В коммутативной алгебре , N-1 кольцо является областью целостности которого целое замыкание в своем поле частных является конечно порожденный модуль. Оно называется японским кольцом (или N − 2 кольцом ), если для любого конечного расширения L его фактор-поля K целочисленное замыкание A в L является конечно порожденным A -модулем (или, что эквивалентно, конечной A- алгеброй). Кольцо принято называть японским. если каждая конечно порожденная область целостности над ней является японской и называется кольцом Нагата , названным в честь Масаёси Нагата (или псевдогеометрическим кольцом ), если она нётерова и универсально японская (или, что оказывается одинаковым, если оно нётерово, и все его факторы по первичному идеалу являются N − 2 кольцами.) Кольцо называется геометрическим, если оно является локальным кольцом алгебраического многообразия или пополнением такого локального кольца ( Данилов, 2001 ) , но это понятие не используется много.
Примеры [ править ]
Поля и кольца многочленов или степенных рядов от конечного числа неопределенных над полями являются примерами японских колец. Другой важный пример - нетерова интегрально замкнутая область (например, дедекиндова область ), имеющая совершенное поле дробей . С другой стороны, PID или даже DVR не обязательно должны быть японскими.
Любое квази-превосходное кольцо является кольцом Нагаты, поэтому, в частности, почти все нётеровы кольца, встречающиеся в алгебраической геометрии, являются кольцами Нагаты. Первый пример нетеровской области, которая не является кольцом Нагата, был приведен Акизуки (1935) .
Вот пример кольца дискретной оценки, которое не является японским кольцом. Выберем простое р и бесконечную степень поля расширения K характерного р поля к , такое , что К р ⊆ K . Пусть кольцо дискретного нормирования R будет кольцом формальных степенных рядов над K , коэффициенты которого порождают конечное расширение k . Если y - любой формальный степенной ряд, не принадлежащий R, то кольцо R [ y ] не является кольцом N − 1 (его целочисленное замыкание не является конечно порожденным модулем), поэтому R это не японское кольцо.
Если R - подкольцо кольца многочленов k [ x 1 , x 2 , ...] в бесконечном числе образующих, порожденных квадратами и кубами всех образующих, а S получается из R присоединением обратных ко всем элементам, не входящим ни в какие идеалов, порожденных некоторым x n , то S является одномерной нётеровой областью, которая не является N − 1 кольцом, другими словами, ее целочисленное замыкание в своем поле факторов не является конечно порожденным S -модулем. Также у S есть особенность возврата в каждой замкнутой точке, поэтому множество особых точек не замкнуто.
Ссылки [ править ]
- Акизуки, Ю. (1935), "Einige Bemerkungen über primäre Integritätsbereiche mit teilerkettensatz" , Труды Физико-математического общества Японии , 3-я серия, 17 : 327–336
- Босх, Гюнцер, Реммерт, Неархимедов анализ , Springer 1984, ISBN 0-387-12546-9
- В. И. Данилов (2001) [1994], "Геометрическое кольцо" , Энциклопедия математики , EMS Press
- A. Grothendieck, J. Dieudonné, Eléments de géométrie algébrique Publ. Математика. ИГЭС, 20, раздел 23 (1964)
- Х. Мацумура, ISBN коммутативной алгебры 0-8053-7026-9 , глава 12.
- Нагата, Масаёши Местные кольца. Interscience Tractors in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers, подразделение John Wiley & Sons, Нью-Йорк-Лондон, 1962 г., перепечатано RE Krieger Pub. Co (1975) ISBN 0-88275-228-6
Внешние ссылки [ править ]
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/032E
