В комплексном анализе при наличии исходных данных, состоящих из точки в сложном единичном диске и целевые данные, состоящие из точки в , интерполяционная задача Неванлинны – Пика состоит в нахождении голоморфной функции который интерполирует данные, то есть для всех,
- ,
при условии ограничения для всех .
Георг Пик и Рольф Неванлинна независимо решили проблему в 1916 и 1919 годах соответственно, показав, что интерполирующая функция существует тогда и только тогда, когда матрица, определенная в терминах исходных и целевых данных, является положительно полуопределенной .
Задний план
Теорема Неванлинны – Пика представляет собой -точечное обобщение леммы Шварца . Инвариантная форма леммы Шварца утверждает , что для голоморфной функции, для всех ,
Параметр , это неравенство эквивалентно утверждению, что матрица, заданная
то есть матрица Пика положительно полуопределенная.
В сочетании с леммой Шварца это приводит к наблюдению, что для , существует голоморфная функция такой, что а также тогда и только тогда, когда матрица Пика
Теорема Неванлинны – Пика.
Теорема Неванлинны – Пика утверждает следующее. Дано, существует голоморфная функция такой, что тогда и только тогда, когда матрица Пика
положительно полуопределенный. Кроме того, функцияявляется уникальным тогда и только тогда, когда матрица Пика имеет нулевой определитель . В таком случае,является произведением Бляшке со степенью, равной рангу матрицы Пика (за исключением тривиального случая, когда всетакие же).
Обобщение
Обобщение теоремы Неванлинны – Пика стало областью активных исследований в теории операторов после работы Дональда Сарасона по интерполяционной теореме Сарасона . [1] Сарасон дал новое доказательство теоремы Неванлинны – Пика, используя методы гильбертова пространства в терминах операторных сжатий . Другие подходы были разработаны в работе Л. де Бранж и Б. С.-Надь и C. Фойаш .
Можно показать, что пространство Харди H 2 является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром , и что его воспроизводящее ядро (известное как ядро Сеге ) является
Из-за этого матрицу Пика можно переписать как
Это описание решения послужило поводом для различных попыток обобщить результат Неванлинны и Пика.
Проблема Неванлинны – Пика может быть обобщена на задачу поиска голоморфной функции который интерполирует заданный набор данных, где R теперь является произвольной областью комплексной плоскости.
М.Б. Абрахамс показал, что если граница R состоит из конечного числа аналитических кривых (скажем, n + 1), то интерполирующая функция f существует тогда и только тогда, когда
положительная полуопределенная матрица для всех в н- торе . Здесьы являются воспроизводящих ядер , соответствующие определенному набору воспроизводящего ядра Гильберта пространств, которые имеют отношение к множеству R . Также можно показать, что f уникальна тогда и только тогда, когда одна из матриц Пика имеет нулевой определитель.
Заметки
- Первоначальное доказательство Пика касалось функций с положительной действительной частью. При дробно-линейном преобразовании Кэли его результат сохраняется на отображениях диска в диск.
- Pick-Неванлинна интерполяция была введена в робастное управление с помощью Allen Танненбаума .
Рекомендации
- ^ Сарасон, Дональд (1967). "Обобщенная интерполяция в" . Trans Amer Math Soc... . 127 :. 179-203 DOI : 10,1090 / s0002-9947-1967-0208383-8 .
- Аглер, Джим; Джон Э. Маккарти (2002). Пик-интерполяция и гильбертовы функциональные пространства . Аспирантура по математике . AMS . ISBN 0-8218-2898-3.
- Абрахамсе, МБ (1979). «Интерполяционная теорема Пика для конечносвязных областей» . Michigan Math. Дж . 26 (2): 195–203. DOI : 10,1307 / mmj / 1029002212 .
- Танненбаум, Аллен (1980). «Стабилизация с обратной связью линейных динамических объектов с неопределенностью коэффициента усиления». Int. J. Control . 32 (1): 1–16. DOI : 10.1080 / 00207178008922838 .