Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( сентябрь 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В теоретической физике , путь упорядочение является процедура (или мета-оператор ) , что заказы произведения операторов в соответствии со значением выбранного параметра :
Здесь p - перестановка, которая упорядочивает параметры по значению:
Например:
Примеры [ править ]
Если оператор выражается не просто как произведение, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить разложение Тейлора этой функции. Это тот случай , из петли Вильсона , который определен как path- заказал экспоненциальным , чтобы гарантировать , что петля Уилсон кодирует голономию в связи с калибровочным . Параметр σ , определяющий порядок, является параметром, описывающим контур , и поскольку контур замкнут, петля Вильсона должна быть определена как след , чтобы быть калибровочно-инвариантной .
Заказ времени [ править ]
В квантовой теории поля полезно брать упорядоченное по времени произведение операторов. Эта операция обозначается . (Хотя его часто называют «оператором временного порядка», строго говоря, он не является ни оператором состояний, ни супероператором операторов.)
Для двух операторов A ( x ) и B ( y ), которые зависят от местоположений x и y в пространстве-времени, мы определяем:
Здесь и обозначим инвариантные скалярные координаты времени точек x и y. [1]
Явно мы имеем
где обозначает ступенчатую функцию Хевисайда, а зависит от того, являются ли операторы бозонными или фермионными по своей природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества замен операторов, необходимых для достижения надлежащего временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы сюда не входят.
Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (то есть не только во времени), эта операция временного упорядочения не зависит от координат только в том случае, если операторы в пространственно разделенных точках коммутируют . Вот почему необходимо использовать вместо , поскольку обычно указывает зависимый от координаты временный индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что порядок времени обычно записывается с аргументом времени, увеличивающимся справа налево.
В общем, для произведения n полевых операторов A 1 ( t 1 ),…, A n ( t n ) упорядоченное по времени произведение операторов определяется следующим образом:
где сумма пробегает все над р» с и над симметрической группой из п степени перестановок и
S-матрица в квантовой теории поля является примером временной упорядоченной продукта. S-матрица, преобразующая состояние при t = −∞ в состояние при t = + ∞ , также может рассматриваться как своего рода « голономия », аналогичная петле Вильсона . Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:
Начнем с этой простой формулы для экспоненты
Теперь рассмотрим дискретизированный оператор эволюции
где - оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени . Членами более высокого порядка в пределе можно пренебречь . Оператор определяется как
Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части продукта. Мы видим, что формула аналогична указанному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем написать
Единственная тонкость, которую нам пришлось включить, - это оператор упорядочения по времени, потому что факторы в продукте, определяющем S выше, также были упорядочены по времени (и операторы обычно не коммутируют), и оператор гарантирует, что этот порядок будет сохранен.
См. Также [ править ]
- Упорядоченная экспонента (по сути, та же концепция)
- Калибровочная теория
- S-матрица
Ссылки [ править ]
- ^ Стивен Вайнберг , Квантовая теория полей , Vol. 3, Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55001-7 , стр. 143.