В математике по обработке сигнала , то гармоническое вейвлет - преобразование , введенное Дэвид Эдвард Ньюленд в 1993 году, является вейвлет основанного линейного преобразования данной функции в представление частотно-временной . Он сочетает в себе преимущества кратковременного преобразования Фурье и непрерывного вейвлет-преобразования . Его можно выразить в терминах повторяющихся преобразований Фурье , а его дискретный аналог можно эффективно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье .
Преобразование использует семейство «гармонических» вейвлетов, индексированных двумя целыми числами j («уровень» или «порядок») и k («перевод»), задаваемыми, где
Эти функции ортогональны, а их преобразования Фурье представляют собой функцию квадратного окна (постоянную в определенной октавной полосе и ноль в других местах). В частности, они удовлетворяют:
где "*" обозначает комплексное сопряжение и- дельта Кронекера .
По мере увеличения порядка j эти вейвлеты становятся более локализованными в пространстве Фурье (частоте) и в более высоких частотных диапазонах и, наоборот, становятся менее локализованными во времени ( t ). Следовательно, когда они используются в качестве основы для расширения произвольной функции, они представляют поведение функции в разных временных масштабах (и в разных временных смещениях для разных k ).
Однако можно объединить все отрицательные порядки ( j <0) вместе в единое семейство «масштабирующих» функций. где
Функция φ ортогональна самой себе для различных k, а также ортогональна вейвлет-функциям для неотрицательных j :
Следовательно, в гармоническом вейвлет-преобразовании произвольная действительная или комплексная функция (в L2 ) раскладывается на основе гармонических всплесков (для всех целых j ) и их комплексно сопряженных:
или, альтернативно, в базисе вейвлетов для неотрицательного j, дополненного масштабными функциями φ :
Коэффициенты разложения в принципе могут быть вычислены с использованием соотношений ортогональности:
Для действительной функции f ( t ), а также так что можно вдвое сократить количество независимых коэффициентов расширения.
Это разложение обладает свойством, аналогичным теореме Парсеваля , что:
Однако вместо того, чтобы вычислять коэффициенты разложения непосредственно из соотношений ортогональности, это можно сделать, используя последовательность преобразований Фурье. Это намного эффективнее в дискретном аналоге этого преобразования (дискретное t ), где он может использовать алгоритмы быстрого преобразования Фурье .