Теорема Нётер
Теорема Нётер или первая теорема Нётер утверждает, что каждая дифференцируемая симметрия действия физической системы с консервативными силами имеет соответствующий закон сохранения . [1] Теорема была доказана математиком Эмми Нётер в 1915 г. и опубликована в 1918 г. [2] после того, как Э. Коссера и Ф. Коссера в 1909 г. доказали частный случай. [3] Действие физической системы есть интеграл со временем лагранжианафункция, из которой можно определить поведение системы по принципу наименьшего действия . Эта теорема применима только к непрерывным и гладким симметриям над физическим пространством .
Теорема Нётер используется в теоретической физике и вариационном исчислении . Обобщение формулировок о константах движения в лагранжевой и гамильтоновой механике (разработанных в 1788 и 1833 годах соответственно) не применимо к системам, которые нельзя смоделировать с помощью одного лагранжиана (например, к системам с функцией диссипации Рэлея ). В частности, диссипативные системы с непрерывными симметриями могут не иметь соответствующего закона сохранения.
В качестве иллюстрации, если физическая система ведет себя одинаково независимо от того, как она ориентирована в пространстве, ее лагранжиан симметричен относительно непрерывных вращений: из этой симметрии теорема Нётер диктует сохранение углового момента системы вследствие ее законы движения. Сама физическая система не обязательно должна быть симметричной; зубчатый астероид, кувыркающийся в космосе, сохраняет угловой момент, несмотря на свою асимметрию. Именно законы его движения симметричны.
В качестве другого примера, если физический процесс дает одни и те же результаты независимо от места или времени, то его лагранжиан симметричен относительно непрерывных перемещений в пространстве и времени соответственно: по теореме Нётер эти симметрии объясняют законы сохранения линейного импульса и энергии в пределах этого . системы соответственно.
Теорема Нётер важна как из-за того, что она дает представление о законах сохранения, так и как практический вычислительный инструмент. Это позволяет исследователям определять сохраняющиеся величины (инварианты) из наблюдаемых симметрий физической системы. И наоборот, он позволяет исследователям рассматривать целые классы гипотетических лагранжианов с заданными инвариантами для описания физической системы. В качестве иллюстрации предположим, что предлагается физическая теория, которая сохраняет величину X . Исследователь может вычислить типы лагранжианов, сохраняющих X посредством непрерывной симметрии. В соответствии с теоремой Нётер свойства этих лагранжианов обеспечивают дополнительные критерии для понимания следствий и оценки пригодности новой теории.
Существует множество версий теоремы Нётер с разной степенью общности. Существуют естественные квантовые аналоги этой теоремы, выраженные в тождествах Уорда-Такахаши . Существуют также обобщения теоремы Нётер на суперпространства . [4]
