Майларовый баллон (геометрия)

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) У этой статьи нечеткий стиль цитирования . Используемые ссылки можно сделать более ясными с помощью другого или последовательного стиля цитирования и сносок . ( Октябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В геометрии , А майлар шар является поверхностью вращения . В то время как сфера - это поверхность, которая охватывает максимальный объем для данной площади поверхности , майларовый баллон вместо этого максимизирует объем для данной длины дуги образующей . Он напоминает слегка приплюснутую сферу.

Форма приблизительно достигается путем надувания физического шара, сделанного из двух круглых листов гибкого неэластичного материала; например, популярный вид игрушечного воздушного шара из алюминизированного пластика . Возможно, это парадоксально, но площадь поверхности надутого воздушного шара меньше площади круглых листов. Это происходит из-за физического обжатия поверхности, которое увеличивается около обода.

«Майларовый воздушный шар» - это название фигуры, данное У. Полсоном, который первым исследовал эту форму. Впоследствии этот термин был принят другими авторами. «Майлар» является товарным знаком DuPont .

Определение [ править ]

Положительная часть образующей воздушного шара - это функция z ( x ), где для заданной длины образующей a :

${\ Displaystyle г (г) = 0}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} \! {\ sqrt {1 + z '(x) ^ {2}}} \, dx \, = a}$ (т.е. задана длина образующей)

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} \! 4 \ pi xz (x) \, dx}$ это максимум (т.е. громкость максимальная)

Здесь радиус r определяется из ограничений.

Параметрическая характеристика [ править ]

Параметрические уравнения для образующей воздушного шара радиуса r имеют вид:

${\ displaystyle x (u) = r \ cos u; \ qquad z (u) = r {\ sqrt {2}} \ left [E (u, {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) - {\ frac {1} {2}} F (u, {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}) \ right] {\ text {for}} u \ in [0, {\ frac { \ pi} {2}}] \,}$

(где Е и F являются эллиптические интегралы по второму и первому виду)

Измерение [ править ]

«Толщина» τ воздушного шара (то есть расстояние по оси вращения) может быть определена путем вычисления из параметрических уравнений, приведенных выше. Толщина примерно${\ displaystyle 2z ({\ frac {\ pi} {2}})}$

τ ≈ 0,599 · 2 р .

Отношение τ к r не зависит от размера воздушного шара.

Отношение длины дуги образующей a к радиусу шара примерно равно

а / г ≈ 1,3110. (в справке указано, что «a» - это радиус спущенного воздушного шара, «r» - радиус надутого воздушного шара)

Объем баллона определяется по формуле:

${\ displaystyle V = {\ frac {2} {3}} \ pi ar ^ {2},}$

где a - длина дуги образующей).

или альтернативно:

${\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \ tau a ^ {2},}$

где τ - толщина на оси вращения

Геометрия поверхности [ править ]

Отношение основных кривизны в каждой точке майларового шара равно 2, что делает его интересным случаем поверхности Вейнгартена . Более того, это единственное свойство полностью характеризует воздушный шар. Баллон на оси вращения явно более плоский; эта точка фактически имеет нулевую кривизну в любом направлении.

См. Также [ править ]

• Проблема с бумажным пакетом

Ссылки [ править ]

• Младенов И.М. (2001). «О геометрии майларового шара». CR Acad. Bulg. Sci. 54 : 39–44. Bibcode : 2001CRABS..54i..39M .
• Полсен, WH (1994). «Какая форма у майларового шара?». Американский математический ежемесячник . 101 (10): 953–958. DOI : 10.2307 / 2975161 . JSTOR  2975161 .
• Финч, Стивен (13 августа 2013 г.). «Надувание неупругой мембраны» (PDF) .