Супероператор

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Супероператор»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В физике , супероператор является линейным оператором действует на векторном пространстве от линейных операторов . ^[1]

Иногда этот термин более конкретно относится к полностью положительной карте, которая сохраняет или не увеличивает след своего аргумента . Это специализированное значение широко используется в области квантовых вычислений , особенно квантового программирования , поскольку они характеризуют отображения между матрицами плотности .

Использование суперпрефикса здесь никоим образом не связано с другим его использованием в математической физике. То есть супероператоры не имеют никакого отношения к суперсимметрии и супералгебре, которые являются расширением обычных математических понятий, определяемых расширением кольца чисел, чтобы включить в него числа Грассмана . Поскольку супероператоры сами являются операторами, используется префикс суперпрефикса, чтобы отличить их от операторов, на которые они действуют.

Умножение влево / вправо [ править ]

Определяя левый и правый супероператоры умножения с помощью и, соответственно, можно выразить коммутатор как${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (A) [\ rho] = A \ rho}$${\ Displaystyle {\ mathcal {R}} (A) [\ rho] = \ rho A}$

${\ displaystyle [A, \ rho] = {\ mathcal {L}} (A) [\ rho] - {\ mathcal {R}} (A) [\ rho].}$

Затем мы векторизуем матрицу, которая является отображением${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i, j} \ rho _ {ij} | i \ rangle \ langle j | \ to | \ rho \ rangle \ rangle = \ sum _ {i, j} \ rho _ { ij} | i \ rangle \ otimes | j \ rangle.}$

Матричное представление затем вычисляется с использованием того же отображения${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (А)}$

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

указывая на это . Точно так же можно это показать . Эти представления позволяют нам вычислять такие вещи, как собственные значения, связанные с супероператорами. Эти собственные значения особенно полезны в области открытых квантовых систем, где действительные части собственных значений супероператора Линдблада будут указывать, будет ли квантовая система релаксировать или нет.${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$

Пример уравнения фон Неймана [ править ]

В квантовой механике уравнение Шредингера , выражает эволюцию во времени вектора состояния под действием гамильтониана , который является оператором отображение векторы состояния в векторы состояния.${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\hat {H}}}$

В более общей формулировке Джона фон Неймана статистические состояния и ансамбли выражаются операторами плотности, а не векторами состояний. В этом контексте временная эволюция оператора плотности выражается через уравнение фон Неймана , в котором оператор плотности воздействует через супероператор отображения операторов для операторов. Он определяется взятием коммутатора относительно гамильтонова оператора:${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]}$

куда

${\displaystyle {\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}}$

Поскольку коммутаторные скобки широко используются в QM, это явное супероператорное представление действия гамильтониана обычно опускается.

Пример производных функций в пространстве операторов [ править ]

При рассмотрении операторнозначной функции операторов, например, когда мы определяем квантово-механический гамильтониан частицы как функцию операторов положения и импульса, мы можем (по любой причине) определить «производную оператора» как супероператор, отображающий оператор оператору.${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})}$${\displaystyle {\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$

Например, если тогда его производная оператора является супероператором, определяемым следующим образом:${\displaystyle H(P)=P^{3}=PPP}$

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

Эта «производная от оператора» представляет собой просто матрицу Якоби функции (операторов), где ввод и вывод оператора рассматриваются просто как векторы и расширяют пространство операторов в некотором базисе. Тогда матрица Якоби является оператором (на одном более высоком уровне абстракции), действующим в этом векторном пространстве (операторов).

См. Также [ править ]

Линдблад супероператор

Ссылки [ править ]