Теорема Блоха

Изоповерхность квадратного модуля блоховского состояния в решетке кремния

Сплошная линия: схематическое изображение реальной части типичного состояния Блоха в одном измерении. Пунктирная линия соответствует коэффициенту e ^{i k · r} . Светлые кружки представляют атомы.

В физике конденсированных сред , теорема Блоха утверждает , что решения для уравнения Шредингера в периодическом потенциале принять форму плоской волны модулируется периодической функции . Математически они записываются: ^[1]

Функция Блоха

${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r}} и (\ mathbf {r})}$

где - положение, - волновая функция , - периодическая функция с той же периодичностью, что и кристалл, волновой вектор - это вектор импульса кристалла , - число Эйлера и - мнимая единица . $\mathbf {r}$ $\psi$ $u$ $\mathbf {k}$ $\mathrm {e}$ $\mathrm {i}$

Функции этой формы известны как блоховские функции или блоховские состояния и служат подходящей основой для волновых функций или состояний электронов в кристаллических твердых телах .

Названное в честь швейцарского физика Феликса Блоха , описание электронов в терминах блоховских функций, называемых блоховскими электронами (или реже блоховскими волнами ), лежит в основе концепции электронных зонных структур .

Эти собственные состояния записываются с нижними индексами как , где - дискретный индекс, называемый индексом полосы , который присутствует, потому что существует много разных волновых функций с одинаковыми (каждая из которых имеет различную периодическую составляющую ). В пределах диапазона (т. Е. Для фиксированного ) изменяется непрерывно , как и его энергия. Кроме того, уникальна только с точностью до постоянного вектора обратной решетки , или ,. Следовательно, волновой вектор может быть ограничен первой зоной Бриллюэна обратной решетки без потери общности . $\psi _{n\mathbf {k} }$ $n$ $\mathbf {k}$ $u$ $n$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {k}$ $\psi _{n\mathbf {k} }$ $\mathbf {K}$ $\psi _{n\mathbf {k} }=\psi _{n(\mathbf {k+K} )}$ $\mathbf {k}$

Приложения и последствия [ править ]

Применимость [ править ]

Наиболее распространенный пример теоремы Блоха - это описание электронов в кристалле, особенно при характеристике электронных свойств кристалла, таких как электронная зонная структура . Однако описание блоховских волн в более общем смысле применимо к любому волновому явлению в периодической среде. Например, периодическая диэлектрическая структура в электромагнетизме приводит к фотонным кристаллам , а периодическая акустическая среда приводит к фононным кристаллам . Обычно его рассматривают в различных формах динамической теории дифракции .

Волновой вектор [ править ]

Волновая функция Блоха (внизу) может быть разбита на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одно и то же состояние Блоха, разбитое двумя разными способами, включая волновой вектор k ₁ (слева) или k ₂ (справа). Разность ( k ₁ - k ₂ ) представляет собой вектор обратной решетки . На всех графиках синий - действительная часть, а красный - мнимая часть.

Предположим, электрон находится в блоховском состоянии.

\psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} ),

где u периодичен с той же периодичностью, что и кристаллическая решетка. Фактическое квантовое состояние электрона полностью определяется , а не напрямую k или u . Это важно , поскольку к и у являются не единственными. В частности, если можно записать, как указано выше, с использованием k , это также можно записать с помощью ( k + K ), где K - любой вектор обратной решетки. $\psi$ $\psi$ (см. рисунок справа). Следовательно, волновые векторы, различающиеся вектором обратной решетки, эквивалентны в том смысле, что они характеризуют один и тот же набор блоховских состояний.

Первая зона Бриллюэна представляет собой ограниченный набор значений к со свойством , что никакие два из них не эквивалентны, но каждая возможная к эквивалентно одному (и только один) вектора в первой зоне Бриллюэна. Следовательно, если мы ограничим k первой зоной Бриллюэна, то каждое блоховское состояние будет иметь уникальное k . Поэтому первая зона Бриллюэна часто используется для изображения всех блоховских состояний без избыточности, например, в зонной структуре , и используется по той же причине во многих вычислениях.

Когда k умножается на уменьшенную постоянную Планка , он равен импульсу кристалла электрона . В связи с этим групповая скорость электрона может быть вычислена на основе того, как энергия блоховского состояния изменяется с k ; подробнее см. импульс кристалла .

Подробный пример [ править ]

Подробный пример, в котором следствия теоремы Блоха прорабатываются в конкретной ситуации, можно найти в статье: Частица в одномерной решетке (периодический потенциал) .

Теорема Блоха [ править ]

Вот утверждение теоремы Блоха:

Для электронов в идеальном кристалле существует базис волновых функций со свойствами:

Каждая из этих волновых функций является собственным энергетическим состоянием.
Каждая из этих волновых функций является блоховским состоянием, а это означает, что эту волновую функцию можно записать в виде $\psi$

\psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )

где u имеет ту же периодичность, что и атомная структура кристалла.

u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )

Доказательство теоремы [ править ]

Доказательство с решеточной периодичностью ^[2]

Предварительные сведения: симметрии кристаллов, решетка и обратная решетка [ править ]

Определяющим свойством кристалла является трансляционная симметрия, что означает, что если кристалл сдвинуть на соответствующую величину, он окажется со всеми своими атомами в одних и тех же местах. (Кристалл конечного размера не может иметь совершенной трансляционной симметрии, но это полезное приближение.)

Трехмерный кристалл имеет три примитивных вектора решетки a ₁ , a ₂ , a ₃ . Если кристалл сдвинут на любой из этих трех векторов или их комбинацию вида

n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}

где n _i - три целых числа, тогда атомы оказываются в том же наборе местоположений, в котором они были в начале.

Еще один полезный ингредиент в доказательстве - это векторы обратной решетки . Это три вектора b ₁ , b ₂ , b ₃ (с элементами обратной длины), обладающие тем свойством, что a _i · b _i = 2π, но a _i · b _j = 0, когда i ≠ j . (Формулу для b _i см. Вектор обратной решетки .)

Лемма об операторах трансляции [ править ]

Пусть обозначает оператор сдвига , что сдвиги каждой волновой функции на величину п _-₁ + п ₂₂ + п ₃₃ (как и выше, п _J целые числа). Следующий факт полезен для доказательства теоремы Блоха: ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$

Лемма: Если волновая функция является собственным состоянием всех операторов сдвига (одновременно), то это состояние Блоха. $\psi$ $\psi$

Доказательство: предположим, что у нас есть волновая функция, которая является собственным состоянием всех операторов сдвига. Как частный случай этого, $\psi$

\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )

для j = 1, 2, 3, где C _j - три числа ( собственные значения ), не зависящие от r . Целесообразно записать числа C _j в другой форме, выбрав три числа θ ₁ , θ ₂ , θ ₃ с e ^{2 πiθ _j} = C _j :

\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )

Опять же, θ _j - это три числа, которые не зависят от r . Определим k = θ ₁b ₁ + θ ₂b ₂ + θ ₃b ₃ , где b _j - векторы обратной решетки (см. Выше). Наконец, определим

u(\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,.

Затем

u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})={\big (}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big (}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )

.

Это доказывает, что u имеет периодичность решетки. Поскольку это доказывает, что состояние является блоховским. $\psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )$

Доказательство [ править ]

Наконец, мы готовы к основному доказательству теоремы Блоха, которое заключается в следующем.

Как и выше, пусть обозначает оператор перевода, который сдвигает каждую волновую функцию на величину n ₁a ₁ + n ₂a ₂ + n ₃a ₃ , где n _i - целые числа. Поскольку кристалл обладает трансляционной симметрией, этот оператор коммутирует с оператором Гамильтона . Более того, каждый такой оператор трансляции коммутирует друг с другом. Следовательно, существует одновременный собственный базис оператора Гамильтона и всевозможные ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ ${\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!$ оператор. Эта основа - то, что мы ищем. Волновые функции в этом базисе являются собственными состояниями энергии (поскольку они являются собственными состояниями гамильтониана), а также они являются состояниями Блоха (поскольку они являются собственными состояниями операторов трансляции; см. Лемму выше).

Еще одно доказательство [ править ]

Доказательство с операторами ^[3]

Определяем оператор перевода

{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )

Воспользуемся гипотезой о среднем периодическом потенциале

U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )

и приближение независимых электронов с гамильтонианом

{\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )

Поскольку гамильтониан инвариантен для сдвигов, он должен коммутировать с оператором сдвига

[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0

и два оператора должны иметь общий набор собственных функций. Поэтому мы начинаем смотреть на собственные функции оператора трансляции:

{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )

Дан аддитивный оператор ${\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }$

{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{1}} }{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{2}} }\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n_{1}} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {n_{2}} \cdot \mathbf {a} )={\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2}} }\psi (\mathbf {x} )

Если мы подставим сюда уравнение на собственные значения и разделим обе части, мы получим $\psi (\mathbf {x} )$

\lambda _{\mathbf {n_{1}} }\lambda _{\mathbf {n_{2}} }=\lambda _{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2}} }

Это верно для

\lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }

где $s\in \mathbb {C}$

если мы используем условие нормализации по одной примитивной ячейке объема V

1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}|{\hat {\mathbf {T_{n}} }}\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x}

и поэтому

1=|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}

и где

s=ik

k\in \mathbb {R}

Ну наконец то

{\hat {\mathbf {T_{n}} }}\psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )=e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} )

Что верно для волны блоха, т. Е. Для с $\psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )$ $u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )$

Доказательство теории групп [ править ]

Доказательство с теорией характеров ^[4]

Все переводы являются унитарными и абелевы . Переводы могут быть записаны в терминах единичных векторов

{\vec {\mathbf {\tau } }}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}{\vec {\mathbf {a} }}_{i}

Мы можем рассматривать их как коммутирующие операторы

{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}={\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{1}{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{2}{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{3}

где

{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{i}=n_{i}{\hat {\vec {\mathbf {a} }}}_{i}

Коммутативность операторов дает три коммутирующие циклические подгруппы (при условии, что они могут быть порождены только одним элементом), которые являются бесконечными, одномерными и абелевыми. Все неприводимые представления абелевых групп одномерны. ^[5] ${\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{i}$

Учитывая, что они одномерные, матричное представление и символ одинаковы. Характер является представлением над комплексными числами группы или же на следе от представления , которое в данном случае является одна мерной матрицей. Все эти подгруппы, если они циклические, имеют характеры, соответствующие корням из единицы . Фактически у них есть один генератор, который должен подчиняться , а значит, и характер . Обратите внимание, что это просто в случае конечной циклической группы, но в счетном бесконечном случае бесконечной циклической группы (т.е. группы сдвигов здесь) существует предел, в котором характер остается конечным. $\gamma$ $\gamma ^{n}=1$ $\chi (\gamma )^{n}=1$ $n\to \infty$

Учитывая, что символ является корнем из единицы, для каждой подгруппы символ может быть записан как

\chi _{k_{1}}({\hat {\vec {\tau }}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}

Если ввести граничное условие Борна – фон Кармана на потенциал:

V(\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )

Где L - макроскопическая периодичность в направлении, которое также можно рассматривать как кратное, где ${\vec {a}}$ $a_{i}$ $\mathbf {L} =\sum N_{i}\mathbf {a} _{i}$

Это заменяет не зависящее от времени уравнение Шредингера простым эффективным гамильтонианом

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})

индуцирует периодичность с волновой функцией:

\psi (\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=\psi (\mathbf {r} )

И для каждого измерения оператор перевода с периодом L

{\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}

Отсюда мы видим, что символ также будет неизменным при переводе : $L_{i}$

e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}

и из последнего уравнения мы получаем для каждого измерения периодическое условие:

k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}

где целое число и $m_{1}\in \mathbb {Z}$ $k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}$

Волновой вектор идентифицирует неприводимое представление таким же образом, как и является макроскопической периодической длиной кристалла в направлении . В этом контексте волновой вектор служит квантовым числом для оператора трансляции. $k_{1}$ $m_{1}$ $L_{1}$ $a_{1}$

Мы можем обобщить это для трех измерений $\chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3}}(n_{3},a_{3})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}$

и общая формула для волновой функции принимает следующий вид:

{\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)

т.е. специализируясь на переводе

{\hat {P}}_{\varepsilon |{\vec {\tau }}}\psi ({\vec {\mathbf {r} }})=\psi ({\vec {\mathbf {r} }})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}=\psi ({\vec {\mathbf {r} }}+{\vec {\mathbf {\tau } }})

и мы доказали теорему Блоха.

Это доказательство, являющееся частью технической теории групп, интересно тем, что становится ясно, как обобщить теорему Блоха для групп, которые не являются только переводами.

Обычно это делается для пространственных групп, которые представляют собой комбинацию трансляции и точечной группы, и используется для вычисления зонной структуры, спектра и удельной теплоемкости кристаллов с учетом конкретной симметрии кристаллической группы, такой как FCC или BCC, и, в конечном итоге, дополнительной основы . ^[6]^[7]

В этом доказательстве также можно заметить, как важно то, что дополнительная точечная группа управляется симметрией в эффективном потенциале, но она должна коммутировать с гамильтонианом.

В обобщенной версии теоремы Блоха преобразование Фурье, то есть разложение волновой функции, обобщается из дискретного преобразования Фурье, которое применимо только для циклических групп и, следовательно, переводится в разложение по характеру волновой функции, где символы задаются из конкретная конечная точечная группа .

Также здесь можно увидеть, как символы (как инварианты неприводимых представлений) могут рассматриваться как фундаментальные строительные блоки, а не как сами неприводимые представления. ^[8]

Скорость и эффективная масса блоховских электронов [ править ]

Если мы применим не зависящее от времени уравнение Шредингера к волновой функции Блоха, мы получим

{\hat {H_{\mathbf {k} }}}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\left({\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}+U(\mathbf {r} )\right)u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=\varepsilon _{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

с граничными условиями

u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )

Учитывая, что это определено в конечном объеме, мы ожидаем бесконечное семейство собственных значений, это параметр гамильтониана, и поэтому мы приходим к «непрерывному семейству» собственных значений, зависящих от непрерывного параметра и, следовательно, к основной концепции электронной зоны состав ${\mathbf {k} }$ $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )$ ${\mathbf {k} }$

Доказательство ^[9]

[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)=E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)

Мы остаемся с

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )

{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )

{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )

{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \right)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )

Это показывает, как эффективный импульс можно рассматривать как составленный из двух частей.

{\hat {\mathbf {p} }}_{eff}=\left(-i\hbar \nabla +\hbar \mathbf {k} \right)

Стандартный импульс и импульс кристалла . Точнее, импульс кристалла - это не импульс, но он соотносится с импульсом так же, как электромагнитный импульс при минимальном взаимодействии , и как часть канонического преобразования импульса. $-i\hbar \nabla$ $\hbar \mathbf {k}$

Для эффективной скорости можно получить

средняя скорость блоховского электрона

${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }={\frac {\hbar }{m}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle =\hbar \langle {\hat {\mathbf {v} }}\rangle$

Доказательство ^[10]

Мы вычисляем производные, и учитывая, что они являются коэффициентами следующего разложения по q, где q считается малым по отношению к k ${\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}$

\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})

Даны собственные значения. Мы можем рассмотреть следующую задачу о возмущении по q: $\varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )$ ${\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }$

{\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}

Теория возмущений второго порядка гласит, что:

E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}|^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...

Чтобы вычислить в линейном порядке по q

\sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i}u_{n\mathbf {k} }

Если интеграции производятся по элементарной ячейке или по всему кристаллу, если интеграл:

\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }

нормализуется по ячейке или кристаллу.

Мы можем упростить по q и остаться с

{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }

И мы можем заново вставить полные волновые функции

{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }

А для эффективной массы

теорема об эффективной массе

${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

Доказательство ^[10]

Член второго порядка

{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}

Снова с $\psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }$

{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}

И избавляемся, и у нас есть теорема $q_{i}$ $q_{j}$ ${\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\right)^{2}\sum _{n'\neq n}{\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}$

Величина справа, умноженная на коэффициент , называется тензором эффективной массы ^[11], и мы можем использовать его, чтобы написать полуклассическое уравнение для носителя заряда в полосе ^[12] ${\frac {1}{\hbar ^{2}}}$ $\mathbf {M} (\mathbf {k} )$

Полуклассическое уравнение движения носителя заряда в зоне второго порядка

$\mathbf {M} (\mathbf {k} )\mathbf {a} =\mp e(\mathbf {E} +\mathbf {v} (\mathbf {k} )\times \mathbf {B} )$

Где это ускорение . Это уравнение находится в близкой аналогии с приближением типа волн Де Бройля ^[13] $\mathbf {a}$

Полуклассическое уравнение движения электрона в полосе первого порядка

$\hbar {\dot {k}}=-e(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

В качестве интуитивной интерпретации оба последних уравнения напоминают формально и находятся в полуклассической аналогии с уравнением Ньютона во внешней силе Лоренца .

История и связанные уравнения [ править ]

Концепция состояния Блоха была разработана Феликсом Блохом в 1928 году ^[14] для описания проводимости электронов в кристаллических твердых телах. Однако та же основная математика была открыта независимо несколько раз: Джорджем Уильямом Хиллом (1877 г.), ^[15] Гастоном Флоке (1883 г.), ^[16] и Александром Ляпуновым (1892 г.). ^[17] В результате используется множество номенклатур: применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям она называется теорией Флоке (или иногда теоремой Ляпунова – Флоке ). Общий вид одномерного периодического потенциального уравнения имеет видУравнение Хилла : ^[18]

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+f(t)y=0,

где f (t) - периодический потенциал. Конкретные периодические одномерные уравнения включают модель Кронига – Пенни и уравнение Матье .

Математически теорема Блоха интерпретируется в терминах унитарных характеров решеточной группы и применяется к спектральной геометрии . ^[19]^[20]^[21]

См. Также [ править ]

Блоховские колебания
Волна Блоха - метод MoM
Электронная зонная структура
Модель почти свободных электронов
Периодические граничные условия
Симметрии в квантовой механике
Модель с плотной обвязкой
Функция Ванье

Ссылки [ править ]

^ Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-14286-7.
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 134
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 137
^ Дресселгауз 2002 , стр. 345-348 [1]
^ Теория представлений и Рик Рой 2010 [2]
^ Дресселгауз 2002 , стр. 365-367 [3]
^ Спектр колебаний и теплоемкость гранецентрированного кубического кристалла, Роберт Б. Лейтон [4]
^ Представления групп и гармонический анализ от Эйлера до Ленглендса, Часть II [5]
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 140
^ а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 765 Приложение E
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 228
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 229
^ Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 227
↑ Феликс Блох (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen в Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 52 (7–8): 555–600. Bibcode : 1929ZPhy ... 52..555B . DOI : 10.1007 / BF01339455 . S2CID 120668259 .
^ Джордж Уильям Хилл (1886). «Со стороны движения лунного перигея, которое является функцией средних движений Солнца и Луны» . Acta Math . 8 : 1–36. DOI : 10.1007 / BF02417081 . Эта работа была первоначально опубликована и распространена в частном порядке в 1877 году.
^ Гастон Флоке (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. DOI : 10,24033 / asens.220 .
↑ Александр Михайлович Ляпунов (1992). Общая проблема устойчивости движения . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. Перевод А. Т. Фуллера из французского перевода Эдуарда Даво (1907 г.) оригинальной русской диссертации (1892 г.).
^ Магнус, Вт ; Винклер, S (2004). Уравнение Хилла . Курьер Дувр. п. 11. ISBN 0-486-49565-5.
^ Кучмент П. (1982), Теория Флоке для уравнений в частных производных , RUSS MATH SURV., 37,1-60
^ Кацуда, А .; Сунада, Т. (1987). «Гомологии и замкнутые геодезические на компактной римановой поверхности». Амер. J. Math . 110 (1): 145–156. DOI : 10.2307 / 2374542 . JSTOR 2374542 .
^ Kotani M; Сунада Т. (2000). «Карты Альбанезе и недиагональная долгая асимптотика теплового ядра». Comm. Математика. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode : 2000CMaPh.209..633K . DOI : 10.1007 / s002200050033 . S2CID 121065949 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Эшкрофт, Нил ; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 978-0-03-083993-1.
Дрессельхаус, MS (2002). "Приложения теории групп к физике твердого тела" (PDF) . Массачусетский технологический институт . Архивировано (PDF) из оригинала 1 ноября 2019 года . Проверено 12 сентября 2020 .
Дрессельхаус, MS (2010). Теория групп: приложение к физике конденсированного состояния . Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06945-1. OCLC 692760083 .
Х. Фёлль. «Периодические потенциалы и теорема Блоха - лекции в« Полупроводниках I » » . Кильский университет.
MSP Eastham (1973). Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений . Тексты по математике. Эдинбург: шотландская академическая пресса.
Ж. Газале; С. Дюпон; JC Kastelik; К. Роллан и Б. Джафари-Рухани (2013). «Обучающий обзор волн, распространяющихся в периодических средах: электронные, фотонные и фононные кристаллы. Восприятие теоремы Блоха как в реальной, так и в Фурье-областях». Волновое движение . 50 (3): 619–654. DOI : 10.1016 / j.wavemoti.2012.12.010 .

[1] Киттель, Чарльз (1996). Введение в физику твердого тела . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-14286-7.

[:3-2] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 134

[:4-3] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 137

[:8-4] Дресселгауз 2002 , стр. 345-348 [1]

[5] Теория представлений и Рик Рой 2010 [2]

[:9-6] Дресселгауз 2002 , стр. 365-367 [3]

[7] Спектр колебаний и теплоемкость гранецентрированного кубического кристалла, Роберт Б. Лейтон [4]

[8] Представления групп и гармонический анализ от Эйлера до Ленглендса, Часть II [5]

[:1-9] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 140

[:2-10] а б Эшкрофт и Мермин 1976 , стр. 765 Приложение E

[:5-11] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 228

[:6-12] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 229

[:7-13] Эшкрофт & Мермин 1976 , стр. 227

[14] Феликс Блох (1928). "Über die Quantenmechanik der Elektronen в Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (на немецком языке). 52 (7–8): 555–600. Bibcode : 1929ZPhy ... 52..555B . DOI : 10.1007 / BF01339455 . S2CID 120668259 .

[15] Джордж Уильям Хилл (1886). «Со стороны движения лунного перигея, которое является функцией средних движений Солнца и Луны» . Acta Math . 8 : 1–36. DOI : 10.1007 / BF02417081 . Эта работа была первоначально опубликована и распространена в частном порядке в 1877 году.

[16] Гастон Флоке (1883). "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 12 : 47–88. DOI : 10,24033 / asens.220 .

[17] Александр Михайлович Ляпунов (1992). Общая проблема устойчивости движения . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. Перевод А. Т. Фуллера из французского перевода Эдуарда Даво (1907 г.) оригинальной русской диссертации (1892 г.).

[Magnus_Winkler-18] Магнус, Вт ; Винклер, S (2004). Уравнение Хилла . Курьер Дувр. п. 11. ISBN 0-486-49565-5.

[19] Кучмент П. (1982), Теория Флоке для уравнений в частных производных , RUSS MATH SURV., 37,1-60

[20] Кацуда, А .; Сунада, Т. (1987). «Гомологии и замкнутые геодезические на компактной римановой поверхности». Амер. J. Math . 110 (1): 145–156. DOI : 10.2307 / 2374542 . JSTOR 2374542 .

[21] Kotani M; Сунада Т. (2000). «Карты Альбанезе и недиагональная долгая асимптотика теплового ядра». Comm. Математика. Phys . 209 (3): 633–670. Bibcode : 2000CMaPh.209..633K . DOI : 10.1007 / s002200050033 . S2CID 121065949 .

[1]