Политомическая модель Раша

Политомическая модель Раша является обобщением дихотомической модели Раша . Это модель измерения , которая имеет потенциальное применение в любом контексте, в котором целью является измерение черты или способности посредством процесса, в котором ответы на вопросы оцениваются последовательными целыми числами . Например, модель применима к использованию шкал Лайкерта , рейтинговых шкал и к элементам оценки образования, для которых последовательные более высокие целочисленные баллы предназначены для обозначения повышения уровня компетентности или достижений.

Предыстория и обзор

Политомическая модель Раша была выведена Андричем (1978) вслед за выводами Раша (1961) и Андерсена (1977) путем разложения соответствующих членов общей формы модели Раша на пороговые и дискриминационные параметры. Когда модель была получена, Андрич сосредоточился на использовании шкал Лайкерта в психометрии как в иллюстративных целях, так и для помощи в интерпретации модели.

Эту модель иногда называют моделью рейтинговой шкалы , когда (i) элементы имеют одинаковое количество порогов и (ii), в свою очередь, разница между любым заданным положением порога и средним значением местоположения порога одинакова или одинакова для элементов. Это, однако, потенциально вводящее в заблуждение название модели, поскольку оно имеет гораздо более общее применение, чем так называемые рейтинговые шкалы. Модель также иногда называют моделью частичного кредита ., особенно при применении в образовательных контекстах. Модель частичного кредита (Masters, 1982) имеет идентичную алгебраическую форму, но была получена из другой исходной точки в более позднее время и интерпретируется несколько иначе. Модель частичного кредита также допускает разные пороговые значения для разных предметов. Хотя это название для модели используется часто, Андрич (2005) дает подробный анализ проблем, связанных с элементами подхода Мастера, которые конкретно относятся к типу процесса реагирования, совместимому с моделью, и к эмпирическим ситуациям, в которых оценки расположения порогов неупорядочены. Эти вопросы обсуждаются при разработке следующей модели.

Модель представляет собой общую вероятностную модель измерения, которая обеспечивает теоретическую основу для использования последовательных целочисленных оценок таким образом, чтобы сохранить отличительное свойство, определяющее модели Раша: в частности, общие необработанные оценки являются достаточной статистикой для параметров моделей. Подробную информацию об этом свойстве см. в основной статье модели Раша . В дополнение к сохранению этого свойства модель допускает строгую эмпирическую проверку гипотезы .что категории ответов представляют возрастающие уровни латентного атрибута или черты, поэтому они упорядочены. Причина, по которой модель обеспечивает основу для проверки этой гипотезы, заключается в том, что эмпирически возможно, что пороговые значения не будут отображать их предполагаемый порядок.

В этой более общей форме модели Раша для дихотомических данных оценка по конкретному элементу определяется как количество пороговых местоположений скрытой черты, которые превзошел индивидуум. Это не означает, что процесс измерения влечет за собой такие подсчеты в буквальном смысле; скорее, пороговые местоположения в скрытом континууме обычно выводятся из матрицы данных отклика с помощью процесса оценки, такого как оценка условного максимального правдоподобия . В целом, центральная особенность процесса измерения заключается в том, что индивидуумы классифицируютсяв одну из множества смежных или смежных упорядоченных категорий. Формат ответа, используемый в данном экспериментальном контексте, может достичь этого несколькими способами. Например, респонденты могут выбрать категорию, которая, по их мнению, лучше всего отражает их уровень одобрения утверждения (например, «полностью согласен»), судьи могут классифицировать людей по категориям на основе четко определенных критериев, или человек может классифицировать физический раздражитель на основе на воспринимаемое сходство с набором эталонных стимулов.

Политомическая модель Раша специализируется на модели дихотомических данных, когда ответы можно классифицировать только по двум категориям. В этом особом случае сложность предмета и (один) порог идентичны. Концепция порога подробно рассматривается в следующем разделе.

Политомическая модель Раша

Во-первых, пусть

${\ displaystyle X_ {ni} = x \ in \ {0,1, \ dots, m_ {i} \} \,}$

быть целочисленной случайной величиной , где максимальный балл для элемента i . То есть переменная является случайной величиной, которая может принимать целочисленные значения от 0 до максимум .${\ Displaystyle м_ {я}}$${\ Displaystyle X_ {ни}}$${\ Displaystyle м_ {я}}$

В политомической модели Раша (Andrich, 1978) вероятность исхода равна${\ displaystyle X_ {ni} = x}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x,x>0\}={\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}};}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=0\}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}}$

где - k -е пороговое положение элемента i в латентном континууме, - положение человека n в том же континууме, и - максимальный балл для элемента i . Эти уравнения аналогичны${\displaystyle \tau _{ki}}$${\displaystyle \beta _{n}}$${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}{\sum _{j=0}^{m_{i}}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}}}}$

где значение выбрано для удобства вычислений, то есть: .${\displaystyle \tau _{0i}}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{m_{i}}(\beta _{n}-\tau _{ki})\equiv 0}$

Модель рейтинговой шкалы

Точно так же модель «Оценочная шкала» Раша (Andrich, 1978)

${\displaystyle \Pr\{X_{ni}=x\}={\frac {\exp {{\sum _{k=0}^{x}(\beta _{n}}-({\delta _{i}-\tau _{k}}))}}{\sum _{j=0}^{m}\exp {{\sum _{k=0}^{j}(\beta _{n}}-{(\delta _{i}-\tau _{k}}))}}}}$

где – сложность задания i , – общее для всех заданий k -е пороговое положение шкалы оценок. m — максимальное количество баллов, одинаковое для всех пунктов. выбирается для удобства вычислений.${\displaystyle \delta _{i}}$${\displaystyle \tau _{k}}$${\displaystyle \tau _{0}}$

Применение

Примененная в данном эмпирическом контексте модель может рассматриваться как математическая гипотеза о том, что вероятность данного исхода является вероятностной функцией этих параметров человека и предмета. График, показывающий соотношение между вероятностью данной категории в зависимости от местонахождения человека, называется кривой вероятности категории (CPC). Пример CPC для товара с пятью категориями, оцененными от 0 до 4, показан на рисунке 1.

Рисунок 1: Кривые вероятности категории Раша для элемента с пятью упорядоченными категориями

Заданный порог делит континуум на области выше и ниже его местоположения. Порог соответствует положению в латентном континууме, при котором равновероятно, что человек будет отнесен к соседним категориям и, следовательно, получит одну из двух последовательных оценок. Первый порог пункта i , , представляет собой место на континууме, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 0 или 1, второй порог — это место, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 1 и 2 и так далее. В примере, показанном на рис. 1, пороговые положения равны -1,5, -0,5, 0,5 и 1,5 соответственно.${\displaystyle \tau _{ki}}$${\displaystyle \tau _{1i}}$

Респонденты могут получать баллы разными способами. Например, если используются форматы ответа Лайкерта, « Совершенно не согласен » может быть присвоен 0, « Не согласен » — 1, « Согласен » — 2 и « Абсолютно согласен » — 3. критерии или описания, которые характеризуют повышение уровня достижений в определенной области, например, понимание прочитанного. Общая и центральная черта состоит в том, что некоторый процесс должен привести к отнесению каждого индивидуума к одной из набора упорядоченных категорий, которые в совокупности составляют элемент оценивания.

Доработка модели

Разрабатывая особенности модели, Андрич (2005) поясняет, что ее структура влечет за собой одновременный процесс классификации , который приводит к единственному явному ответу и включает ряд дихотомических скрытых ответов. Кроме того, латентные дихотомические реакции действуют в пределах структуры Гутмана и связанного с ней пространства реакций, как это описано ниже.

Позволять

${\displaystyle Y_{nk}=y\in \{0,1\},k\in \{0,1,\dots ,m\}\,}$

быть набором независимых дихотомических случайных величин. Андрич (1978, 2005) показывает, что политомическая модель Раша требует, чтобы эти дихотомические ответы соответствовали скрытому подпространству ответов Гуттмана:

${\displaystyle \Omega '\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{1,\dots ,1,0,\dots ,0\}}$

в котором за x единиц следует mx нулей. Например, в случае двух порогов допустимые шаблоны в этом подпространстве ответов:

${\displaystyle 0,0\Leftrightarrow 0}$

${\displaystyle 1,0\Leftrightarrow 1}$

${\displaystyle 1,1\Leftrightarrow 2}$

где целочисленная оценка x , подразумеваемая каждым шаблоном (и наоборот), такая, как показано. Причина, по которой это подпространство подразумевается моделью, заключается в следующем. Позволять

${\displaystyle P_{nxi}={\frac {\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}{1+\exp({\beta _{n}}-{\tau _{ki}})}},\ k=x,\,}$

быть вероятность того, что и пусть . Эта функция имеет структуру модели Раша для дихотомических данных. Далее рассмотрим следующую условную вероятность в случае двух порогов:${\displaystyle Y_{nki}=1}$${\displaystyle Q_{nxi}=1-P_{nxi}}$

${\displaystyle {\frac {P_{n1}Q_{n2}}{Q_{n1}Q_{n2}+P_{n1}Q_{n2}+P_{n1}P_{n2}}}.}$

Можно показать, что эта условная вероятность равна

${\displaystyle {\frac {\exp {{\sum _{k=1}^{1}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}{1+\sum _{j=1}^{2}\exp {{\sum _{k=1}^{j}(\beta _{n}}-{\tau _{k}})}}}}$

что, в свою очередь, является вероятностью , заданной политомической моделью Раша. Из знаменателя этих уравнений видно, что вероятность в этом примере зависит от шаблонов ответов или . Таким образом, очевидно, что в целом подпространство отклика , как определено ранее, является неотъемлемой частью структуры политомической модели Раша. Это ограничение на подпространство необходимо для обоснования целочисленной оценки ответов: т. е. так, чтобы оценка была просто количеством превышенных упорядоченных порогов. Андрич (1978) показал, что для этого обоснования также необходима одинаковая дискриминация на каждом из порогов.${\displaystyle Pr\{X_{ni}=1\}}$${\displaystyle \{0,0\},\{1,0\},}$${\displaystyle \{1,1\}}$${\displaystyle \Omega '}$

В политомической модели Раша оценка x по данному пункту означает, что человек одновременно преодолел x пороговых значений ниже определенной области континуума и не смог превзойти оставшиеся m  -  x .пороги выше этой области. Чтобы это стало возможным, пороговые значения должны располагаться в своем естественном порядке, как показано в примере на рис. 1. Неупорядоченные оценки пороговых значений указывают на неспособность построить контекст оценки, в котором классификации, представленные последовательными оценками, отражают возрастающие уровни латентного черта характера. Например, рассмотрим ситуацию, в которой есть два порога и в которой оценка второго порога ниже на континууме, чем оценка первого порога. Если местоположение понимать буквально, отнесение человека к категории 1 означает, что местонахождение человека одновременно превышает второй порог, но не превышает первый порог. В свою очередь, это подразумевает шаблон ответа {0,1},паттерн, не принадлежащий подпространству паттернов, свойственному структуре модели, как описано выше.

Поэтому, когда пороговые оценки неупорядочены, их нельзя воспринимать буквально; скорее, беспорядок сам по себе по своей сути указывает на то, что классификации не удовлетворяют критериям, которые должны быть логически удовлетворены, чтобы оправдать использование последовательных целочисленных оценок в качестве основы для измерения. Чтобы подчеркнуть этот момент, Андрич (2005) использует пример, в котором присуждаются оценки «неудачно», «сдано», «зачет» и «отлично». Эти степени или классификации обычно предназначены для представления возрастающих уровней.достижения. Рассмотрим человека А, чье местоположение в латентном континууме находится на пороге между областями в континууме, где наиболее вероятно получение пропуска и кредита. Возьмем также другого человека Б, чье местонахождение находится на пороге между регионами, в которых наиболее вероятно получение кредита и отличия. В примере, рассмотренном Андричем (2005, стр. 25), неупорядоченные пороги, если понимать их буквально, подразумевают, что местонахождение человека А (по порогу прохода/зачета) выше, чем у человека Б (по порогу зачета/различия). порог). То есть, если понимать буквально, неупорядоченные пороговые местоположения подразумевают, что человеку необходимо будет продемонстрировать более высокий уровень достижений, чтобы быть на пороге прохода / кредита, чем это необходимо для достижения порога кредита / отличия. Четко,это не согласуется с целью такой системы оценок. Таким образом, нарушение порогов указывает на то, что способ выставления оценок не согласуется с назначением системы оценок. То есть беспорядок будет указывать на то, что гипотеза, заложенная в системе оценок, — что оценки представляют собой упорядоченные классификации повышения успеваемости — не подтверждается структурой эмпирических данных.неупорядоченность указывает на то, что гипотеза, заложенная в системе оценивания, а именно, что оценки представляют собой упорядоченные классификации возрастающих результатов, не подтверждается структурой эмпирических данных.неупорядоченность указывает на то, что гипотеза, заложенная в системе оценивания, а именно, что оценки представляют собой упорядоченные классификации возрастающих результатов, не подтверждается структурой эмпирических данных.

использованная литература

• Андерсен, Э.Б. (1977). Достаточная статистика и модели скрытых черт, Психометрика , 42, 69–81.
• Андрич, Д. (1978). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика , 43, 561–73.
• Андрич, Д. (2005). Объяснение модели Раша. В Sivakumar Alagumalai, David D Durtis и Njora Hungi (Eds.) Applied Rasch Measurement: Book of examples . Спрингер-Клювер. Глава 3, 308–328.
• Мастерс, Г. Н. (1982). Модель Раша для частичного кредитного скоринга. Психометрика , 47, 149–174.
• Раш, Г. (1960/1980). Вероятностные модели для некоторых тестов интеллекта и достижений . (Копенгаген, Датский институт исследований в области образования), расширенное издание (1980 г.) с предисловием и послесловием Б. Д. Райта. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
• фон Давье, М. и Рост, Дж. (1995). Политомические смешанные модели Раша . В GH Fischer & IW Molenaar (Eds.): Модели Раша - основы, последние разработки и приложения. (стр. 371-379). Нью-Йорк: Спрингер. https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-4230-7_20
• фон Давье М. (2014) Политомические модели Раша. В: Михалос AC (ред.) Энциклопедия исследований качества жизни и благополучия. Спрингер, Дордрехт. https://doi.org/10.1007/978-94-007-0753-5_2412
• Райт, Б.Д. и Мастерс, Г.Н. (1982). Анализ рейтинговой шкалы . Чикаго: MESA Press. (Доступно в Институте объективных измерений.)

внешняя ссылка

• Неупорядоченные пороги и информация об элементе
• Категорийное расстройство и пороговое расстройство
• Андрич о неустроенных порогах и «ступенях»
• Справочник Rasch Software - бесплатные и платные программы
• Институт объективных измерений
• анализ Раша
• Модель Раша в Stata