В математическом образовании велась дискуссия по вопросу о том, следует ли преподавать операцию умножения как форму повторного сложения . Участники дискуссии подняли несколько точек зрения, включая аксиомы арифметики, педагогики, обучения и учебного дизайна, историю математики, философию математики и компьютерную математику.
Предыстория дискуссии [ править ]
В начале 1990-х Лесли Стеффе предложил схему счета, которую дети используют, чтобы усвоить умножение в своих математических знаниях. Джери Конфри противопоставил схему счета гипотезе о расщеплении. Конфри предположил, что счет и расщепление - это два отдельных независимых когнитивных примитива. Это вызвало научные дискуссии в форме презентаций на конференциях, статей и глав книг. [ необходима цитата ]
Дебаты возникли в связи с более широким распространением учебных программ, в которых упор делался на масштабирование, масштабирование, складывание и измерение математических задач в первые годы обучения. Такие задачи требуют и поддерживают модели умножения, которые не основаны на подсчете или повторном сложении. Споры вокруг вопроса: «Действительно ли умножение повторяется сложением?» появился на дискуссионных форумах родителей и учителей в середине 1990-х годов. [ необходима цитата ]
Кейт Девлин написал колонку « Математическая ассоциация Америки» под названием «Это не повторяющееся дополнение», в которой он продолжил обмен электронными письмами с учителями после того, как он кратко упомянул эту тему в более ранней статье. [1] Колонка связала академические дебаты с дебатами практиков. Это вызвало многочисленные дискуссии в исследовательских и практических блогах и форумах. Кейт Девлин продолжает писать на эту тему. [2] [3] [4]
Педагогические перспективы [ править ]
От счета к умножению [ править ]
В типичных учебных программах и стандартах по математике, таких как Common Core State Standards Initiative , значение произведения действительных чисел проходит через серию понятий, обычно начинающуюся с повторного сложения и в конечном итоге основанную на масштабировании. После того, как натуральные (или целые) числа были определены и поняты как средство для подсчета, ребенок знакомится с основными операциями арифметики в следующем порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, хотя и вводятся на очень раннем этапе обучения детей математике, оказывают длительное влияние на развитие чувства числа.у студентов как продвинутые числовые способности. В этих учебных программах умножение вводится сразу после постановки вопросов, связанных с повторным сложением, например: «Есть 3 мешка по 8 яблок в каждом. Сколько яблок всего в них? Учащийся может:
или выберите альтернативу
Этот подход поддерживается в течение нескольких лет преподавания и обучения и создает представление о том, что умножение - это просто более эффективный способ сложения. Как только вводится 0, это не влияет на существенные изменения, потому что
что равно 0, и свойство коммутативности привело бы нас также к определению
Таким образом, повторное сложение распространяется на целые числа (0, 1, 2, 3, 4, ...). Первый вызов убеждению, что умножение - это повторное сложение, появляется, когда ученики начинают работать с дробями. С математической точки зрения умножение как повторное сложение может быть расширено до дробей. Например,
буквально требует «одну и три четверти от пяти шестых». Позже это становится важным, потому что студентов учат, что в задачах со словом слово «из» обычно указывает на умножение. Однако это расширение проблематично для многих студентов, которые начинают бороться с математикой, когда вводятся дроби. [ необходимая цитата ] Более того, когда в игру вступают иррациональные числа , необходимо существенно изменить модель повторного сложения .
Относительно этих вопросов преподаватели математики обсуждали, усугубляются ли трудности учащихся с дробями и иррациональными числами, рассматривая умножение как повторяющееся сложение в течение долгого времени до того, как эти числа вводятся, и, соответственно, допустимо ли существенно изменять строгую математику для начального образования, что привело к детям верить утверждениям, которые впоследствии оказываются неверными.
От масштабирования к умножению [ править ]
Одна теория умножения обучения основана на работе российских преподавателей математики в кружке Выготского, который действовал в Советском Союзе в период между мировыми войнами. Их вклад известен как гипотеза о расщеплении.
Другая теория обучения умножению происходит от тех, кто изучает воплощенное познание , которые исследовали основные метафоры умножения.
Вместе эти исследования вдохновили учебные планы на «по своей сути мультипликативные» задачи для маленьких детей. [ необходима цитата ] Примеры этих задач: эластичное растяжение, масштабирование, складывание, проецирование теней или отбрасывание теней. Эти задачи не зависят от подсчета и не могут быть легко сформулированы в терминах повторного сложения.
Вопросы обсуждения, связанные с этими учебными планами, включают:
- доступны ли эти задания всем маленьким детям или только лучшим ученикам;
- могут ли дети достичь беглости вычислений, если они видят умножение как масштабирование, а не как повторное сложение;
- могут ли дети запутаться из-за двух разных подходов к умножению, представленных близко друг к другу; и
- следует ли вводить масштабирование и повторное сложение отдельно, и если да, то когда и в каком порядке?
 | В этом разделе не процитировать любые источники . ( Июнь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
Что можно приумножить? [ редактировать ]
Умножение часто определяется для натуральных чисел , а затем распространяется на целые числа, дроби и иррациональные числа. Однако абстрактная алгебра имеет более общее определение умножения как бинарной операции над некоторыми объектами, которые могут быть, а могут и не быть числами. Примечательно, что можно умножать комплексные числа , векторы , матрицы и кватернионы . Некоторые преподаватели [ необходима цитата ] полагают, что рассмотрение умножения исключительно как повторного сложения во время начального образования может помешать более позднему пониманию этих аспектов умножения.
Модели и метафоры, лежащие в основе умножения [ править ]
В контексте математического образования модели - это конкретные представления абстрактных математических идей, которые отражают некоторые или все существенные качества идеи. Модели часто разрабатываются как физические или виртуальные манипуляторы и сопровождающие их учебные материалы. Частью дискуссии об умножении и повторном сложении является сравнение различных моделей и их учебных материалов. Различные модели могут поддерживать или не поддерживать умножение разных типов чисел; например установленная модель [5]в котором числа представлены как наборы объектов, а умножение как объединение нескольких наборов с одинаковым количеством объектов в каждом не может быть расширено до умножения дробных или действительных чисел. Различные модели также могут иметь отношение к конкретным приложениям арифметики; например, комбинированные модели возникают в теории вероятностей и биологии.
Ссылки [ править ]
- ↑ Девлин, Кейт (июнь 2008 г.). «Это не повторное добавление» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 30 марта 2012 года .
- ↑ Девлин, Кейт (июль – август 2008 г.). «Это еще не повторяющееся дополнение» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 2 апреля 2012 года .
- ↑ Девлин, Кейт (сентябрь 2008 г.). «Умножение и эти надоедливые британские орфографии» . Математическая ассоциация Америки . Проверено 2 апреля 2012 года .
- ↑ Девлин, Кейт (январь 2011 г.). "Что такое умножение?" . Математическая ассоциация Америки . Проверено 2 апреля 2012 года .
- ^ Лакофф, Джордж; Нуньес, Рафаэль (2000). Откуда пришла математика: как воплощенный разум порождает математику . Основные книги. ISBN 0-465-03771-2.
