В математике , то Мур самолет , также иногда называют Немыцкое плоскости (или Немыцкой плоскость , касательная диска топологии Немыцкой ), является топологическим пространством . Это полностью регулярное хаусдорфово пространство (также называемое тихоновским пространством ), которое не является нормальным . Он назван в честь Роберта Ли Мура и Виктора Владимировича Немыцкого .
Определение
Если - (замкнутая) верхняя полуплоскость , то топология может быть определена навзяв местную основу следующим образом:
- Элементы местного базиса в точках с участием открытые диски в плоскости, которые достаточно малы, чтобы лежать внутри .
- Элементы местного базиса в точках наборы где A - открытый диск в верхней полуплоскости, касающийся оси x в точке p .
То есть локальная основа задается формулой
Таким образом, топология подпространства, унаследованная совпадает с топологией подпространства, унаследованной от стандартной топологии евклидовой плоскости.
Характеристики
- Самолет Мура является разъемным , то есть, он имеет счетное плотное подмножество.
- Плоскость Мура является полностью регулярным хаусдорфовым пространством (т.е. тихоновским пространством ), что не является нормальным .
- Подпространство из имеет, как его подпространство топологии , в дискретной топологии . Таким образом, плоскость Мура показывает, что подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным.
- Самолет Мура является первым счетным , но не вторым счетным или Линделёфским .
- Самолет Мура не является локально компактным .
- Самолет Мура является метакомпактным, но не метакомпактным .
Доказательство того, что самолет Мура ненормальный
Тот факт, что это пространство M не является нормальным, может быть установлен следующим счетным аргументом (который очень похож на аргумент, что плоскость Соргенфри ненормальна):
- С одной стороны, счетное множество точек с рациональными координатами плотно в M ; следовательно, всякая непрерывная функция определяется его ограничением , поэтому может быть не более много непрерывных вещественных функций на М .
- С другой стороны, настоящая линия - замкнутое дискретное подпространство в M смного очков. Так что естьмногие непрерывные функции от L до. Не все эти функции могут быть расширены до непрерывных функций на М .
- Следовательно, M не является нормальным, поскольку по теореме Титце о продолжении все непрерывные функции, определенные на замкнутом подпространстве нормального пространства, могут быть расширены до непрерывной функции на всем пространстве.
Фактически, если X - сепарабельное топологическое пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, X не может быть нормальным.
Смотрите также
Рекомендации
- Стивен Уиллард. Общая топология , (1970) Addison-Wesley ISBN 0-201-08707-3 .
- Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур мл. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Dover 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Руководство по ремонту 0507446 (Пример 82)
- "Самолет Ниемицкого" . PlanetMath .