты равны на бесконечности во времени.${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle t\rightarrow \mp \infty }$

На самом деле, очень положительные времена т в фактор в Шредингер картине государственных сил одного , чтобы закрыть контур на нижней полуплоскости. Полюс в уравнении Липпмана – Швингера отражает временную неопределенность взаимодействия, в то время как полюс в весовой функции волновых пакетов отражает продолжительность взаимодействия. Обе эти разновидности полюсов возникают при конечных мнимых энергиях и поэтому подавляются на очень больших временах. Полюс разности энергий в знаменателе находится в верхней полуплоскости , поэтому не лежит внутри интегрального контура и не дает вклада в интеграл. Остаток равен волновому пакету. Таким образом, в очень позднее время выявление${\displaystyle e^{-iEt}}$${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$${\displaystyle \psi ^{-}}$как асимптотические невзаимодействующая из состояния.

Аналогичным образом можно интегрировать волновой пакет, соответствующий очень отрицательным временам. В этом случае контур необходимо замкнуть по верхней полуплоскости, которая, следовательно, не попадает в энергетический полюс , находящийся в нижней полуплоскости. Один затем находит , что и волновые пакеты равны в асимптотическом прошлом, выявляя как асимптотические невзаимодействующую в состоянии.${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi ^{+}}$

Комплексный знаменатель Липпмана – Швингера [ править ]

Такое отождествление 's как асимптотических состояний является оправданием для знаменателя в уравнениях Липпмана – Швингера.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \pm \epsilon }$

Формула для S-матрицы [ править ]

S-матрица S определяется как скалярное произведение

${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$

в виде й и б - й Гейзенберга картина асимптотических состояний. Можно получить формулу, связывающую S -матрицу с потенциалом V, используя описанную выше стратегию контурного интеграла, но на этот раз поменяв роли и . В результате контур теперь действительно улавливает полюс энергии. Это может быть связано с 's, если использовать S-матрицу для их замены . Идентифицируя коэффициенты в обеих частях уравнения, можно найти искомую формулу, связывающую S с потенциалом${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \psi ^{-}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$

В борновском приближении , соответствующем теории возмущений первого порядка , последнюю заменяют соответствующей собственной функцией свободного гамильтониана H ₀ , получая${\displaystyle \psi ^{+}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$

который полностью выражает S-матрицу через V и собственные функции свободного гамильтониана.

Эти формулы, в свою очередь, можно использовать для расчета скорости реакции процесса , которая равна${\displaystyle b\rightarrow a}$${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.\,}$

Гомогенизация [ править ]

При использовании функции Грина уравнение Липпмана – Швингера имеет аналоги в теории усреднения (например, механика, проводимость, диэлектрическая проницаемость).

См. Также [ править ]

• Уравнение Бете – Солпитера

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Иоахайн, CJ (1983). Квантовая теория столкновений . Северная Голландия . ISBN 978-0-7204-0294-0.
• Сакураи, Дж. Дж. (1994). Современная квантовая механика . Эддисон Уэсли . ISBN 978-0-201-53929-5.
• Вайнберг, С. (2002) [1995]. Фонды . Квантовая теория полей. 1 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55001-7.

Оригинальные публикации [ править ]

• Липпманн, BA ; Швингер, Дж. (1950). "Вариационные принципы процессов рассеяния. I". Phys. Rev. Lett . 79 (3): 469–480. Bibcode : 1950PhRv ... 79..469L . DOI : 10.1103 / PhysRev.79.469 .
• Уиллер, Дж. А. (1937). «О математическом описании легких ядер методом резонансной групповой структуры». Phys. Ред . 52 (11): 1107–1122. Bibcode : 1937PhRv ... 52.1107W . DOI : 10.1103 / PhysRev.52.1107 .