Распределение ближайших соседей

В вероятности и статистике, ближайшее сосед функция , ближайшее распределение соседа расстояния , ^[1] Функция ближайшего соседа распределения ^[2] или распределение ближайшего соседа ^[3] является математической функцией , которая определена по отношению к математическим объектам , известным как точечные процессы , которые часто используются в качестве математических моделей физических явлений, представленных как произвольно расположенные точки во времени, пространстве или в обоих случаях. ^{[4] [5]}Более конкретно, функции ближайшего соседа определяются по отношению к некоторой точке в точечном процессе как распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей соседней точки в том же точечном процессе, следовательно, они используются для описания вероятности другой точки. существующий на некотором расстоянии от точки. Функцию ближайшего соседа можно противопоставить функции распределения сферических контактов , которая определяется не по отношению к некоторой начальной точке, а скорее как распределение вероятностей радиуса сферы, когда она впервые встречается или вступает в контакт с точкой точечного процесса. .

Ближайший сосед функция используется при изучении точечных процессов ^{[1] [5] [6]} , а также связанные с ними поля стохастической геометрии ^[4] и пространственной статистики , ^{[1] [7]} , которые применяются в различных научно и инженерии такие дисциплины, как биология , геология , физика и телекоммуникации . ^{[4] [5] [8] [9]}

Обозначение точечного процесса [ править ]

Точечные процессы - это математические объекты, которые определены в некотором базовом математическом пространстве . Поскольку эти процессы часто используются для представления совокупностей точек, случайным образом разбросанных в пространстве, времени или в обоих, то основное пространство обычно представляет собой d- мерное евклидово пространство, обозначаемое здесь , но они могут быть определены в более абстрактных математических пространствах. ^[6]${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$

Точечные процессы имеют ряд интерпретаций, что отражается в различных типах обозначений точечных процессов . ^{[4] [9]} Например, если точка принадлежит или является членом точечного процесса, обозначенного как , то это можно записать так: ^[4]${\ displaystyle \ textstyle x}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

${\ displaystyle \ textstyle x \ in {N},}$

и представляет точечный процесс, интерпретируемый как случайный набор . В качестве альтернативы, количество точек, расположенных в некотором борелевском множестве , часто записывается как: ^{[8] [4] [7]}${\ displaystyle \ textstyle {N}}$ ${\ displaystyle \ textstyle B}$

${\ displaystyle \ textstyle {N} (B),}$

который отражает интерпретацию случайной меры для точечных процессов. Эти два обозначения часто используются параллельно или взаимозаменяемо. ^{[4] [7] [8]}

Определения [ править ]

Функция ближайшего соседа [ править ]

Функция ближайшего соседа, в отличие от функции распределения сферических контактов , определяется по отношению к некоторой точке точечного процесса, уже существующей в некоторой области пространства. Точнее, для некоторой точки в точечном процессе функция ближайшего соседа - это распределение вероятностей расстояния от этой точки до ближайшей или ближайшей соседней точки.${\ displaystyle \ textstyle {N}}$

Чтобы определить эту функцию для точки, расположенной , например, в начале координат , рассматривается -мерный шар радиуса с центром в начале координат o . Учитывая точку существования в , тогда функция ближайшего соседа определяется как: ^[4]${\ displaystyle \ textstyle {\ textbf {R}} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ textstyle o}$${\ displaystyle \ textstyle d}$ ${\ Displaystyle \ textstyle б (о, г)}$${\ displaystyle \ textstyle r}$ ${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle o}$

${\ displaystyle D_ {o} (r) = 1-P ({N} (b (o, r)) = 1 \ mid o).}$

где обозначает условную вероятность того, что существует одна точка, расположенная в данной, есть точка, расположенная в .${\ Displaystyle \ textstyle P ({N} (Ь (о, г)) = 1 \ середина о)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ Displaystyle \ textstyle б (о, г)}$${\ displaystyle \ textstyle {N}}$${\ displaystyle \ textstyle o}$

Контрольная точка не обязательно должна быть в начале координат, и ее можно расположить в произвольной точке . Учитывая точку существования в , тогда функция ближайшего соседа определяется как:${\displaystyle \textstyle x\in {\textbf {R}}^{d}}$${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle x}$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-P({N}(b(x,r))=1\mid x).}$

Примеры [ править ]

Математические выражения распределения ближайших соседей существуют только для нескольких точечных процессов.

Точечный процесс Пуассона [ править ]

Для точечного процесса Пуассона на с мерой интенсивности ближайшего соседа функция:${\displaystyle \textstyle {N}}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{d}}$ ${\displaystyle \textstyle \Lambda }$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\Lambda (b(x,r))},}$

который для однородного случая принимает вид

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda |b(x,r)|},}$

где обозначает объем (точнее, меру Лебега ) (гипер) шара радиуса . В плоскости с опорной точкой , расположенной в начале координат, это становится${\displaystyle \textstyle |b(x,r)|}$${\displaystyle \textstyle r}$${\displaystyle \textstyle {\textbf {R}}^{2}}$

${\displaystyle D_{x}(r)=1-e^{-\lambda \pi r^{2}}.}$

Связь с другими функциями [ править ]

Функция распределения сферических контактов [ править ]

В общем случае функция распределения сферического контакта и соответствующая функция ближайшего соседа не равны. Однако эти две функции идентичны для точечных процессов Пуассона. ^[4] Фактически, эта характеристика обусловлена ​​уникальным свойством процессов Пуассона и их распределений Пальма, которое является частью результата, известного как Сливняк – Меке ^[8] или теорема Сливняка . ^[1]

J- функция [ править ]

Тот факт, что функция сферического распределения H _s ( r ) и функция ближайшего соседа D _o ( r ) идентичны для точечного процесса Пуассона, можно использовать для статистической проверки, являются ли данные точечного процесса данными точечного процесса Пуассона. Например, в пространственной статистике J- функция определяется для всех r  ≥ 0 как: ^[4]

${\displaystyle J(r)={\frac {1-D_{o}(r)}{1-H_{s}(r)}}}$

Для точечного процесса Пуассона функция J просто J ( r )  = 1, поэтому она используется в качестве непараметрической проверки того, ведут ли данные себя так, как если бы они были от процесса Пуассона. Однако считается возможным построить непуассоновские точечные процессы, для которых J ( r )  = 1, ^[10], но такие контрпримеры рассматриваются некоторыми как несколько «искусственные» и существуют для других статистических тестов. ^[11]

В более общем плане J- функция служит одним из способов (другие включают использование факторных моментов ^[1] ) для измерения взаимодействия между точками в точечном процессе. ^[4]

См. Также [ править ]

• Факторный момент
• Размер локального объекта
• Момент мера
• Функция распределения сферических контактов

Ссылки [ править ]