Умножение (музыка)

Пример из Бела Бартока «s Третьего квартета ( Antokoletz 1993 , 260, цитируется в Schuijer 2008 , 77-78): умножение хроматической тетрахорд ( Play ( помощь · информация ) ) к пятыми хорды ( Play ( помощь · информация ) ). C ♯ = 0: 0 · 7 = 0 , 1 · 7 = 7 , 2 · 7 = 2 , 3 · 7 = 9 (mod 12).  

Bartók - Музыка для струнных, ударных и пример расширения интервала Селесты , mov. Я, мм. 1–5 и мов. IV, мм. 204–9 ( Schuijer 2008 , 79) Play ( помощь · информация ) . 

Математические операции умножения имеют несколько приложений к музыке . Помимо применения к частотным соотношениям интервалов (например, просто интонация и корень двенадцатой степени из двух в одинаковой темперации ), он использовался другими способами в технике двенадцати тонов и теории музыкального набора . Кроме того, кольцевая модуляция - это электрический звуковой процесс, включающий умножение, которое использовалось для музыкального эффекта.

Мультипликативная операция - это отображение, в котором аргумент умножается ( Rahn 1980 , 53). Умножение возникло интуитивно в расширении интервалов , включая ротацию порядковых номеров строк тонов , например, в музыке Белы Бартока и Альбана Берга ( Schuijer 2008 , 77–78). Вращение числа шагов , Fünferreihe или «пять рядов» и Siebenerreihe или «семь рядов», было впервые описано Эрнстом Кренеком в Über neue Musik ( Krenek 1937 ; Schuijer 2008, 77–78). Теоретики из Принстона, в том числе Джеймс К. Рэндалл (1962) , Годфри Уинхэм (1970) и Хьюберт С. Хоу (1967) «были первыми, кто обсудил и принял их, не только в отношении [ sic ] двенадцатитонных серий. "( Schuijer 2008 , 81).Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFHowe1967 ( справка )

Умножение питч-класса по модулю 12 [ править ]

При работе с наборами классов основного тона обычно используется умножение по модулю 12. Имея дело со всеми двенадцатью тонами или рядом тонов , есть только несколько чисел, на которые можно умножить ряд и все равно получить набор из двенадцати различных тонов. Принимая простую или неизмененную форму как P ₀ , умножение обозначается M _x , где x является мультипликатором:

M _x ( y ) ≡ xy mod 12

В следующей таблице перечислены все возможные умножения хроматической двенадцатитоновой строки:

Обратите внимание, что только M ₁ , M ₅ , M ₇ и M ₁₁ дают взаимно-однозначное отображение (полный набор из 12 уникальных тонов). Это связано с тем, что каждое из этих чисел является относительно простым с 12. Также интересно то, что хроматическая шкала сопоставлена ​​с кругом четвертей с M ₅ или пятых с M ₇ , и, как правило, под M ₇ все четные числа остаются неизменными, в то время как нечетные числа заменяются тритоном . Этот вид умножения часто сочетается с операцией транспонирования . Впервые он был описан в печатиГерберт Эймерт под терминами «Quartverwandlung» (четвертая трансформация) и «Quintverwandlung» (пятая трансформация) ( Eimert 1950 , 29–33) и использовался композиторами Милтоном Бэббитом ( Morris 1997 , 238 и 242–43; Winham 1970 , 65–66), Роберт Моррис (1997 , 238–39 и 243) и Чарльз Вуоринен ( Hibbard 1969 , 157–58). Эта операция также учитывает определенные гармонические преобразования в джазе ( Morris 1982 , 153–54).

Таким образом, умножение на две значимые операции (5 и 7) может быть обозначено как M ₅ ( a ) и M ₇ ( a ) или M и IM ( Schuijer 2008 , 77–78).

• M ₁ = идентичность
• M ₅ = Цикл преобразования четвертей
• M ₇ = Цикл преобразования квинты
• M ₁₁ = инверсия
• М ₁₁ М ₅ = М ₇
• М ₇ М ₅ = М ₁₁
• М ₅ М ₅ = М ₁
• М ₇ М ₁₁ М ₅ = М ₁
• ...

Умножение высоты звука [ править ]

Пьер Булез (1971 , 39-40; 79-80) описал операцию, которую он назвал умножением высоты тона , которая в некоторой степени похожа ^{[ требуется пояснение ]} на декартово произведение множеств классов высоты тона. Учитывая два набора, результатом умножения основного тона будет набор сумм ( по модулю 12) всех возможных пар элементов между исходными двумя наборами. Его определение:

${\displaystyle X\times Y=\{(x+y){\bmod {1}}2|x\in X,y\in Y\}}$

Например, если умножить аккорд C-мажор на диаду, содержащую C , D , результат будет:${\displaystyle \{0,4,7\}}$ ${\displaystyle \{0,2\}}$

${\displaystyle \{0,4,7\}\times \{0,2\}=\{0,2,4,6,7,9\}}$

В этом примере набор из трех шагов, умноженный на набор из двух шагов, дает новый набор шагов 3 × 2. Учитывая ограниченное пространство арифметических операций по модулю 12, при использовании этой процедуры очень часто воспроизводятся повторяющиеся тона, которые обычно пропускаются. Эта техника наиболее широко использовалась в произведении Булеза Le marteau sans maître 1955 года , а также в его Третьей сонате для фортепиано , Structures II , «Don» и «Tombeau» из Pli selon pli , Eclat (и кратных Eclat ), Figures - Doubles - Prismes. , Domaines и Cummings ist der Dichter , а также снятое хоровое произведение Oubli signal lapidé(1952) ( Кобляков 1990 , 32; Heinemann 1993 ; Heinemann 1998 ). Эта операция, в отличие от арифметического умножения и транспозиционной комбинации классов множеств, некоммутативна ( Heinemann 1993 , 24).

Говард Хэнсон назвал эту операцию коммутативной ^{[ противоречивой ]} математической свертки «суперпозицией» ( Hanson 1960 , 44, 167) или «@ -проекцией» и использовал обозначение «/» как синонимы. Таким образом, «p @ m» или «p / m» означает «идеальная пятая часть в большой трети», например: {CEGB}. Он особо отметил, что две формы триады могут быть умножены таким образом, или триада умножена сама на себя, чтобы получить результирующую шкалу. Последнее «возведение в квадрат» триады дает конкретную шкалу, сильно насыщенную в примерах исходной триады ( Hanson 1960 , 167). Таким образом, «pmn», имя Хэнсона для общего мажорного трезвучия в квадрате - «PMN», например:

Николай Слонимский использовал эту необобщенную операцию, чтобы сформировать 1300 гамм, умножив симметричные тритоны , увеличенные аккорды , уменьшенные септаккорды и целые гаммы на сумму трех факторов, которые он назвал интерполяцией, инфраполяцией и ультраполяцией ( Slonimsky 1947 , v. ). Комбинация интерполяции, инфраполяции и ультраполяции, образуя наклонную инфра-интерполяцию, инфра-ультраполяцию и инфра-интерполяцию, аддитивно суммирует то, что фактически является второй звучностью. Эта вторая звучность, умноженная на первую, дает его формулу для создания гамм и их гармонизаций .

Джозеф Шиллингер использовал неразвитую идею, чтобы классифицировать общие гармонические стили 19-го и начала 20-го века как продукт горизонтального гармонического корневого движения и вертикальной гармонической структуры ( Schillinger 1941 , 147). Некоторые стили композиторов, которые он цитирует, представлены в следующей таблице умножения.

Приближение из 12 полей западной музыки по модулю-12 по математике , образуя круг из Halfsteps , означает , что музыкальные интервалы можно также рассматривать как углы в полярной системе координат , укладки одинаковых интервалов в зависимости от гармонического движения и транспонирования как вращение вокруг оси. Таким образом, в приведенном выше примере умножения от Hanson, «p @ m» или «p / m» («идеальная пятая на мажорной трети», например: {CEGB}) также означает «идеальная квинта, наложенная на идеальную пятую с поворотом на 1/3. окружности Круга полушагов ». Таблица преобразования интервалов в угловую меру (принимаемую как отрицательные числа для вращения по часовой стрелке):

Эта угловая интерпретация интервалов помогает визуализировать очень практичный пример умножения в музыке: роды Эйлера-Фоккера, используемые при описании тональной настройки клавишных инструментов Just ( Fokker 1987 ). Каждый род представляет собой гармоническую функцию , такие как «3 квинт уложенных» или другую звучность , такие как {CGDF ♯ }, который при умножении на правильный угле (ы) копии, приблизительно заполняет в 12TET кругового пространстве Круга квинт . Можно было бы, хотя и не красиво в музыкальном плане, настроить расширенное трезвучие из двух безупречных мажорных третей без биений. , затем (умножение) настраивайте две темперированные квинта выше и 1 ниже каждой ноты расширенного аккорда; это род Эйлера-Фоккера [555]. Другой результат получается, если начать с «трех уложенных совершенных квинт» и настроить эти ноты без биений на темперированную мажорную треть сверху и снизу; это род Эйлера-Фоккера [333].

Умножение времени [ править ]

Джозеф Шиллингер описал операцию « полиномиального умножения по времени » ( полиномом называется любой ритм, состоящий из более чем одной длительности), примерно соответствующую таковой из упомянутого выше умножения высоты тона ( Schillinger 1941 , 70–? ^{[ Необходима страница ]} ). Тема, сокращенная до последовательного ряда целых чисел, представляющих продолжительность четверти, восьмой или шестнадцатой ноты каждой из нот темы, может быть умножена сама на себя или на серию другой темы, чтобы создать связную и связанную вариацию. В частности, серия темы может быть возведена в квадрат или куб или преобразована в более высокие степени для получения насыщенности связанного материала.

Аффинное преобразование [ править ]

Герберт Эймерт описал то, что он назвал «восемью модами» из двенадцатитоновой серии, все зеркальные формы друг друга. Обратный достигаются за счетом горизонтального зеркала, то ретроградный через вертикальное зеркало, то ретроградный-обратный через оба горизонтальные и вертикальное зеркало, а «цикл из-четверти-преобразование» или Quartverwandlung и «цикл из-fifths- трансформация »или Quintverwandlung, полученная через наклонное зеркало ( Eimert 1950 , 28–29). С ретроградами этих преобразований и прайма получается восемь перестановок .

Кроме того, можно как бы перемещать зеркало под углом, который является «углом» четвертого или пятого, так что хроматическая строка отражается в обоих циклах. . . . Таким образом получают преобразование цикла четвертых и преобразование цикла пятых строки. ( Eimert 1950 , 29, переведено в Schuijer 2008 , 81)

Джозеф Шиллингер охватывал не только контрапункциональные обратные , ретроградные и ретроградно-обратные - операции умножения матриц в евклидовом векторном пространстве, - но также и их ритмические аналоги. Таким образом, он мог описать вариацию темы с использованием тех же высот в том же порядке, но с использованием исходных значений времени в ретроградном порядке. Он видел возможности этой мультипликативной вселенной за пределами простого отражения , включая транспонирование и вращение (возможно, с проекцией обратно к источнику), а также расширение.которые раньше использовались только во временном измерении (посредством увеличения и уменьшения ) ( Schillinger 1941 , 187ff ^{[ необходима страница ]} ). Таким образом, он мог описать другую вариацию темы или даже базовой гаммы, умножив количество полушагов между каждой последовательной парой нот на некоторый коэффициент, возможно, нормализовав октаву с помощью операции по модулю -12 ( Schillinger 1941 , 115ff ^{[ требуется страница ]} , 208ff ^{[ необходима страница ]} ).

Z-отношение [ править ]

Некоторые хорды, связанные с Z , соединяются посредством M или IM (умножение на 5 или умножение на 7) из-за идентичных записей для 1 и 5 в векторе APIC ( Schuijer 2008 , 98n18).

Ссылки [ править ]

• Антоколец, Эллиотт. 1993. «Струнные квартеты среднего периода». В The Bartok Companion , под редакцией Малкольма Гиллиса, 257–77. Лондон: Фабер и Фабер. ISBN  0-571-15330-5 (в корпусе); ISBN 0-571-15331-3 ( PBK ). 
• Булез, Пьер. 1971. Булез о музыке сегодня . Перевод Сьюзан Брэдшоу и Ричард Родни Беннетт. Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-08006-8 . 
• Эймерт, Герберт. 1950 г. Lehrbuch der Zwölftontechnik . Висбаден: Breitkopf & Härtel.
• Фоккер, Адриан Даниэль. 1987. Избранные музыкальные произведения . Утрех: The Diapason Press. ISBN 90-70907-11-9 . 
• Хэнсон, Ховард. 1960. Гармонические материалы современной музыки . Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts.
• Хайнеманн, Стивен. 1993. "Умножение множеств питч-класса в" Марто без мэтра "Булеза. Дисс. DMA, Вашингтонский университет.
• Хайнеманн, Стивен. 1998. "Умножение множеств Питч-класса в теории и на практике". Теория музыки Спектр 20, вып. 1 (Весна): 72–96.
• Хиббард, Уильям. 1969. "Чарльз Вуоринен: Политика гармонии ". Перспективы новой музыки 7, вып. 2 (Весна-Лето): 155–66.
• Хоу, Хьюберт С. 1965. «Некоторые комбинационные свойства питчевых структур». Перспективы новой музыки 4, вып. 1 (осень-зима): 45–61.
• Кобляков, Лев. 1990. Пьер Булез: Мир гармонии . Chur: Harwood Academic Publishers. ISBN 3-7186-0422-1 . 
• Кренек, Эрнст . 1937. Über neue Musik: Sechs Vorlesungen zur Einführung in die Theoretischen Grundlagen . Вена: Ringbuchhandlung.
• Моррис, Роберт Д. 1982. Обзор: « Джон Ран , Основная теория атона . Нью-Йорк: Лонгман, 1980». Теория музыки Спектр 4: 138–54.
• Моррис, Роберт Д. 1997. «Некоторые замечания о случайностях и концах ». Перспективы новой музыки 35, вып. 2 (Лето): 237–56.
• Ран, Джон. 1980. Основы атональной теории . Музыкальный сериал Longman. Нью-Йорк и Лондон: Лонгман. Перепечатано, Нью-Йорк: Schirmer Books; Лондон: Кольер Макмиллан, 1987.
• Рэндалл, Джеймс К. 1962. "Корреляция времени подачи". Не опубликовано. Цитируется по Schuijer 2008, 82.
• Шиллингер, Джозеф. 1941. Система музыкальной композиции Шиллингера . Нью-Йорк: Карл Фишер. ISBN 0306775220 . 
• Schuijer, Michiel. 2008. Анализируя атональную музыку: теория множеств питч-класса и ее контексты . Истмен изучает музыку 60. Рочестер, штат Нью-Йорк: Университет Рочестера Press. ISBN 978-1-58046-270-9 . 
• Слонимский, Николай. 1947. Тезаурус весов и мелодических паттернов . Нью-Йорк: сыновья Чарльза Скрибнера. ISBN 002-6118505 . 
• Уинхэм, Годфри. 1970. «Композиция с массивами». Перспективы новой музыки 9, вып. 1 (осень-зима): 43–67.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Лосада, Кэтрин С. 2014. «Сложное умножение, структура и процесс: гармония и форма в структурах Булеза II». Теория музыки Спектр 36, вып. 1 (Весна): 86–120.
• Моррис, Роберт Д. 1977. "О генерации двенадцатитоновых рядов функций множественного порядка". Журнал теории музыки 21, вып. 2 (осень): 238–62.
• Моррис, Роберт Д. 1982–83. « Комбинаторность без агрегата ». Перспективы новой музыки 21, №№ 1 и 2 (осень-зима / весна-лето): 432–86.
• Моррис, Роберт Д. 1990. "Дополнение питч-класса и его обобщения". Журнал теории музыки 34, вып. 2 (осень): 175–245.
• Старр, Дэниел В. 1978. «Множества, инвариантность и разбиения». Журнал теории музыки 22, вып. 1: 1–42.