В калибровочной теории , А петля Вильсона ( по имени Kenneth G. Wilson ) представляет собой датчик-инвариантного наблюдаемый получается из голономии в связи с калибровочным вокруг заданного контура. В классической теории набор всех луп Вильсона содержит достаточно информации, чтобы восстановить калибровочную связность, вплоть до калибровочного преобразования . [1]
Обзор
В квантовой теории поля определение наблюдаемых петель Вильсона как истинных операторов в пространствах Фока является математически тонкой проблемой и требует регуляризации , обычно путем оснащения каждой петли оснащением . Действие операторов петли Вильсона интерпретируется как создание элементарного возбуждения квантового поля, локализованного на петле. Таким образом, фарадеевские «магнитные трубки» становятся элементарными возбуждениями квантового электромагнитного поля.
Петли Вильсона были введены в 1974 г. в попытке непертурбативной формулировки квантовой хромодинамики (КХД) или, по крайней мере, в качестве удобного набора переменных для работы с сильно взаимодействующим режимом КХД. [2] Проблема удержания , для решения которой были разработаны петли Вильсона, остается нерешенной по сей день.
Тот факт, что в сильно связанных квантовых калибровочных теориях поля есть элементарные непертурбативные возбуждения, которые представляют собой петли, побудил Александра Полякова сформулировать первые теории струн , которые описывали распространение элементарной квантовой петли в пространстве-времени.
Петли Вильсона сыграли важную роль в формулировке петлевой квантовой гравитации , но там их вытеснили спиновые сети (а позже и спиновые пены ), определенное обобщение петель Вильсона.
В физике элементарных частиц и теории струн петли Вильсона часто называют линиями Вильсона , особенно петли Вильсона вокруг несжимаемых петель компактного многообразия.
Уравнение
Петля Вильсон переменная величина определяется следом траектории упорядоченной экспоненты в виде калибровочного поля по закрытой линии С перевозят:
Здесь, замкнутая кривая в пространстве, - оператор упорядочивания путей . При калибровочном преобразовании
- ,
где соответствует начальной (и конечной) точке цикла (только начальная и конечная точки линии вносят вклад, тогда как промежуточные калибровочные преобразования компенсируют друг друга). Например, для датчиков SU (2); является произвольной действительной функцией , а также - три матрицы Паули; как обычно, подразумевается сумма по повторяющимся индексам.
Инвариантность следа относительно циклических перестановок гарантирует, чтоинвариантен относительно калибровочных преобразований . Заметим, что отслеживаемая величина является элементом калибровочной группы Ли, а след действительно является характером этого элемента по отношению к одному из бесконечного числа неприводимых представлений , из чего следует, что операторыне обязательно ограничиваться «классом следа» (таким образом, с чисто дискретным спектром), но может быть, как правило, эрмитовым (или математически: самосопряженным). Именно потому, что мы, наконец, смотрим на трассу, не имеет значения, какая точка цикла выбрана в качестве начальной. Все они имеют одинаковую ценность.
На самом деле, если A рассматривается как соединение над основным G-расслоением , приведенное выше уравнение действительно следует «читать» как параллельный перенос тождества по петле, который даст элемент группы Ли G.
Обратите внимание, что экспонента с последовательным порядком является удобной сокращенной записью, распространенной в физике, которая скрывает изрядное количество математических операций. Математик назвал бы линейно упорядоченную экспоненту связи «голономией связи» и охарактеризовал бы ее дифференциальным уравнением параллельного переноса, которому она удовлетворяет.
При T = 0, где T соответствует температуре, переменная петли Вильсона характеризует ограничение или деконфайнмент калибровочно-инвариантной теории квантового поля, а именно в зависимости от того, увеличивается ли переменная с площадью или, альтернативно, с длиной окружности петли ( «районный закон» или, альтернативно, «окружной закон», также известный как «закон периметра»).
В КХД при конечных температурах тепловое математическое ожидание линии Вильсона различает ограниченную «адронную» фазу и деконфайндерное состояние поля, например кварк-глюонную плазму .
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Giles, R. (1981). «Восстановление калибровочных потенциалов по петлям Вильсона». Physical Review D . 24 (8): 2160. Bibcode : 1981PhRvD..24.2160G . DOI : 10.1103 / PhysRevD.24.2160 .
- ^ Уилсон, К. (1974). «Конфайнмент кварков». Physical Review D . 10 (8): 2445. Bibcode : 1974PhRvD..10.2445W . DOI : 10.1103 / PhysRevD.10.2445 .
Внешние ссылки
- Бекман, Дэвид; Готтесман, Даниэль; Китаев, Алексей; Прескилл, Джон (2002-03-05). «Измеримость операторов петли Вильсона» . Physical Review D . 65 (6): 065022. arXiv : hep-th / 0110205 . DOI : 10.1103 / PhysRevD.65.065022 . ISSN 0556-2821 .