Порядковый экспоненциальный

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Порядок экспоненты»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Заказал экспоненциальным , также называемый путем упорядоченных экспоненциальным , является математической операцией определены в некоммутативных алгебрах , эквивалентны экспонентам от интеграла в коммутативных алгебрах. На практике упорядоченная экспонента используется в матричных и операторных алгебрах.

Определение [ править ]

Пусть A - алгебра над вещественным или комплексным полем K , а a ( t ) - параметризованный элемент A ,

${\ displaystyle a: K \ to A. \,}$

Параметр t в a ( t ) в этом контексте часто называют параметром времени .

Упорядоченная экспонента a обозначается

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {OE} [a] (t) \ Equiv {\ mathcal {T}} \ left \ {e ^ {\ int _ {0} ^ {t} a (t ' ) \, dt '} \ right \} & \ Equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ int _ {0} ^ {t} \ cdots \ int _ {0} ^ {t} {\ mathcal {T}} \ left \ {a (t '_ {1}) \ cdots a (t' _ {n}) \ right \} \, dt '_ { 1} \ cdots dt '_ {n} \\ & \ Equiv \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {t} \ int _ {0} ^ {t' _ { n}} \ int _ {0} ^ {t '_ {n-1}} \ cdots \ int _ {0} ^ {t' _ {2}} a (t '_ {n}) \ cdots a ( t '_ {1}) \, dt' _ {1} \ cdots dt '_ {n-2} dt' _ {n-1} dt '_ {n} \ end {align}}}$

где член n  = 0 равен 1, а где - операция более высокого порядка, которая обеспечивает упорядочение экспоненты по времени : любое произведение a ( t ), которое появляется в разложении экспоненты, должно быть упорядочено таким образом, чтобы значение t увеличивается справа налево от продукта; схематический пример:${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

Это ограничение необходимо, поскольку произведения в алгебре не обязательно коммутативны.

Операция отображает параметризованный элемент на другой параметризованный элемент или символически,

${\displaystyle \operatorname {OE} {\mathrel {:}}\left(K\to A\right)\to \left(K\to A\right).}$

Есть несколько способов более строго определить этот интеграл.

Произведение экспонент [ править ]

Упорядоченная экспонента может быть определена как левый интеграл произведения бесконечно малых экспонент или, что эквивалентно, как упорядоченное произведение экспонент в пределе, когда количество членов растет до бесконечности:

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\rightarrow \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)}$

где моменты времени { т ₀ , ..., т _Н } определяются как т _я ≡ я Δ T для я = 0, ..., N , и Δ T ≡ T / N .

Упорядоченная экспонента на самом деле является геометрическим интегралом . ^{[1] [2] [3]}

Решение дифференциального уравнения [ править ]

Упорядоченная экспонента - единственное решение задачи начального значения :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}}$

Решение интегрального уравнения [ править ]

Упорядоченная экспонента является решением интегрального уравнения :

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.}$

Это уравнение эквивалентно предыдущей задаче начального значения.

Расширение бесконечной серии [ править ]

Упорядоченную экспоненту можно определить как бесконечную сумму,

${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}\int _{0}^{t_{1}}a(t_{1})a(t_{2})\,dt_{2}\,dt_{1}+\cdots .}$

Это можно получить, рекурсивно подставив интегральное уравнение в себя.

Пример [ править ]

Дано многообразие, где для a с групповым преобразованием оно выполняется в точке :${\displaystyle M}$${\displaystyle e\in TM}$${\displaystyle g:e\mapsto ge}$${\displaystyle x\in M}$

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

Здесь обозначает внешнее дифференцирование, а - действующий на него оператор связи (поле 1-формы) . При интегрировании вышеуказанного уравнения оно выполняется (теперь это оператор связи, выраженный в координатном базисе)${\displaystyle d}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle e(x)}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

с оператором упорядочивания путей, который упорядочивает факторы в порядке пути . Для особого случая, который является антисимметричным оператором и представляет собой бесконечно малый прямоугольник с длинами ребер и углами в точках выше, выражение упрощается следующим образом:${\displaystyle \operatorname {P} }$${\displaystyle \gamma (t)\in M}$${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle |u|,|v|}$${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

Следовательно, он поддерживает тождество группового преобразования . Если это гладкое соединение, расширяя указанную выше величину до второго порядка по бесконечно малым величинам, можно получить для упорядоченной экспоненты тождество с поправочным членом, который пропорционален тензору кривизны .${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$${\displaystyle |u|,|v|}$

См. Также [ править ]

• Упорядочивание путей (по сути, та же концепция)
• Расширение Магнуса
• Интеграл продукта
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях
• Неопределенный продукт
• Фрактальная производная

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Сайт неньютоновского исчисления