Перифокальная система координат

Перифокальные координаты ( PQW ) система является системой отсчета для орбиты . Кадр центрируется в фокусе орбиты, то есть небесном теле, вокруг которого центрируется орбита. Орбиты и лежат в плоскости орбиты. направлен к перицентру орбиты и имеет истинную аномалию ( ) 90 градусов за перицентром. Третий единичный вектор является вектором углового момента и направлен перпендикулярно плоскости орбиты так, что: ^{[1] [2]}${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}}}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {q}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = \ mathbf {\ hat {p}} \ times \ mathbf {\ hat {q}}}$

А поскольку - вектор углового момента, его также можно выразить как:${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {w}} = {\ frac {\ mathbf {h}} {\ | \ mathbf {h} \ |}}}$

где h - удельный относительный угловой момент.

Векторы положения и скорости могут быть определены для любого местоположения орбиты. Вектор положения r может быть выражен как:

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ | r \ | \ cos \ theta \ mathbf {\ hat {p}} + \ | r \ | \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {q}}}$

где - истинная аномалия, а радиус r может быть вычислен из уравнения орбиты .${\ displaystyle \ theta}$

Вектор скорости v находится путем взятия производной по времени вектора положения:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {\ dot {r}} = ({\ dot {r}} \ cos \ theta -r {\ dot {\ theta}} \ sin \ theta) \ mathbf {\ шляпа {p}} + ({\ dot {r}} \ sin \ theta + r {\ dot {\ theta}} \ cos \ theta) \ mathbf {\ hat {q}}}$

Можно сделать вывод из уравнения орбиты, чтобы показать, что:

${\ displaystyle {\ dot {r}} = {\ frac {\ mu} {h}} е \ sin \ theta}$

где - гравитационный параметр фокуса, h - удельный относительный угловой момент орбитального тела, e - эксцентриситет орбиты, а - истинная аномалия. - радиальная составляющая вектора скорости (направленная внутрь к фокусу) и тангенциальная составляющая вектора скорости. Путем подстановки уравнений для и в уравнение вектора скорости и упрощения окончательная форма уравнения вектора скорости получается как: ^[3]${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ dot {r}}}$${\ Displaystyle г {\ точка {\ theta}}}$${\ displaystyle {\ dot {r}}}$${\ Displaystyle г {\ точка {\ theta}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mu }{h}}[-\sin \theta \mathbf {\hat {p}} +(e+\cos \theta )\mathbf {\hat {q}} ]}$

Преобразование из экваториальной системы координат [ править ]

Перифокальная система координат также может быть определена с использованием параметров орбиты наклонения ( i ), прямого восхождения восходящего узла ( ) и аргумента перицентра ( ). Следующие уравнения преобразуют орбиту из экваториальной системы координат в перифокальную систему координат. ^[4]${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{i}&=\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega \\p_{j}&=\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega \\p_{k}&=\sin i\sin \omega \\[8pt]q_{i}&=-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega \\q_{j}&=-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega \\q_{k}&=\sin i\cos \omega \\[8pt]w_{i}&=\sin i\sin \Omega \\w_{j}&=-\sin i\cos \Omega \\w_{k}&=\cos i\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {p}} &=p_{i}\mathbf {\hat {I}} +p_{j}\mathbf {\hat {J}} +p_{k}\mathbf {\hat {K}} \\\mathbf {\hat {q}} &=q_{i}\mathbf {\hat {I}} +q_{j}\mathbf {\hat {J}} +q_{k}\mathbf {\hat {K}} \\\mathbf {\hat {w}} &=w_{i}\mathbf {\hat {I}} +w_{j}\mathbf {\hat {J}} +w_{k}\mathbf {\hat {K}} \end{aligned}}}$

а , и - орты экваториальной системы координат.${\displaystyle \mathbf {\hat {I}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {J}} }$${\displaystyle \mathbf {\hat {K}} }$

Приложения [ править ]

Перифокальные системы отсчета чаще всего используются с эллиптическими орбитами по той причине, что координата должна быть выровнена с вектором эксцентриситета . Круговые орбиты , не имеющие эксцентриситета, не дают возможности ориентировать систему координат относительно фокуса. ^[5]${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

Перифокальная система координат может также использоваться в качестве инерциальной системы отсчета, поскольку оси не вращаются относительно неподвижных звезд. Это позволяет рассчитать инерцию любых орбитальных тел в этой системе отсчета. Это полезно при попытке решить такие проблемы, как проблема двух тел . ^[6]

Ссылки [ править ]