Критерий Переса-Horodecki является необходимым условием для совместной матрицы плотности двух квантово-механических систем а также , чтобы быть отделимым . Его также называют критерием PPT для положительного частичного транспонирования . В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения разделимости смешанных состояний , где разложение Шмидта не применяется.
В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более продвинутыми тестами, такими как тесты, основанные на свидетелях запутанности .
Определение
Если у нас есть общее состояние который действует на
Его частичное транспонирование (относительно стороны B) определяется как
Обратите внимание, что партиал в имени подразумевает, что транспонируется только часть состояния. Точнее,- карта идентичности, примененная к стороне A, и карта транспонирования, примененная к стороне B.
Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:
Где , а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности . Тогда частичное транспонирование
Критерий гласит, что если отделимо тогда все собственные значения изнеотрицательны. Другими словами, если имеет отрицательное собственное значение, гарантированно запутается . Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна или же .
Результат не зависит от партии, которая была перенесена, потому что .
Пример
Рассмотрим это 2-кубитное семейство утверждений Вернера :
Его можно рассматривать как выпуклую комбинацию из, максимально запутанное состояние , и тождество, максимально смешанное состояние .
Его матрица плотности равна
и частичное транспонирование
Его наименьшее собственное значение . Следовательно, состояние запутано для.
Демонстрация
Если ρ отделимо, его можно записать как
В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:
Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр такой же, как и спектр , и в частности все еще должно быть положительным полуопределенным. Таким образомтакже должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.
Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутанности . Это результат геометрической природы и вызывает теорему Хана – Банаха (см. Ссылку ниже).
Из наличия свидетелей запутывания можно показать, что положительность для всех положительных отображений Λ является необходимым и достаточным условием отделимости ρ, где Λ отображает к
Кроме того, каждая положительная карта из к можно разложить на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда а также . Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как
где а также полностью положительны, а T - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича.
Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Так что если положительный, положительна для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерия Переса – Городецкого также достаточно для отделимости, когда.
Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерия уже недостаточно. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния обладают тем интересным свойством, что они связаны запутанными , т. Е. Они не могут быть очищены для целей квантовой коммуникации .
Системы непрерывных переменных
Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон [1] сформулировал частный вариант критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для-модовые гауссовские состояния (см., казалось бы, другой, но по существу эквивалентный подход в [2] ). Позже было установлено [3], что условие Саймона также необходимо и достаточно для-модовые гауссовские состояния, но уже не достаточны для -модовые гауссовские состояния. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов [4] [5] или используя энтропийные меры. [6] [7]
Симметричные системы
Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что
держит, где Оператор переворота или свопа обменивается двумя сторонами а также . Полный базис симметричного подпространства имеет вид с участием а также Здесь для а также должен держаться, где это измерение двух сторон.
Можно показать, что для таких состояний имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда [8]
выполняется для всех операторов Следовательно, если справедливо для некоторых тогда государство обладает не-PPT запутанностью .
Рекомендации
- ^ Саймон, Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическим обзором . 84 (12): 2726–2729. arXiv : квант-ph / 9909044 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2726S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2726 . PMID 11017310 .
- ^ Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, JI; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическим обзором . 84 (12): 2722–2725. arXiv : квант-ph / 9908056 . Bibcode : 2000PhRvL..84.2722D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.84.2722 . PMID 11017309 .
- ^ Вернер, РФ; Вольф, ММ (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическим обзором . 86 (16): 3658–3661. arXiv : квант-ph / 0009118 . Bibcode : 2001PhRvL..86.3658W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.86.3658 . PMID 11328047 .
- ^ Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическим обзором . 95 (23): 230502. Arxiv : колич-фот / 0508132 . Bibcode : 2005PhRvL..95w0502S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.95.230502 . PMID 16384285 .
- ^ Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическим обзором . 96 (5): 050503. Arxiv : колич-фот / 0507168 . Bibcode : 2006PhRvL..96e0503H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.050503 . PMID 16486912 .
- ^ Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическим обзором . 103 (16): 160505. arXiv : 0909.0147 . Bibcode : 2009PhRvL.103p0505W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.103.160505 . PMID 19905682 .
- ^ Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации . 59 (10): 6774–6778. DOI : 10.1109 / TIT.2013.2257936 .
- ^ Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическим обзором . 102 (17): 170503. arXiv : 0812.4453 . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.170503 .
- Ашер Перес , Критерий разделимости матриц плотности , Phys. Rev. Lett. 77 , 1413–1415 (1996).
- Городецкий, Михал; Городецкий, Павел; Городецкий, Рышард (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Физика Буквы A . 223 (1–2): 1–8. arXiv : квант-ph / 9605038 . Bibcode : 1996PhLA..223 .... 1H . DOI : 10.1016 / s0375-9601 (96) 00706-2 .
- Кароль Жичковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2006
- Воронович, SL (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys . 10 (2): 165–183. Bibcode : 1976RpMP ... 10..165W . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90038-0 .