Идеальный цифровой инвариант

В теории чисел , совершенный цифровой инвариант (PDI) представляет собой число в данной системе счисления , которая является суммой собственных цифр каждой поднятый до заданной мощности . ^{[1] [2]}${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$

Определение [ править ]

Позвольте быть натуральным числом . Мы определяем идеальную цифровую инвариантную функцию (также известную как функция счастья от счастливых чисел ) для основания и мощности следующим образом:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b> 1}$${\ displaystyle p> 0}$ ${\ displaystyle F_ {p, b}: \ mathbb {N} \ rightarrow \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle F_ {p, b} (n) = \ sum _ {i = 0} ^ {k-1} d_ {i} ^ {p}.}$

где - количество цифр в числе в базе , а ${\ Displaystyle к = \ lfloor \ log _ {b} {n} \ rfloor +1}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle d_ {i} = {\ frac {n {\ bmod {b ^ {i + 1}}} - n {\ bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}$

- значение каждой цифры числа. Натуральное число является идеальным цифровым инвариантом, если оно является фиксированной точкой для , что имеет место, если . и являются тривиальными совершенными цифровыми инвариантами для всех, а все другие совершенные цифровые инварианты являются нетривиальными совершенными цифровыми инвариантами .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ displaystyle F_ {p, b} (n) = n}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle p}$

Например, число 4150 в базе является идеальным цифровым инвариантом , потому что .${\ displaystyle b = 10}$${\ displaystyle p = 5}$${\ displaystyle 4150 = 4 ^ {5} + 1 ^ {5} + 5 ^ {5} + 0 ^ {5}}$

Натуральное число является общительным цифровой инвариантным , если она является периодической точкой для , где для положительного целого числа ( в данном случае это й итерации в ), и образует цикл периода . Идеальный цифровой инвариант - это общительный цифровой инвариант с , а дружественный цифровой инвариант - это общительный цифровой инвариант с .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ Displaystyle F_ {p, b} ^ {k} (n) = n}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle F_ {p, b} ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k = 1}$${\ displaystyle k = 2}$

Все натуральные числа являются препериодическими точками для независимо от основания. Это потому , что if , so any будет удовлетворять до . Существует конечное число натуральных чисел меньше чем , поэтому число гарантированно достигнет периодической точки или фиксированной точки меньше чем , что делает ее предпериодической точкой.${\ displaystyle n}$${\ displaystyle F_ {p, b}}$${\ Displaystyle к \ geq p + 2}$${\ Displaystyle п \ geq b ^ {k-1}> b ^ {p} k}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n> F_ {b, p} (n)}$${\ Displaystyle п <Ь ^ {р + 1}}$${\ displaystyle b ^ {p + 1}}$${\ displaystyle b ^ {p + 1}}$

Числа в базе приводят к фиксированным или периодическим точкам чисел .${\ displaystyle b> p}$${\displaystyle n\leq (p-2)^{p}+p(b-1)^{p}}$

Число итераций , необходимых для достичь неподвижной точки является идеальной цифровой инвариантной функция в живучести от и неопределенного , если он никогда не достигает фиксированную точку.${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{p,b}^{i}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{1,b}}$это сумма цифр . Единственными совершенными цифровыми инвариантами являются однозначные числа в базе , и нет периодических точек с простым периодом больше 1.${\displaystyle b}$

${\displaystyle F_{p,2}}$сводится к , как для любой мощности , и .${\displaystyle F_{1,2}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 0^{p}=0}$${\displaystyle 1^{p}=1}$

Для каждого натурального числа , если , и , затем для каждого натурального числа , если , то , где - функция Эйлера .${\displaystyle k>1}$${\displaystyle p<b}$${\displaystyle (b-1)\equiv 0{\bmod {k}}}$${\displaystyle (p-1)\equiv 0{\bmod {\phi }}(k)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\equiv m{\bmod {k}}}$${\displaystyle F_{p,b}(n)\equiv m{\bmod {k}}}$${\displaystyle \phi (k)}$

Невозможно определить верхнюю границу размера совершенных цифровых инвариантов в данной базе и произвольной степени, и в настоящее время неизвестно, является ли количество совершенных цифровых инвариантов для произвольной базы конечным или бесконечным. ^[1]

Совершенные цифровые инварианты F _{2, b} [ править ]

По определению, любой трехзначный совершенный цифровой инвариант для с натуральным числом цифрами , , должно удовлетворять кубическое уравнение диофантовой . Однако для любого должно быть равно 0 или 1 , потому что максимальное значение может быть равно . В результате на самом деле есть два связанных квадратных диофантова уравнения, которые нужно решить:${\displaystyle n=d_{2}d_{1}d_{0}}$${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle b>2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=(2-1)^{2}+2(b-1)^{2}=1+2(b-1)^{2}<2b^{2}}$

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}=d_{1}b+d_{0}}$когда , и${\displaystyle d_{2}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{2}+d_{1}^{2}+1=b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$когда .${\displaystyle d_{2}=1}$

Двузначное натуральное число - идеальный цифровой инвариант в базе ${\displaystyle n=d_{1}d_{0}}$

${\displaystyle b=d_{1}+{\frac {d_{0}(d_{0}-1)}{d_{1}}}.}$

Это можно доказать, взяв первый случай, где и решив для . Это означает , что при некоторых значениях и , не является совершенным цифровым инвариантным в любой системе счисления, а не делитель из . Более того, потому что если или , то , что противоречит более раннему утверждению, что .${\displaystyle d_{2}=0}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{0}(d_{0}-1)}$${\displaystyle d_{0}>1}$${\displaystyle d_{0}=0}$${\displaystyle d_{0}=1}$${\displaystyle b=d_{1}}$${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$

Не существует трехзначных совершенных цифровых инвариантов для , что можно доказать, взяв второй случай, где , и допустив и . Тогда диофантово уравнение для трехзначного совершенного цифрового инварианта принимает вид ${\displaystyle F_{2,b}}$${\displaystyle d_{2}=1}$${\displaystyle d_{0}=b-a_{0}}$${\displaystyle d_{1}=b-a_{1}}$

${\displaystyle (b-a_{0})^{2}+(b-a_{1})^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}-2a_{0}b+a_{0}^{2}+b^{2}-2a_{1}b+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle 2b^{2}-2(a_{0}+a_{1})b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

${\displaystyle b^{2}+(b-2(a_{0}+a_{1}))b+a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+1=b^{2}+(b-a_{1})b+(b-a_{0})}$

Однако для всех значений . Таким образом, не существует решений диофантова уравнения и трехзначных совершенных цифровых инвариантов для .${\displaystyle 2(a_{0}+a_{1})>a_{1}}$${\displaystyle 0<a_{1}\leq b}$${\displaystyle F_{2,b}}$

Совершенные цифровые инварианты F _{3, b} [ править ]

После единицы есть всего четыре числа, которые представляют собой суммы кубиков своих цифр:

${\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}}$

${\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}}$

${\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}.}$

Это странные факты, которые очень подходят для столбцов головоломок и могут развлечь любителей, но в них нет ничего, что привлекало бы математиков. (последовательность A046197 в OEIS )

-  Дж. Х. Харди , Извинения математика

По определению, любой четырехзначный совершенный цифровой инвариант для с натуральным числом цифр , , , должен удовлетворять квартику диофантово уравнение . Однако для любого должно быть равно 0, 1, 2 , потому что максимальное значение может быть равно . В результате на самом деле есть три связанных кубических диофантовых уравнения, которые нужно решить.${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle 0\leq d_{0}<b}$${\displaystyle 0\leq d_{1}<b}$${\displaystyle 0\leq d_{2}<b}$${\displaystyle 0\leq d_{3}<b}$${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+d_{3}^{3}=d_{3}b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$${\displaystyle d_{3}}$${\displaystyle b>3}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=(3-2)^{3}+3(b-1)^{3}=1+3(b-1)^{3}<3b^{3}}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}=d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=0}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+1=b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=1}$

${\displaystyle d_{0}^{3}+d_{1}^{3}+d_{2}^{3}+8=2b^{3}+d_{2}b^{2}+d_{1}b+d_{0}}$ когда ${\displaystyle d_{3}=2}$

Возьмем первый случай, когда .${\displaystyle d_{3}=0}$

b = 3 k + 1 [ править ]

Позвольте быть положительным целым числом и основанием числа . Потом:${\displaystyle k}$${\displaystyle b=3k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)b}$идеальный цифровой инвариант для всех .${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb^{2}+(2k+1)b+1}$идеальный цифровой инвариант для всех .${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle k}$

• ${\displaystyle n_{3}=(k+1)b^{2}+(2k+1)}$идеальный цифровой инвариант для всех .${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle k}$

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$	${\displaystyle n_{2}}$	${\displaystyle n_{3}}$
1	4	130	131	203
2	7	250	251	305
3	10	370	371	407
4	13	490	491	509
5	16	5B0	5B1	60B
6	19	6D0	6D1	70D
7	22	7F0	7F1	80F
8	25	8H0	8H1	90H
9	28 год	9J0	9J1	A0J

b = 3 k + 2 [ править ]

Позвольте быть положительным целым числом и основанием числа . Потом:${\displaystyle k}$${\displaystyle b=3k+2}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb^{2}+(2k+1)}$идеальный цифровой инвариант для всех .${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle k}$

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{1}}$
1	5	103
2	8	205
3	11	307
4	14	409
5	17	50B
6	20	60D
7	23	70F
8	26 год	80H
9	29	90J

b = 6 k + 4 [ править ]

Позвольте быть положительным целым числом и основанием числа . Потом:${\displaystyle k}$${\displaystyle b=6k+4}$

• ${\displaystyle n_{4}=kb^{2}+(3k+2)b+(2k+1)}$идеальный цифровой инвариант для всех .${\displaystyle F_{3,b}}$${\displaystyle k}$

Совершенные цифровые инварианты

${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle n_{4}}$
0	4	021
1	10	153
2	16	285
3	22	3B7
4	28 год	4E9

Совершенные цифровые инварианты и циклы F _{p , b} для конкретных p и b [ править ]

Все числа представлены в базе . ${\displaystyle b}$

${\displaystyle p}$	${\displaystyle b}$	Нетривиальные совершенные цифровые инварианты	Циклы
2	3	12, 22	2 → 11 → 2
	4	${\displaystyle \varnothing }$	${\displaystyle \varnothing }$
	5	23, 33	4 → 31 → 20 → 4
	6	${\displaystyle \varnothing }$	5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
	7	13, 34, 44, 63	2 → 4 → 22 → 11 → 2 16 → 52 → 41 → 23 → 16
	8	24, 64	4 → 20 → 4 5 → 31 → 12 → 5 15 → 32 → 15
	9	45, 55	58 → 108 → 72 → 58 75 → 82 → 75
	10	${\displaystyle \varnothing }$	4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
	11	56, 66	5 → 23 → 12 → 5 68 → 91 → 75 → 68
	12	25, А5	5 → 21 → 5 8 → 54 → 35 → 2A → 88 → A8 → 118 → 56 → 51 → 22 → 8 18 → 55 → 42 → 18 68 → 84 → 68
	13	14, 36, 67, 77, A6, C4	28 → 53 → 28 79 → A0 → 79 98 → B2 → 98
	14	${\displaystyle \varnothing }$	1B → 8A → BA → 11B → 8B → D3 → CA → 136 → 34 → 1B 29 → 61 → 29
	15	78, 88	2 → 4 → 11 → 2 8 → 44 → 22 → 8 15 → 1Б → 82 → 48 → 55 → 35 → 24 → 15 2B → 85 → 5E → EB → 162 → 2B 4E → E2 → D5 → CE → 17A → A0 → 6A → 91 → 57 → 4E 9А → С1 → 9А D6 → DA → 12E → D6
	16	${\displaystyle \varnothing }$	D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
3	3	122	2 → 22 → 121 → 101 → 2
	4	20, 21, 130, 131, 203, 223, 313, 332	${\displaystyle \varnothing }$
	5	103, 433	14 → 230 → 120 → 14
	6	243, 514, 1055	13 → 44 → 332 → 142 → 201 → 13
	7	12, 22, 250, 251, 305, 505	2 → 11 → 2 13 → 40 → 121 → 13 23 → 50 → 236 → 506 → 665 → 1424 → 254 → 401 → 122 → 23 51 → 240 → 132 → 51 160 → 430 → 160 161 → 431 → 161 466 → 1306 → 466 516 → 666 → 1614 → 552 → 516
	8	134, 205, 463, 660, 661	662 → 670 → 1057 → 725 → 734 → 662
	9	30, 31, 150, 151, 570, 571, 1388	38 → 658 → 1147 → 504 → 230 → 38 152 → 158 → 778 → 1571 → 572 → 578 → 1308 → 660 → 530 → 178 → 1151 → 152 638 → 1028 → 638 818 → 1358 → 818
	10	153, 370, 371, 407	55 → 250 → 133 → 55 136 → 244 → 136 160 → 217 → 352 → 160 919 → 1459 → 919
	11	32, 105, 307, 708, 966, A06, A64	3 → 25 → 111 → 3 9 → 603 → 201 → 9 A → 82A → 1162 → 196 → 790 → 895 → 1032 → 33 → 4A → 888 → 1177 → 576 → 5723 → A3 → 8793 → 1210 → A 25А → 940 → 661 → 364 → 25А 366 → 388 → 876 → 894 → A87 → 1437 → 366 49А → 1390 → 629 → 797 → 1077 → 575 → 49А
	12	577, 668, A83, 11AA
	13	490, 491, 509, B85	13 → 22 → 13
	14	136, 409
	15	C3A, D87
	16	23, 40, 41, 156, 173, 208, 248, 285, 4A5, 580, 581, 60B, 64B, 8C0, 8C1, 99A, AA9, AC3, CA8, E69, EA0, EA1
4	3	${\displaystyle \varnothing }$	121 → 200 → 121 122 → 1020 → 122
	4	1103, 3303	3 → 1101 → 3
	5	2124, 2403, 3134	1234 → 2404 → 4103 → 2323 → 1234 2324 → 2434 → 4414 → 11034 → 2324 3444 → 11344 → 4340 → 4333 → 3444
	6	${\displaystyle \varnothing }$
	7	${\displaystyle \varnothing }$
	8	20, 21, 400, 401, 420, 421
	9	432, 2466
5	3	1020, 1021, 2102, 10121	${\displaystyle \varnothing }$
	4	200	3 → 3303 → 23121 → 10311 → 3312 → 20013 → 10110 → 3 3311 → 13220 → 10310 → 3311

Расширение до отрицательных целых чисел [ править ]

Совершенные цифровые инварианты могут быть расширены до отрицательных целых чисел путем использования представления цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Сбалансированный тройной [ править ]

В сбалансированной троичной системе это цифры 1, -1 и 0. Это приводит к следующему:

• При нечетных степенях , сводится до суммы цифр итерации, так как , и .${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {2}}}$${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$${\displaystyle (-1)^{p}=-1}$${\displaystyle 0^{p}=0}$${\displaystyle 1^{p}=1}$
• С даже полномочий , указывает на то, является ли число четным или нечетным, так как сумма каждой цифры будет указывать делимость на 2 , если и только если сумма концов цифр в 0. Как и для каждой пары из цифр 1 или -1, их сумма равна 0, а сумма их квадратов равна 2.${\displaystyle p\equiv 0{\bmod {2}}}$${\displaystyle F_{p,{\text{bal}}3}}$${\displaystyle 0^{p}=0}$${\displaystyle (-1)^{p}=1^{p}=1}$

Отношение к счастливым числам [ править ]

Счастливое число для данного основания и данной степени является предпериодической точкой для идеальной цифровой инвариантной функции, такой, что -я итерация равна тривиальному совершенному цифровому инварианту , а несчастливое число - такое, что такого не существует .${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F_{p,b}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F_{p,b}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m}$

Пример программирования [ править ]

В приведенном ниже примере реализована функция идеального цифрового инварианта, описанная в приведенном выше определении, для поиска идеальных цифровых инвариантов и циклов в Python . Это можно использовать для поиска счастливых чисел .

def  pdif ( x :  int ,  p :  int ,  b :  int )  ->  int :  "" "Идеальная цифровая инвариантная функция." ""  total  =  0,  а  x  >  0 :  total  =  total  +  pow ( x  %  b ,  p )  x  =  x  //  b  вернуть  итогЗащиту  pdif_cycle ( х :  ИНТ ,  р :  INT ,  б :  ИНТ )  ->  Список [ ИНТ ]:  видел  =  [] ,  а  х  не  в  видел :  видел . append ( x )  x  =  pdif ( x ,  p ,  b )  cycle  =  []  пока  x  не находится  в  цикле :  cycle .append ( x )  x  =  pdif ( x ,  p ,  b )  цикл возврата 

См. Также [ править ]

• Арифметическая динамика
• Номер Дудени
• Факторион
• Счастливый номер
• Постоянная Капрекара
• Число Капрекара
• Число Меертенса
• Нарциссическое число
• Идеальный инвариант преобразования цифр в цифру
• Сумма-номер продукта

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Цифровые инварианты