В математике пространства неположительной кривизны встречаются во многих контекстах и образуют обобщение гиперболической геометрии . В категории из римановых многообразий , можно рассматривать кривизну многообразия и требуют , чтобы эта кривизна всюду меньше или равна нулю. Понятие кривизны распространяется на категорию геодезических метрических пространств , где можно использовать треугольники сравнения для количественной оценки кривизны пространства; в этом контексте пространства неположительной кривизны известны как (локально ) пространства CAT (0) .
Римановы поверхности [ править ]
Если - замкнутая ориентируемая риманова поверхность, то из теоремы униформизации следует, что можно наделить полной римановой метрикой с постоянной гауссовой кривизной либо , либо . В результате теоремы Гаусса – Бонне можно определить, что поверхности, которые имеют риманову метрику постоянной кривизны, т. Е. Римановы поверхности с полной римановой метрикой неположительной постоянной кривизны, - это в точности те поверхности, род которых не меньше . Теорема униформизации и теорема Гаусса – Бонне могут быть применены к ориентируемым римановым поверхностям с краем, чтобы показать, что те поверхности, которые имеют неположительную эйлерову характеристику, являются в точности теми, которые допускают риманову метрику неположительной кривизны. Следовательно, существует бесконечное семейство типов гомеоморфизма таких поверхностей, тогда как сфера Римана является единственной замкнутой ориентируемой римановой поверхностью постоянной гауссовой кривизны .
Приведенное выше определение кривизны зависит от существования римановой метрики и, следовательно, относится к области геометрии. Однако теорема Гаусса – Бонне гарантирует, что топология поверхности накладывает ограничения на полные римановы метрики, которые могут быть наложены на поверхность, поэтому изучение метрических пространств неположительной кривизны представляет жизненный интерес как в математических областях геометрии, так и в топология . Классическими примерами поверхностей неположительной кривизны являются евклидова плоскость и плоский тор (для кривизны ), а также гиперболическая плоскость и псевдосфера (для кривизны). По этой причине эти метрики, а также римановы поверхности, на которых они лежат как полные метрики, называются евклидовой и гиперболической соответственно.
Обобщения [ править ]
Характерные черты геометрии римановых поверхностей неположительной кривизны используются для обобщения понятия неположительных поверхностей за пределами изучения римановых поверхностей. При изучении многообразий или орбифолдов более высокой размерности используется понятие секционной кривизны, в котором внимание ограничивается двумерными подпространствами касательного пространства в данной точке. В размерах больше , чем в теореме жесткости Мостов-Прасад гарантирует , что гиперболическое многообразие конечной области имеет уникальную полный гиперболическую метрику поэтому изучение гиперболической геометрии в этой связи является неотъемлемой частью изучения топологии .
В произвольном геодезическом метрическом пространстве понятия гиперболичности Громова или пространства CAT (0) обобщают представление о том, что на римановой поверхности неположительной кривизны треугольники, стороны которых являются геодезическими, кажутся тонкими, тогда как в условиях положительной кривизны они выглядят тонкими. жир . Это понятие неположительной кривизны позволяет понятию неположительной кривизны чаще всего применяться к графам и, следовательно, очень полезно в областях комбинаторики и геометрической теории групп .
См. Также [ править ]
- Лемма Маргулиса
Ссылки [ править ]
- Баллманн, Вернер (1995). Лекции о пространствах неположительной кривизны . Семинар DMV 25. Базель: Birkhäuser Verlag. С. viii + 112. ISBN 3-7643-5242-6. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ) MR 1377265
- Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 319 . Берлин: Springer-Verlag. С. xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. Руководство по ремонту 1744486
- Пападопулос, Атанас (2014) [2004]. Метрические пространства, выпуклость и неположительная кривизна . ИРМА Лекции по математике и теоретической физике. 6. Цюрих: Европейское математическое общество. п. 298. ISBN 978-3-03719-010-4. Руководство по ремонту 2132506
