PROP (теория категорий)

В теории категорий, разделе математики, PROP — это симметричная строгая моноидальная категория , объектами которой являются натуральные числа n , отождествляемые с конечными множествами , и чье тензорное произведение дается на объектах добавлением чисел. ^[1] Из-за «симметричности» для каждого n симметричная группа по n буквам задается как подгруппа группы автоморфизмов n . Название PROP является аббревиатурой от «Product and Permutation category ».${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

Это понятие было введено Адамсом и Маклейном; его топологическая версия была позже дана Бордманом и Фогтом. ^[2] Вслед за ними Дж. П. Мэй ввел понятие « операда », особый вид PROP.

Имеются следующие включения полных подкатегорий: ^[3]

${\displaystyle {\mathsf {Oper}}\subset {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {PROP}}\subset {\mathsf {PROP}}}$

где первая категория — это категория (симметричных) операд.

Примеры и варианты

Важным элементарным классом PROP являются наборы всех матриц (независимо от количества строк и столбцов) над некоторым фиксированным кольцом . Более конкретно, эти матрицы являются морфизмами PROP; объекты могут быть взяты либо как (наборы векторов), либо просто как простые натуральные числа (поскольку объекты не обязательно должны быть наборами с некоторой структурой). В этом примере:${\displaystyle {\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle \{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• Композиция морфизмов есть обычное умножение матриц .${\displaystyle \circ }$
• Тождественный морфизм объекта (или ) является единичной матрицей со стороной .${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$${\displaystyle n}$
• Произведение действует на объекты как сложение ( или ) и на морфизмы как операция построения блочно-диагональных матриц : .${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle m\otimes n=m+n}$${\displaystyle {\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}}$${\displaystyle \alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}}$
  • Таким образом, совместимость состава и продукта сводится к

    ${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$.

  • В качестве пограничного случая допускаются матрицы без строк ( матрицы) или без столбцов ( матрицы), и в отношении умножения считаются нулевыми матрицами. Тождество — это матрица.${\displaystyle 0\times n}$${\displaystyle m\times 0}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle 0\times 0}$
• Перестановки в PROP — это матрицы перестановок . Таким образом, левое действие перестановки на матрице (морфизм этой PROP) состоит в перестановке строк, тогда как правое действие — в перестановке столбцов.

Существуют также PROP матриц, где продукт является произведением Кронекера , но в этом классе PROP все матрицы должны иметь вид (стороны — это все степени некоторого общего основания ); это координатные аналоги соответствующих симметричных моноидальных категорий векторных пространств при тензорном произведении.${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

Дополнительные примеры PROP:

• дискретная категория натуральных чисел,${\displaystyle \mathbb {N} }$
• категория FinSet натуральных чисел и функций между ними,
• категория Bij натуральных чисел и биекций,
• категория Inj натуральных чисел и инъекций.

Если отбросить требование «симметричность», то получится понятие категории PRO . Если «симметричный» заменить на « b raided », то получится понятие категории PROB .

• категория Bij _Braid натуральных чисел, оснащенная группой кос B _n как автоморфизмами каждого n (и никакими другими морфизмами).

является PROB, но не PROP.

• расширенная симплексная категория натуральных чисел и функции, сохраняющие порядок .${\displaystyle \Delta _{+}}$

пример PRO, который даже не PROB.

Алгебры PRO

Алгебра PRO в моноидальной категории есть строгий моноидальный функтор от до . Каждая PRO и категория порождают категорию алгебр, объектами которых являются алгебры в и чьи морфизмы являются естественными преобразованиями между ними.${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

Например:

• алгебра является просто объектом ,${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$
• алгебра FinSet является коммутативным моноидным объектом ,${\displaystyle C}$
• алгебра является моноидным объектом в .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$

Точнее, то, что мы подразумеваем здесь под «алгебрами in являются моноидными объектами в », например, состоит в том, что категория алгебр in эквивалентна категории моноидов в .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

Смотрите также

• Теория Ловера
• Категория перестановки

использованная литература

• Сондерс Маклейн (1965). «Категорическая алгебра» . Бюллетень Американского математического общества . 71 : 40–106. doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4 .
• Мартин Маркл, Стив Шнайдер , Джим Сташефф (2002). Операды в алгебре, топологии и физике . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4362-8.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Том Ленстер (2004). Высшие операды, высшие категории . Издательство Кембриджского университета. arXiv : математика/0305049 . Бибкод : 2004hohc.book.....L .