В геометрии , то линия Филон является отрезок линии определяется из угла и точки внутри угла , как самый короткий отрезок через точку , которая имеет свои конечные точки на обеих сторонах угла. Также известная как линия Филона , она названа в честь Филона Византийского , греческого писателя, писавшего о механических устройствах, который жил, вероятно, в I или II веке до нашей эры. Филон использовал линию, чтобы удвоить куб ; [1] [2] поскольку удвоение куба не может быть выполнено с помощью линейки и циркуля , также нельзя построить линию Филона. [1] [3]
Геометрическая характеристика
Определяющая точка линии Филона и основание перпендикуляра от вершины угла к линии равноудалены от конечных точек линии. То есть предположим, что сегмент это линия Филона для точки и угол , и разреши быть основанием перпендикулярной линии к . потом а также . [1]
Наоборот, если а также любые две точки, равноудаленные от концов отрезка , и если любая точка на линии, проходящей через что перпендикулярно , тогда это линия Филона для угла и указать . [1]
Удвоение куба
Линия Филона может использоваться для удвоения куба , то есть для построения геометрического представления кубического корня из двух, и это было целью Филона при определении этой линии. В частности, пустьбыть прямоугольником, соотношение сторон которого является , как на рисунке. Позволять быть точкой зрения Филона относительно прямого угла . Определить точку быть точкой пересечения линии и круга, проходящего через точки . Потому что треугольник вписан в круг с как диаметр, это прямоугольный треугольник, и является основанием перпендикуляра от вершины угла к линии Филона.
Позволять быть точкой, где линия пересекает перпендикулярную линию через . Тогда равенства отрезков, , а также следуют из характерного свойства линии Филона. Подобие прямоугольных треугольников, , а также пройти по перпендикуляру пополам прямоугольных треугольников. Объединение этих равенств и сходств дает равенство пропорций. или более кратко . Поскольку первый и последний члены этих трех равных пропорций находятся в соотношении, сами пропорции должны быть , пропорция, необходимая для удвоения куба. [4]
Поскольку удвоение куба невозможно с помощью линейки и циркуля , аналогично невозможно построить линию Филона с помощью этих инструментов. [1] [3]
Рекомендации
- ^ a b c d e Ив, Ховард (1965). Обзор геометрии . 2 . Бостон: Аллин и Бэкон. С. 39, 234–236.
- ^ Уэллс, Дэвид (1991). «Линия Филона». Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Книги пингвинов. С. 182–183.
- ^ а б Кимберлинг, Кларк (2003). Геометрия в действии: подход к открытию с использованием блокнота Geometer . Эмеривилл, Калифорния: Издательство Ключевого колледжа. С. 115–116. ISBN 1-931914-02-8.
- ^ Кокстер, HSM ; ван де Краатс, Ян (1993). «Линии Филона в неевклидовых плоскостях». Журнал геометрии . 48 (1–2): 26–55. DOI : 10.1007 / BF01226799 . Руководство по ремонту 1242701 .
дальнейшее чтение
- Неовиус, Эдуард (1888). "Ueber eine specielle geometrische Aufgabe des Minimums" . Mathematische Annalen . 31 (3): 359–362. DOI : 10.1007 / BF01206220 .
- Нойберг, Дж. (1907). "Sur un minimum". Матезис : 68–69.
- Веттерлинг, WWE (1996). «Обобщенная линия Филона: задача оптимизации из геометрии» (PDF) . Журнал теории оптимизации и приложений . 90 (3): 517–521. DOI : 10.1007 / BF02189793 . Руководство по ремонту 1402620 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Философская линия» . MathWorld .