Уравнение орбиты

В астродинамики орбита уравнение определяет путь орбитальных тел вокруг центрального тела относительно , без указания позиции в качестве функции времени. Согласно стандартным предположениям, тело, движущееся под действием силы, направленной к центральному телу, с величиной, обратно пропорциональной квадрату расстояния (например, гравитации), имеет орбиту, которая является коническим сечением (т. Е. Круговая орбита , эллиптическая орбита , параболическая траектория , гиперболическая траектория или радиальная траектория ) с центральным телом, расположенным в одном из двух фокусов${\ displaystyle m_ {2} \, \!}$ ${\ displaystyle m_ {1} \, \!}$${\ displaystyle m_ {1} \, \!}$Или фокус ( первый закон Кеплера ).

Если коническое сечение пересекает центральное тело, то фактическая траектория может быть только частью над поверхностью, но для этой части все еще применяется уравнение орбиты и многие связанные формулы, пока это свободное падение (ситуация невесомости ).

Центральная сила закона обратных квадратов [ править ]

Рассмотрим систему двух тел , состоящую из центрального тела массы M и гораздо меньше, обращающегося тела массы т , и предположим , что два тела взаимодействуют через центральный , закон обратных квадратов силы (например, гравитации ). В полярных координатах уравнение орбиты можно записать как ^[1]

${\ displaystyle r = {\ frac {\ ell ^ {2}} {m ^ {2} \ mu}} {\ frac {1} {1 + e \ cos \ theta}}}$

где - разделительное расстояние между двумя телами, а - угол, который составляет с осью перицентра (также называемый истинной аномалией ). Параметр представляет собой угловой момент движущегося по орбите тела относительно центрального тела и равен . ^{[Примечание 1]} Параметр является постоянным , для которого равно ускорение меньшего тела (для гравитации, является гравитационным параметром , ). Для данной орбиты, чем больше , тем быстрее движется по ней орбитальное тело: вдвое быстрее, если притяжение в четыре раза сильнее. Параметр - это${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle mr ^ {2} {\ dot {\ theta}}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu / r ^ {2}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle -GM}$${\ displaystyle \ mu}$${\displaystyle e}$эксцентриситет орбиты, и определяется как ^[1]

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2E\ell ^{2}}{m^{3}\mu ^{2}}}}}}$

где - энергия орбиты.${\displaystyle E}$

Вышеупомянутая связь между и описывает коническое сечение . ^[1] Значение контролирует, какого типа коническое сечение орбита:${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle e}$

• когда орбита эллиптическая ;${\displaystyle e<1}$
• когда орбита параболическая ;${\displaystyle e=1}$
• когда орбита гиперболическая .${\displaystyle e>1}$

Минимальное значение в уравнении:${\displaystyle r}$

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1+e}}}$

в то время как, если , максимальное значение:${\displaystyle e<1}$

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$

Если максимум меньше радиуса центрального тела, то коническое сечение представляет собой эллипс, который полностью находится внутри центрального тела, и никакая его часть не является возможной траекторией. Если максимум больше, а минимум меньше радиуса, возможна часть траектории:

• если энергия неотрицательна (параболическая или гиперболическая орбита): движение идет либо от центрального тела, либо к нему.
• если энергия отрицательная: движение может быть сначала в сторону от центрального тела, вплоть до

${\displaystyle r={{\ell ^{2}} \over {m^{2}\mu }}{{1} \over {1-e}}}$

после чего объект падает обратно.

Если становится так, что орбитальное тело входит в атмосферу, стандартные допущения больше не применяются, как при входе в атмосферу .${\displaystyle r}$

Траектории с низкой энергией [ править ]

Если центральным телом является Земля, а энергия лишь немного превышает потенциальную энергию на поверхности Земли, тогда орбита эллиптическая с эксцентриситетом, близким к 1, и один конец эллипса находится сразу за центром Земли, а другой конец чуть выше поверхности. Применима только небольшая часть эллипса.

Если горизонтальная скорость равна , то перицентрическое расстояние равно . Энергия на поверхности Земли соответствует энергии эллиптической орбиты с (с радиусом Земли), которая на самом деле не может существовать, потому что это эллипс, полностью находящийся под поверхностью. Увеличение энергии с увеличением на это в размере . Максимальная высота над поверхностью орбиты равна длине эллипса минус минус часть "ниже" центра Земли, следовательно, вдвое больше минус перицентрического расстояния. Вверху ^{[ чего? ]} потенциальная энергия умножена на эту высоту, а кинетическая энергия равна${\displaystyle v\,\!}$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2g}}}$${\displaystyle a=R/2\,\!}$${\displaystyle R\,\!}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 2g\,\!}$${\displaystyle R\,\!}$${\displaystyle a\,\!}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}}$. Это добавляет к только что упомянутому увеличению энергии. Ширина эллипса 19 минут ^{[ почему? ]} раз .${\displaystyle v\,\!}$

Часть эллипса над поверхностью может быть аппроксимирована частью параболы, которая получается в модели, в которой сила тяжести считается постоянной. Это следует отличать от параболической орбиты в смысле астродинамики, где скорость - это скорость убегания .

См. Также траекторию .

Категоризация орбит [ править ]

Рассмотрим орбиты, которые в одной точке находятся горизонтально у поверхности Земли. Для увеличения скорости в этот момент орбиты будут следующими:

• часть эллипса с вертикальной большой осью, с центром Земли в качестве дальнего фокуса (бросание камня, суборбитальный космический полет , баллистическая ракета )
• круг над поверхностью Земли ( низкая околоземная орбита )
• эллипс с вертикальной большой осью, с центром Земли в качестве ближнего фокуса
• парабола
• гипербола

Обратите внимание, что в приведенной выше последовательности ^{[ где? ]} , , И монотонно, но сначала уменьшается от 1 до 0, затем возрастает от 0 до бесконечности. Инверсия - это когда центр Земли меняется с дальнего фокуса на ближний (другой фокус начинается около поверхности и проходит через центр Земли). У нас есть${\displaystyle h}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle a}$${\displaystyle e}$

${\displaystyle e=\left|{\frac {R}{a}}-1\right|}$

Распространяя это на орбиты, которые являются горизонтальными на другой высоте, и орбиты, экстраполяция которых горизонтальна ниже поверхности Земли, мы получаем категоризацию всех орбит, кроме радиальных траекторий , для которых, кстати, уравнение орбиты может не использоваться. В этой классификации эллипсы считаются дважды, так что для эллипсов с обеих сторон над поверхностью можно ограничиться , чтобы на сторону , которая ниже в качестве опорной части, в то время как для эллипсов , из которых только одна сторона над поверхностью, с этой стороны.

См. Также [ править ]

• Первый закон Кеплера
• Круговая орбита
• Эллиптическая орбита
• Параболическая траектория
• Гиперболическая траектория
• Ракетное уравнение
• Орбитальная скорость
• Скорость убегания

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]