В теоретической физике , теория нордстрёма был предшественником общей теории относительности . Строго говоря, финским физиком-теоретиком Гуннаром Нордстремом в 1912 и 1913 годах, соответственно , были предложены две различные теории . Первое было быстро отвергнуто, но второе стало первым известным примером метрической теории гравитации , в которой эффекты гравитации рассматриваются полностью в терминах геометрии искривленного пространства-времени .
Ни одна из теорий Нордстрёма не согласуется с наблюдениями и экспериментами. Тем не менее, первое остается интересным постольку, поскольку оно привело ко второму. Вторая по-прежнему представляет интерес как важная веха на пути к современной теории гравитации, общей теории относительности , и как простой пример самосогласованной релятивистской теории гравитации. Например, эта теория особенно полезна в контексте педагогических дискуссий о том, как вывести и проверить предсказания метрической теории гравитации.
Развитие теорий
Теории Нордстрема возникли в то время, когда несколько ведущих физиков, включая Нордстрема в Хельсинки , Макса Абрахама в Милане , Густава Ми из Грайфсвальда , Германия, и Альберта Эйнштейна в Праге , пытались создать конкурирующие релятивистские теории гравитации.
Все эти исследователи начали, пытаясь соответствующим образом изменить существующую теорию, в теории поля версию теории тяготения Ньютона. В этой теории уравнение поля - это уравнение Пуассона , где - гравитационный потенциал ипредставляет собой плотность вещества, дополненную уравнением движения для пробной частицы в окружающем гравитационном поле, которое мы можем вывести из закона силы Ньютона и которое гласит, что ускорение пробной частицы задается градиентом потенциала
Эта теория не является релятивистской, потому что уравнение движения относится к координатному времени, а не собственному времени , и потому что, если материя в каком-то изолированном объекте внезапно перераспределится в результате взрыва, уравнение поля требует, чтобы потенциал повсюду в "пространстве" был "обновляется" мгновенно , что нарушает принцип, согласно которому любые "новости", которые имеют физический эффект (в данном случае влияние на движение пробной частицы вдали от источника поля), не могут передаваться со скоростью, превышающей скорость света . Бывший профессор математики Эйнштейна Герман Минковский набросал векторную теорию гравитации еще в 1908 году, но в 1912 году Абрахам указал, что ни одна такая теория не допускает стабильных планетных орбит. Это была одна из причин, по которой Нордстрём обратился к скалярным теориям гравитации (в то время как Эйнштейн исследовал тензорные теории).
Первая попытка Нордстрёма предложить подходящее уравнение гравитации для релятивистского скалярного поля была самым простым и естественным выбором, который только можно вообразить: просто заменить лапласиан в уравнении ньютоновского поля на даламберовский или волновой оператор, который дает. Это приводит к изменению уравнения вакуумного поля от уравнения Лапласа к волновому уравнению , что означает, что любые «новости», касающиеся перераспределения материи в одном месте, передаются со скоростью света в другие места. Соответственно, простейшая догадка для подходящего уравнения движения для пробных частиц может показаться такой: где точка означает дифференцирование по собственному времени, нижние индексы после запятой обозначают частичное дифференцирование по индексированной координате, а где - четырехвектор скорости пробной частицы. Этот закон силы ранее был предложен Авраамом, и Нордстрем знал, что он не сработает. Вместо этого он предложил.
Однако эта теория неприемлема по разным причинам. Два возражения носят теоретический характер. Во-первых, эта теория не выводится из лагранжиана , в отличие от ньютоновской теории поля (или большинства метрических теорий гравитации). Во-вторых, предлагаемое уравнение поля является линейным. Но по аналогии с электромагнетизмом мы должны ожидать, что гравитационное поле будет переносить энергию, и, исходя из работ Эйнштейна по теории относительности , мы должны ожидать, что эта энергия будет эквивалентна массе и, следовательно, будет притягиваться. Это означает, что уравнение поля должно быть нелинейным . Другое возражение более практично: эта теория резко расходится с наблюдениями.
Эйнштейн и фон Лауэ предположили, что проблема может заключаться в уравнении поля, которое, по их мнению, должно иметь линейную форму , где F - некоторая пока неизвестная функция от И где Т независимо от того , является следом от тензора энергии , описывающей плотность, импульс и стресс любого вещества , присутствующее.
В ответ на эту критику, Нордстрем предложил свою вторую теорию в 1913 году. Из пропорциональности инерционной и гравитационной массы он вывел, что уравнение поля должно быть , что нелинейно. Теперь Нордстрем решил, что уравнение движения
или же .
Эйнштейн воспользовался первой возможностью, чтобы заявить о своем одобрении новой теории. В программной речи на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей, состоявшемся в Вене 23 сентября 1913 года, Эйнштейн проанализировал состояние дел, заявив, что только его собственная работа с Марселем Гроссманом и вторая теория Нордстрема являются приемлемыми. заслуживает внимания. (Ми, присутствовавшая в зале, возмутилась, но Эйнштейн объяснил свои критерии, и Ми был вынужден признать, что его собственная теория им не соответствовала.) Эйнштейн рассмотрел особый случай, когда единственное существующее вещество - это облако пыли ( то есть идеальная жидкость, в которой предполагается пренебрежимо малым давлением). Он утверждал, что вклад этого вещества в тензор энергии-импульса должен быть:
Затем он вывел выражение для тензора энергии-импульса гравитационного поля во второй теории Нордстрёма:
которые, как он предлагал, должны выполняться в целом, и показали, что сумма вкладов в тензор энергии-импульса от энергии гравитационного поля и от вещества будет сохраняться , как и должно быть. Кроме того, он показал, что уравнение поля второй теории Нордстрёма следует из лагранжиана
Поскольку уравнение движения Нордстрёма для пробных частиц в окружающем гравитационном поле также следует из лагранжиана, это показывает, что вторая теория Нордстрёма может быть выведена из принципа действия, а также показывает, что она подчиняется другим свойствам, которые мы должны требовать от самосогласованной теории поля. .
Тем временем одаренный голландский студент Адриан Фоккер написал докторскую диссертацию. диссертацию под руководством Хендрика Лоренца, в которой он вывел то, что сейчас называется уравнением Фоккера – Планка . Лоренц, обрадованный успехами своего бывшего студента, организовал для Фоккера возможность продолжить учебу в докторантуре у Эйнштейна в Праге. Результатом стала историческая статья, появившаяся в 1914 году, в которой Эйнштейн и Фоккер заметили, что лагранжиан для уравнения движения Нордстрёма для пробных частиц, - геодезический лагранжиан для искривленного лоренцевого многообразия с метрическим тензором . Если мы примем декартовы координаты с линейным элементом с соответствующим волновым оператором на плоском фоне, или пространство-время Минковского , так что линейный элемент искривленного пространства-времени, то скаляр Риччи этого искривленного пространства-времени равен
Таким образом, уравнение поля Нордстрёма становится просто
где в правой части мы взяли след тензора энергии-импульса (с вкладами материи плюс любые негравитационные поля) с использованием метрического тензора . Это исторический результат, потому что здесь мы впервые имеем уравнение поля, в котором в левой части стоит чисто геометрическая величина (скаляр Риччи - это след тензора Риччи , который сам по себе является своего рода следом тензор кривизны Римана четвертого ранга ), а справа стоит чисто физическая величина - след тензора энергии-импульса. Эйнштейн радостно указал, что это уравнение теперь принимает форму, которую он ранее предложил с фон Лауэ, и дает конкретный пример класса теорий, которые он изучал с Гроссманом.
Некоторое время спустя Герман Вейль ввел тензор кривизны Вейля , который измеряет отклонение лоренцевого многообразия от конформно плоского , т. е. с метрическим тензором, имеющим вид произведения некоторой скалярной функции с метрическим тензором плоского пространства-времени. Это как раз особая форма метрики, предложенная во второй теории Нордстрёма, поэтому все содержание этой теории можно резюмировать в следующих двух уравнениях:
Особенности теории Нордстрема
Вторая теория Нордстрёма привлекла Эйнштейна своей простотой. [ необходимая цитата ] Уравнения вакуумного поля в теории Нордстрёма просто
Мы можем сразу записать общее вакуумное решение в теории Нордстрёма:
где а также является линейным элементом плоского пространства-времени в любой удобной координатной карте (такой как цилиндрические, полярные сферические или двойные нулевые координаты), и где - обыкновенный волновой оператор в плоском пространстве-времени (выраженный в цилиндрических, полярных сферических или двойных нулевых координатах, соответственно). Но общее решение обычного трехмерного волнового уравнения хорошо известно и может иметь довольно явный вид. В частности, для определенных диаграмм, таких как цилиндрические или полярные сферические карты на плоском пространстве-времени (которые индуцируют соответствующие диаграммы на нашем искривленном лоренцевом многообразии), мы можем записать общее решение в терминах степенного ряда, и мы можем написать общее решение определенного Коши. проблемы в манере, знакомой из потенциалов Линара-Вихерта в электромагнетизме.
В любом решении уравнений поля Нордстрёма (вакуумном или ином), если мы рассмотрим как управление конформным возмущением от плоского пространства-времени до первого порядка по у нас есть
Таким образом, в приближении слабого поля можно отождествить с ньютоновским гравитационным потенциалом, и мы можем рассматривать его как управление небольшим конформным возмущением от плоского пространственно-временного фона .
В любой метрической теории гравитации все гравитационные эффекты возникают из-за кривизны метрики. В модели пространства-времени в теории Нордстрема (но не в общей теории относительности) это зависит только от следа тензора энергии-импульса. Но энергия поля электромагнитного поля вносит вклад в тензор энергии-импульса, который не имеет следов , поэтому в теории Нордстрёма энергия электромагнитного поля не тяготеет! В самом деле, поскольку каждое решение уравнений поля этой теории представляет собой пространство-время, которое, среди прочего, конформно эквивалентно плоскому пространству-времени, нулевые геодезические должны согласовываться с нулевыми геодезическими плоского фона, поэтому эта теория не может демонстрировать светового изгиба .
Между прочим, тот факт, что след тензора энергии-импульса для электровакуумного раствора (решения, в котором нет ни материи, ни каких-либо негравитационных полей, кроме электромагнитного поля) исчезает, показывает, что в общем электровакуумном решении в системе Нордстрема В теории метрический тензор имеет ту же форму, что и в решении для вакуума, поэтому нам нужно только записать и решить уравнения Максвелла для искривленного пространства-времени . Но они конформно инвариантны , поэтому мы также можем записать общее электровакуумное решение , скажем, в терминах степенного ряда.
В любом лоренцевом многообразии (с соответствующими тензорными полями, описывающими любую материю и физические поля), которое является решением полевых уравнений Нордстрёма, конформная часть тензора Римана (т. Е. Тензора Вейля) всегда равна нулю. Скаляр Риччи также одинаково обращается в нуль в любой области вакуума (или даже в любой области, свободной от материи, но содержащей электромагнитное поле). Есть ли какие-либо дополнительные ограничения на тензор Римана в теории Нордстрема?
Чтобы выяснить это, обратите внимание, что важное тождество теории многообразий, разложение Риччи , разбивает тензор Римана на три части, каждый из которых представляет собой тензоры четвертого ранга, построенные, соответственно, из скаляра Риччи , бесследного скаляра Риччи. тензор
и тензор Вейля . Отсюда немедленно следует, что теория Нордстрёма оставляет бесследный тензор Риччи полностью неограниченным алгебраическими соотношениями (кроме свойства симметрии, которым всегда обладает этот тензор второго ранга). Но принимая во внимание дважды сжатое и вычтенное тождество Бианки , дифференциальное тождество, которое выполняется для тензора Римана в любом (полу) римановом многообразии , мы видим, что в теории Нордстрёма, как следствие полевых уравнений, мы имеем первое ковариантное дифференциальное уравнение порядка
который ограничивает полуследовую часть тензора Римана (построенного на основе бесследового тензора Риччи).
Таким образом, согласно теории Нордстрёма, в области вакуума только полуследная часть тензора Римана может быть отличной от нуля. Тогда наше ковариантное дифференциальное ограничение напоказывает, как вариации следа тензора энергии-импульса в нашей модели пространства-времени могут генерировать ненулевой бесследный тензор Риччи и, таким образом, ненулевую полуследовую кривизну, которая может распространяться в область вакуума. Это критически важно, потому что в противном случае гравитация, согласно этой теории, не была бы силой дальнего действия, способной распространяться через вакуум .
В общей теории относительности происходит нечто похожее, но это тензор Риччи, который исчезает в любой области вакуума (но не в области, свободной от вещества, но содержащей электромагнитное поле), и генерируется кривизна Вейля ( через другое ковариантное дифференциальное уравнение первого порядка) за счет вариаций тензора энергии-импульса, который затем распространяется в области вакуума, превращая гравитацию в силу дальнего действия, способную распространяться через вакуум.
Мы можем свести в таблицу основные различия между теорией Нордстрёма и общей теорией относительности следующим образом:
тип кривизны | Nordström | Эйнштейн | |
---|---|---|---|
скаляр | исчезает в электровакууме | исчезает в электровакууме | |
когда-то бесследный | ненулевое значение для гравитационного излучения | исчезает в вакууме | |
полностью бесследный | всегда исчезает | ненулевое значение для гравитационного излучения |
Еще одна особенность теории Нордстрема состоит в том, что ее можно записать как теорию определенного скалярного поля в пространстве-времени Минковского , и в этой форме она обладает ожидаемым законом сохранения негравитационной энергии массы вместе с энергией гравитационного поля, но страдает от не очень запоминающейся закон силы. В формулировке искривленного пространства-времени описывается движение пробных частиц (мировая линия свободной пробной частицы является времяподобной геодезической, и по очевидному пределу мировая линия лазерного импульса является нулевой геодезической), но мы теряем закон сохранения закон. Итак, какая интерпретация верна? Другими словами, какая метрика, согласно Нордстрёму, может быть измерена локально с помощью физических экспериментов? Ответ таков: искривленное пространство-время является физически наблюдаемым в этой теории (как и во всех метрических теориях гравитации); плоский фон - это просто математическая выдумка, которая, однако, имеет неоценимую ценность для таких целей, как запись общего вакуумного решения или изучение предела слабого поля.
На этом этапе мы могли бы показать, что в пределе медленно движущихся пробных частиц и медленно развивающихся слабых гравитационных полей теория гравитации Нордстрема сводится к ньютоновской теории гравитации. Вместо того, чтобы показывать это подробно, мы перейдем к подробному изучению двух наиболее важных решений в этой теории:
- сферически-симметричные статические асимптотически плоские вакуумные решения
- общее решение вакуумной гравитационной плоской волны в этой теории.
Мы будем использовать первое, чтобы получить предсказания теории Нордстрема для четырех классических проверок релятивистской теории гравитации Солнечной системы (в окружающем поле изолированного сферически-симметричного объекта), а второе мы будем использовать для сравнения гравитационного излучения в теории Нордстрема и в общей теории относительности Эйнштейна.
Статическое сферически-симметричное асимптотически плоское вакуумное решение
Статические вакуумные решения в теории Нордстрёма - это лоренцевы многообразия с метрикой вида
где мы можем взять оператор Лапласа плоского пространства-времени справа. Для первого заказа в, метрика принимает вид
где - метрика пространства-времени Минковского (плоский фон).
Метрика
Принимая полярные сферические координаты и используя известные сферически-симметричные асимптотически исчезающие решения уравнения Лапласа, мы можем записать искомое точное решение в виде
где мы оправдываем свой выбор постоянных интегрирования тем фактом, что это единственный выбор, дающий правильный ньютоновский предел. Это дает решение в терминах координат, которые прямо демонстрируют тот факт, что это пространство-время конформно эквивалентно пространству-времени Минковского, но радиальная координата в этой таблице не сразу допускает прямую геометрическую интерпретацию. Поэтому мы принимаем координаты Шварцшильда, используя преобразование, что приводит метрику к виду
Здесь r теперь имеет простую геометрическую интерпретацию, что площадь поверхности координатной сферы просто .
Так же , как это происходит в соответствующей статической сферически - симметричное асимптотически плоское решение ОТО, это решение допускает четырехмерного группу Ли изометрий, или , что эквивалентно, четырехмерное (реальная) алгебра Ли из Killing векторных полей. Их легко определить как
- (перевод во времени)
- (вращение вокруг оси через начало координат)
Это точно такие же векторные поля, которые возникают в координатной карте Шварцшильда для вакуумного решения Шварцшильда общей теории относительности, и они просто выражают тот факт, что это пространство-время статично и сферически симметрично.
Геодезические
Уравнения геодезических легко получаются из лагранжиана геодезических. Как всегда, это нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.
Если мы установим мы обнаруживаем, что движение пробной частицы, ограниченное экваториальной плоскостью, возможно, и в этом случае легко получить первые интегралы (обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка). Во-первых, у нас есть
где до первого порядка по m получаем тот же результат, что и для вакуума Шварцшильда. Это также показывает, что теория Нордстрёма согласуется с результатом эксперимента Паунда – Ребки . Во-вторых, у нас есть
что является тем же результатом, что и для вакуума Шварцшильда. Это выражает сохранение орбитального углового момента пробных частиц, движущихся в экваториальной плоскости, и показывает, что период почти круговой орбиты (наблюдаемой удаленным наблюдателем) будет таким же, как для вакуума Шварцшильда. В-третьих, с для времениподобных, нулевых, пространственноподобных геодезических мы находим
где
это своего рода действенный потенциал . Во времениподобном случае отсюда видно, что существуют устойчивые круговые орбиты в точке, что полностью согласуется с теорией Ньютона (если мы проигнорируем тот факт, что теперь интерпретация r углового, а не радиального расстояния согласуется с представлениями о плоском пространстве). Напротив, в вакууме Шварцшильда мы должны упорядочить по m выражение. В некотором смысле дополнительный член здесь является результатом нелинейности вакуумного уравнения поля Эйнштейна.
Статические наблюдатели
Имеет смысл спросить, сколько силы требуется, чтобы удерживать пробную частицу с заданной массой над массивным объектом, который, как мы предполагаем, является источником этого статического сферически-симметричного гравитационного поля. Чтобы выяснить это, нам нужно только принять простое поле кадра
Тогда ускорение мировой линии нашей тестовой частицы просто
Таким образом, частица должна оставаться радиально наружу, чтобы сохранять свое положение, с величиной, заданной знакомым ньютоновским выражением (но опять же, мы должны иметь в виду, что здесь радиальную координату нельзя полностью отождествить с радиальной координатой плоского пространства). Другими словами, это «гравитационное ускорение», измеренное статическим наблюдателем, который использует ракетный двигатель для сохранения своего положения. Напротив, до второго порядка по m в вакууме Шварцшильда величина радиального наружного ускорения статического наблюдателя равна mr −2 + m ^ 2 r −3 ; и здесь второй член выражает тот факт, что гравитация Эйнштейна немного сильнее «в соответствующих точках», чем гравитация Нордстрема.
Приливный тензор, измеренный статическим наблюдателем, равен
где мы берем . Первый член согласуется с соответствующим решением в ньютоновской теории гравитации и в общей теории относительности. Второй член показывает, что приливные силы немного сильнее в гравитации Нордстрема, чем в гравитации Эйнштейна.
Экстра-ньютоновская прецессия периастрии
Обсуждая уравнения геодезических, мы показали, что в экваториальной координатной плоскости у нас есть
где для времениподобной геодезической. Дифференцируя по собственному времени s, получаем
Разделив обе стороны на дает
Ранее мы обнаружили, что минимум V приходится на где . Оценивая производную, используя наши предыдущие результаты, и устанавливая, мы нашли
что является (в первом порядке) уравнением простого гармонического движения .
Другими словами, почти круговые орбиты будут демонстрировать радиальные колебания. Однако, в отличие от того, что происходит при ньютоновской гравитации, период этого колебания не совсем соответствует орбитальному периоду. Это приведет к медленной прецессии периастрий (точек наибольшего сближения) нашей почти круговой орбиты или, что более ярко, к медленному вращению длинной оси квазикеплеровской почти эллиптической орбиты. Конкретно,
(где мы использовали и удалил нижний индекс из ), тогда как
Расхождение
так что задержка периастриона на орбиту равна
и в первом порядке по м длинная ось почти эллиптической орбиты вращается со скоростью
Это можно сравнить с соответствующим выражением для вакуумного решения Шварцшильда в общей теории относительности, которое (до первого порядка по m)
Таким образом, в теории Нордстрема, если почти эллиптическая орбита пересекается против часовой стрелки, длинная ось медленно вращается по часовой стрелке , тогда как в общей теории относительности она вращается против часовой стрелки в шесть раз быстрее. В первом случае можно говорить о запаздывании периастриона, а во втором - о наступлении периастриона . В любой теории, приложив больше усилий, мы можем получить более общие выражения, но здесь мы удовлетворимся рассмотрением частного случая почти круговых орбит.
Так , например, в соответствии с теорией Нордстра, в перигелии от Меркурия должен отставать со скоростью около 7 угловых секунд в столетие, в то время как согласно общей относительности, перигелиям следует заранее со скоростью около 43 угловых секунд в столетие.
Световая задержка
Нулевые геодезические в экваториальной плоскости нашего решения удовлетворяют
Рассмотрим два события на нулевой геодезической до и после точки наибольшего приближения к исходной точке. Пусть эти расстояния будут с участием . Мы хотим устранить, так положите (уравнение прямой в полярных координатах) и продифференцируем, чтобы получить
Таким образом
Вставляя это в элемент линии и решая для dt, мы получаем
Таким образом, координатное время от первого события до события ближайшего сближения равно
и аналогично
Здесь истекшее координатное время, ожидаемое из теории Ньютона, конечно
так что релятивистское запаздывание, согласно теории Нордстрёма, равно
К первому порядку в малых соотношениях это просто .
Соответствующий результат в общей теории относительности
которая логарифмически зависит от малых соотношений . Например, в классическом эксперименте, в котором в момент, когда Венера , если смотреть с Земли, вот-вот должна пройти за Солнцем, излучаемый Землей радиолокационный сигнал задевает край Солнца, отражается от Венеры и возвращается обратно. до Земли (снова касаясь края Солнца), релятивистская временная задержка составляет около 20 микросекунд согласно теории Нордстрёма и около 240 микросекунд согласно общей теории относительности.
Резюме результатов
Мы можем суммировать результаты, которые мы нашли выше, в следующей таблице, в которой данные выражения представляют соответствующие приближения:
Ньютон | Nordström | Эйнштейн | |
---|---|---|---|
Ускорение статической тестовой частицы | м г −2 | м г −2 | м г −2 + м 2 г −3 |
Экстракулоновская приливная сила | 0 | м 2 r −4 диаг (-1,1,1) | 0 |
Радиус круговой орбиты | R = L 2 м −1 | R = L 2 м −1 | R = L 2 м −1 - 3 м |
Коэффициент гравитационного красного смещения | 1 | 1 + м r −1 | 1 + м r −1 |
Угол светового изгиба | 0 | ||
Скорость прецессии периастрии | 0 | ||
Временная задержка | 0 |
В последних четырех строках этой таблицы перечислены так называемые четыре классических теста солнечной системы релятивистских теорий гравитации. Из трех теорий, представленных в таблице, только общая теория относительности согласуется с результатами экспериментов и наблюдений в Солнечной системе. Теория Нордстрёма дает правильный результат только для эксперимента Паунда – Ребки ; неудивительно, что теория Ньютона не выдерживает всех четырех релятивистских тестов.
Вакуумная гравитационная плоская волна
В двойной нулевой карте для пространства-времени Минковского,
простое решение волнового уравнения
является , где f - произвольная гладкая функция. Это представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении z. Следовательно, теория Нордстрема допускает точное вакуумное решение
которую мы можем интерпретировать в терминах распространения плоской гравитационной волны.
Это лоренцево многообразие допускает шестимерную группу Ли изометрий или, что то же самое, шестимерную алгебру Ли векторных полей Киллинга:
- (нулевой перевод, «против» на волновой вектор поля )
- (пространственный перенос ортогонален волновым фронтам)
- (вращение вокруг оси параллельно направлению распространения)
Например, векторное поле Киллинга интегрируется, чтобы дать однопараметрическое семейство изометрий
Как и в специальной теории относительности (и общей теории относительности), всегда можно изменить координаты, не нарушая формы решения, так что волна распространяется в любом направлении, поперечном . Отметим, что наша группа изометрий транзитивна на гиперповерхностях.
Напротив, общая гравитационная плоская волна в общей теории относительности имеет только пятимерную группу изометрий Ли . (В обеих теориях особые плоские волны могут иметь дополнительную симметрию.) Мы скажем немного больше о том, почему это так, чуть позже.
Принятие поля кадра
мы находим, что соответствующее семейство пробных частиц является инерционным (свободно падающим), так как вектор ускорения обращается в нуль
Обратите внимание, что если f исчезает, это семейство становится семейством взаимно стационарных пробных частиц в плоском (Минковского) пространстве-времени. Что касается времениподобной геодезической конгруэнции в мировых линиях , полученной путем интегрирования времениподобного единичное векторное поля, То тензор расширения
показывает, что наши пробные частицы расширяются или сжимаются изотропно и поперечно направлению распространения . Это именно то, что можно было бы ожидать от поперечной волны со спином 0 ; поведение аналогичных семейств пробных частиц, которые сталкиваются с плоской гравитационной волной в общей теории относительности, совершенно иное, потому что это волны со спином 2 . Это связано с тем, что теория гравитации Нордстрема является скалярной теорией , тогда как теория гравитации Эйнштейна (общая теория относительности) является тензорной теорией . С другой стороны, гравитационные волны в обеих теориях являются поперечными волнами. Разумеется, плоские электромагнитные волны также являются поперечными . Приливной тензор
далее демонстрирует спин-0 характер гравитационной плоской волны в теории Нордстрема. (Приливный тензор и тензор разложения - это трехмерные тензоры, которые «живут» в элементах гиперплоскости, ортогональных к, который в данном случае является безвихревым , поэтому мы можем рассматривать эти тензоры как определенные на ортогональных гиперпространствах.)
Обсуждаемое здесь точное решение, которое мы интерпретируем как распространяющуюся гравитационную плоскую волну, дает некоторое общее представление о распространении гравитационного излучения в теории Нордстрёма, но не дает никакого представления о генерации гравитационного излучения в этой теории. Здесь было бы естественно обсудить аналог для теории гравитации Нордстрема стандартной линеаризованной теории гравитационных волн в общей теории относительности, но мы не будем этим заниматься.
Смотрите также
- Классические теории гравитации
- Конгруэнтность (общая теория относительности)
- Гуннар Нордстрём
- Устаревшие физические теории
- Общая теория относительности
Рекомендации
- Равндал, Финн (2004). Скалярная гравитация и дополнительные измерения
- Паис, Авраам (1982). «13». Тонкий Господь: наука и жизнь Альберта Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-280672-6.
- Лайтман, Алан П .; Press, William H .; Прайс, Ричард Х. и Теукольски, Сол А. (1975). Сборник задач по теории относительности и гравитации . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08162-X.См. Проблему 13.2 .