Критерий Перес-Horodecki является необходимым условием для совместной матрицы плотности два механических систем квантовых и , быть отделимы . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта не применяется.
В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более продвинутыми тестами, такими как тесты, основанные на свидетелях запутанности .
Определение [ править ]
Если у нас есть общее состояние, которое действует на
Его частичное транспонирование (относительно стороны B) определяется как
Обратите внимание, что партиал в имени подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее, карта идентичности применяется к стороне A, а карта транспонирования применяется к стороне B.
Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:
Где , а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности . Тогда частичное транспонирование будет
Критерий утверждает , что если сепарабельно , то все собственные значения из неотрицательны. Другими словами, если у него отрицательное собственное значение, запутывание гарантировано . Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна или .
Результат не зависит от транспонированной стороны, потому что .
Пример [ править ]
Рассмотрим это двухкубитное семейство утверждений Вернера :
Это можно рассматривать как выпуклую комбинацию из , в максимально запутанном состоянии , и идентичности, в максимально смешанном состоянии .
Его матрица плотности равна
и частичное транспонирование
Наименьшее собственное значение равно . Следовательно, состояние запутано для .
Демонстрация [ править ]
Если ρ отделимо, его можно записать как
В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:
Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр оператора такой же, как спектр , и, в частности, должен быть положительно полуопределенным. Таким образом, также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.
Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы и вызывает теорему Хана – Банаха (см. Ссылку ниже).
Из существования свидетелей запутанности можно показать, что положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием отделимости ρ, где Λ отображается в
Более того, каждое положительное отображение от до может быть разложено на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда и . Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как
где и полностью положительны, а T - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича.
Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Итак, если положительно, положительно для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерий Переса – Городецкого также достаточен для отделимости, когда .
Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерий уже недостаточен. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния обладают тем интересным свойством, что они связаны запутанными , т. Е. Они не могут быть очищены для целей квантовой связи .
Системы непрерывных переменных [ править ]
Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон [1] сформулировал конкретную версию критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для -модовых гауссовских состояний (см. [2] для, казалось бы, другого, но по существу эквивалентного подход). Позже было обнаружено [3], что условие Саймона также необходимо и достаточно для -модовых гауссовских состояний, но уже не достаточно для -модовых гауссовских состояний. Условие Саймона может быть обобщено с учетом моментов высших порядков канонических операторов [4] [5] или с помощью энтропийных мер. [6][7]
Симметричные системы [ править ]
Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что
имеет место, где оператор переворота или свопа обменивается двумя сторонами и . Полная основа симметричного подпространства имеет форму с и Здесь для и должно выполняться, где - размерность двух сторон.
Можно показать, что для таких состояний имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда [8]
выполняется для всех операторов Следовательно, если выполняется для некоторых, то состояние обладает не-PPT- сцепленностью .
Ссылки [ править ]
- ^ Саймон, Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическим обзором . 84 (12): 2726–2729. arXiv : квант-ph / 9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 .
- ^ Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, JI; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическим обзором . 84 (12): 2722–2725. arXiv : квант-ph / 9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 .
- ^ Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическим обзором . 86 (16): 3658–3661. arXiv : квант-ph / 0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 .
- ^ Щукин, Е .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическим обзором . 95 (23): 230502. Arxiv : колич-фот / 0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 .
- ^ Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическим обзором . 96 (5): 050503. Arxiv : колич-фот / 0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 .
- ^ Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическим обзором . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 .
- ^ Yichen Хуанг (октябрь 2013). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации . 59 (10): 6774–6778. DOI : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .
- ^ Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170503 .
- Ашер Перес , Критерий разделимости матриц плотности , Phys. Rev. Lett. 77 , 1413–1415 (1996).
- Городецкий, Михал; Городецкий, Павел; Городецкий, Рышард (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Физика Буквы A . 223 (1–2): 1–8. arXiv : квант-ph / 9605038 . Bibcode : 1996PhLA..223 .... 1H . DOI : 10.1016 / s0375-9601 (96) 00706-2 .
- Кароль Жичковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2006
- Воронович, SL (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys . 10 (2): 165–183. Bibcode : 1976RpMP ... 10..165W . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90038-0 .