Целочисленное отношение между набором действительных чисел x 1 , x 2 , ..., x n представляет собой набор целых чисел a 1 , a 2 , ..., an , а не все 0, такой, что
Алгоритм целочисленных отношений — это алгоритм нахождения целочисленных отношений. В частности, при заданном наборе действительных чисел, известном с заданной точностью, алгоритм целочисленного отношения либо найдет целочисленное отношение между ними, либо определит, что целочисленное отношение не существует с коэффициентами, величины которых меньше определенной верхней границы . [1]
Для случая n = 2 расширение алгоритма Евклида может найти любое целочисленное отношение, существующее между любыми двумя действительными числами x 1 и x 2 . Алгоритм генерирует последовательные члены разложения непрерывных дробей x 1 / x 2 ; если существует целочисленное отношение между числами, то их отношение рационально и алгоритм в конце концов завершается.
Алгоритмы целочисленных отношений имеют множество приложений. Первое приложение состоит в том, чтобы определить, может ли данное действительное число x быть алгебраическим , путем поиска целочисленного отношения между набором степеней x {1, x , x 2 , ..., x n }. Второе приложение заключается в поиске целочисленного отношения между действительным числом x и набором математических констант, таких как e , π и ln(2), что приведет к выражению для x как линейной комбинации этих констант.
Типичный подход в экспериментальной математике состоит в том, чтобы использовать численные методы и арифметику произвольной точности для нахождения приблизительного значения бесконечного ряда , бесконечного произведения или интеграла с высокой степенью точности (обычно не менее 100 значащих цифр), а затем использовать целое число. алгоритм отношения для поиска целочисленного отношения между этим значением и набором математических констант. Если целочисленное отношение найдено, это предполагает возможное выражение в закрытой формедля исходного ряда, произведения или интеграла. Затем эту гипотезу можно проверить с помощью формальных алгебраических методов. Чем выше точность, с которой известны входные данные алгоритма, тем выше уровень уверенности в том, что любое найденное целочисленное отношение не является просто числовым артефактом .
Заметным успехом этого подхода стало использование алгоритма PSLQ для нахождения целочисленного отношения, которое привело к формуле Бейли-Борвейна-Плуффа для значения π . PSLQ также помог найти новые тождества, включающие множественные дзета-функции и их появление в квантовой теории поля ; и в выявлении точек бифуркации логистической карты . Например, где B 4 является четвертой точкой бифуркации логистической карты, константа α = - B 4 ( B 4 - 2) является корнем многочлена 120-й степени, наибольший коэффициент которого равен 257 30 . [12] [13]Алгоритмы целочисленных отношений сочетаются с таблицами математических констант высокой точности и эвристическими методами поиска в таких приложениях, как Обратный символьный калькулятор или Инвертор Плуффа .