Политомическая модель Раша является обобщением дихотомической модели Раша . Это модель измерения, которая имеет потенциальное применение в любом контексте, в котором целью является измерение характеристики или способности посредством процесса, в котором ответы на вопросы оцениваются последовательными целыми числами . Например, модель применима к использованию шкал Лайкерта , рейтинговых шкал и элементов образовательной оценки, для которых последовательно более высокие целые баллы предназначены для обозначения возрастающих уровней компетентности или достижений.
Предпосылки и обзор
Политомическая модель Раша была получена Андричем (1978), последующим в отведения от Rasch (1961) и Андерсена (1977), по решению соответствующих терминов общего вида модели Раша в в пороговые и дискриминации параметры. Когда модель была выведена, Андрич сосредоточился на использовании шкал Лайкерта в психометрии , как в иллюстративных целях, так и для помощи в интерпретации модели.
Модель иногда называют моделью рейтинговой шкалы, когда (i) элементы имеют одинаковое количество пороговых значений и (ii), в свою очередь, разница между любым заданным пороговым местоположением и средним значением пороговых местоположений одинакова или одинакова для элементов. Это, однако, потенциально вводящее в заблуждение название модели, поскольку оно имеет гораздо более общее применение, чем так называемые рейтинговые шкалы. Модель также иногда называют моделью частичного кредита , особенно когда она применяется в образовательной среде. Модель частичного кредита (Masters, 1982) имеет идентичную алгебраическую форму, но была получена из другой отправной точки в более позднее время и интерпретируется несколько иначе. Модель частичного кредита также допускает разные пороговые значения для разных статей. Хотя это название модели часто используется, Андрич (2005) предоставляет подробный анализ проблем, связанных с элементами подхода Мастерс, которые относятся конкретно к типу процесса реагирования, совместимому с моделью, и к эмпирическим ситуациям, в которых оценки пороговых местоположений неупорядочены. Эти вопросы обсуждаются при разработке следующей модели.
Модель представляет собой общую вероятностную модель измерения, которая обеспечивает теоретическую основу для использования последовательных целочисленных оценок таким образом, чтобы сохранить отличительное свойство, которое определяет модели Раша: в частности, общие исходные оценки являются достаточной статистикой для параметров моделей. См. Основную статью о модели Раша для уточнения этого свойства. Помимо сохранения этого свойства, модель позволяет провести строгую эмпирическую проверку гипотезы о том, что категории ответов представляют возрастающие уровни скрытого атрибута или признака, следовательно, упорядочены. Причина, по которой модель обеспечивает основу для проверки этой гипотезы, заключается в том, что эмпирически возможно, что пороговые значения не будут отображать предполагаемый порядок.
В этой более общей форме модели Раша для дихотомических данных оценка по конкретному пункту определяется как количество пороговых местоположений на скрытой характеристике, которые превзошел индивид. Это не означает, что процесс измерения влечет за собой такой подсчет в буквальном смысле; скорее, местоположения порогов в скрытом континууме обычно выводятся из матрицы данных отклика посредством процесса оценки, такого как оценка условного максимума правдоподобия . В общем, центральная особенность процесса измерения состоит в том, что люди классифицируются в одну из набора смежных или смежных упорядоченных категорий. Формат ответа, используемый в данном экспериментальном контексте, может достичь этого несколькими способами. Например, респонденты могут выбрать категорию, которая, по их мнению, лучше всего отражает их уровень поддержки утверждения (например, `` полностью согласен ''), судьи могут классифицировать людей по категориям на основе четко определенных критериев, или человек может классифицировать физический стимул на основе на воспринимаемое сходство с набором эталонных стимулов.
Политомическая модель Раша специализируется на модели дихотомических данных, когда ответы можно разделить только на две категории. В этом особом случае сложность предмета и (единичный) порог идентичны. Концепция порога подробно рассматривается в следующем разделе.
Политомическая модель Раша
Во-первых, пусть
быть целочисленной случайной величиной, гдеэто максимальная оценка по пункту i . То есть переменная случайная величина, которая может принимать целые значения от 0 до максимум .
В политомической модели Раша (Andrich, 1978) вероятность исхода является
где является k- м пороговым местоположением элемента i в скрытом континууме,- расположение человека n в одном континууме, иэто максимальная оценка по пункту i . Эти уравнения такие же, как
где значение выбрано из соображений удобства вычислений, то есть: .
Модель рейтинговой шкалы
Аналогичным образом, модель «рейтинговой шкалы» Раша (Андрич, 1978) является
где сложность пункта i и- k- е пороговое место шкалы оценок, общее для всех пунктов. m - это максимальное количество баллов, одинаковое для всех элементов. выбрано для удобства вычислений.
Заявление
Применяемая в данном эмпирическом контексте, модель может рассматриваться как математическая гипотеза о том, что вероятность данного результата является вероятностной функцией этих параметров человека и предмета. График, показывающий соотношение между вероятностью данной категории как функцией местоположения человека, называется кривой вероятности категории (CPC). Пример цен за клик для товара с пятью категориями, оцененными от 0 до 4, показан на рисунке 1.
Заданный порог разделяет континуум на области выше и ниже его местоположения. Пороговое значение соответствует местоположению в скрытом континууме, при котором человек с равной вероятностью будет отнесен к смежным категориям и, следовательно, получит один из двух последовательных баллов. Первый порог пункта i ,, - это место в континууме, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 0 или 1, второй порог - это место, в котором человек с равной вероятностью получит оценку 1 и 2, и так далее. В примере, показанном на рисунке 1, положения пороговых значений равны -1,5, -0,5, 0,5 и 1,5 соответственно.
Респонденты могут получать баллы разными способами. Например, когда форматы ответ Лайкерта заняты, категорически не согласны , может быть назначены 0, не согласен с 1, согласен с 2 и Полностью согласна с 3. В контексте оценки в образовательной психологии , последовательно более высокие баллы целого числа может быть присвоены в соответствии с явным критерии или описания, которые характеризуют возрастающий уровень достижений в определенной области, например, понимание прочитанного. Общая и центральная особенность состоит в том, что в результате некоторого процесса каждый человек должен быть отнесен к одной из упорядоченных категорий, которые вместе составляют элемент оценки.
Доработка модели
Разрабатывая особенности модели, Андрич (2005) поясняет, что ее структура влечет за собой одновременный процесс классификации , который приводит к единственной явной реакции и включает серию дихотомических скрытых реакций. Кроме того, латентные дихотомические ответы действуют в рамках структуры Гуттмана и связанного с ней пространства ответов, как описано ниже.
Позволять
- набор независимых дихотомических случайных величин. Андрич (1978, 2005) показывает, что политомическая модель Раша требует, чтобы эти дихотомические ответы соответствовали скрытому подпространству ответов Гуттмана:
в котором за x единиц следуют mx нулей. Например, в случае двух пороговых значений допустимые шаблоны в этом подпространстве ответа следующие:
где целочисленная оценка x, подразумеваемая каждым шаблоном (и наоборот), такая, как показано. Причина, по которой это подпространство подразумевается моделью, заключается в следующем. Позволять
быть вероятностью того, что и разреши . Эта функция имеет структуру модели Раша для дихотомических данных. Затем рассмотрим следующую условную вероятность в случае двух пороговых значений:
Можно показать, что эта условная вероятность равна
что, в свою очередь, является вероятностью заданные политомической моделью Раша. Из знаменателя этих уравнений видно, что вероятность в этом примере зависит от характера реакции или же . Таким образом, очевидно, что в общем случае подпространство отклика, как определено ранее, является неотъемлемой частью структуры политомической модели Раша. Это ограничение на подпространство необходимо для обоснования целочисленной оценки ответов: т. Е. Для того, чтобы оценка была просто подсчетом упорядоченных превышенных пороговых значений. Андрич (1978) показал, что равная дискриминация на каждом из порогов также необходима для этого оправдания.
В политомической модели Раша оценка x по заданному пункту означает, что человек одновременно превысил пороговые значения x ниже определенной области континуума и не смог превзойти оставшиеся пороговые значения m - x выше этой области. Для того, чтобы это было возможно, пороговые значения должны располагаться в их естественном порядке, как показано в примере на рисунке 1. Неупорядоченные оценки пороговых значений указывают на невозможность построения контекста оценки, в котором классификации, представленные последовательными оценками, отражают возрастающие уровни скрытых черта характера. Например, рассмотрим ситуацию, в которой есть два порога, и в которой оценка второго порога ниже на континууме, чем оценка первого порога. Если понимать местоположения буквально, отнесение человека к категории 1 подразумевает, что местоположение человека одновременно превышает второй порог, но не превышает первый порог. В свою очередь, это подразумевает шаблон ответа {0,1}, шаблон, который не принадлежит подпространству шаблонов, присущих структуре модели, как описано выше.
Поэтому, когда оценки пороговых значений неупорядочены, их нельзя воспринимать буквально; скорее, беспорядок сам по себе по своей сути указывает на то, что классификации не удовлетворяют критериям, которые должны быть логически удовлетворены, чтобы оправдать использование последовательных целочисленных оценок в качестве основы для измерения. Чтобы подчеркнуть этот момент, Андрич (2005) использует пример, в котором присуждаются оценки «не прошел», «прошел успешно», «зачетные единицы» и «Отличие». Эти оценки или классификации обычно предназначены для представления возрастающих уровней достижений. Рассмотрим человека A, чье положение в латентном континууме находится на пороге между регионами континуума, при котором с наибольшей вероятностью будет присужден проход и зачет. Рассмотрим также другого человека B, чье местоположение находится на пороге между регионами, в которых с наибольшей вероятностью будет присуждена оценка и награда. В примере, рассмотренном Андричем (2005, с. 25), неупорядоченные пороги, если понимать их буквально, означало бы, что местоположение человека A (на проходном / зачетном пороге) выше, чем на человеке B (при заслуге / отличии). порог). То есть, если понимать буквально, неупорядоченные местоположения пороговых значений будут означать, что человеку необходимо будет продемонстрировать более высокий уровень достижений для достижения порогового значения прохождения / зачета, чем необходимо для достижения порогового значения зачетности / отличия. Ясно, что это не соответствует цели такой системы оценок. Таким образом, неупорядоченность пороговых значений указывает на то, что способ выставления оценок не соответствует цели системы оценок. То есть беспорядок указывает на то, что гипотеза, заложенная в системе оценок, - что оценки представляют собой упорядоченные классификации повышения успеваемости, - не подтверждается структурой эмпирических данных.
Рекомендации
- Андерсен, Е.Б. (1977). Достаточная статистика и модели скрытых черт, Психометрика , 42, 69–81.
- Андрич, Д. (1978). Формулировка рейтинга для упорядоченных категорий ответов. Психометрика , 43, 561–73.
- Андрич, Д. (2005). Объяснение модели Раша. В Sivakumar Alagumalai, David D Durtis, and Njora Hungi (Eds.) Applied Rasch Measurement: A book of examples . Springer-Kluwer. Глава 3, 308–328.
- Мастерс, Г. Н. (1982). Модель Раша для частичного кредитного скоринга. Психометрика , 47, 149–174.
- Раш, Г. (1960/1980). Вероятностные модели для некоторых тестов интеллекта и достижений . (Копенгаген, Датский институт исследований в области образования), расширенное издание (1980 г.) с предисловием и послесловием Б. Д. Райта. Чикаго: Издательство Чикагского университета.
- Райт, BD & Masters, GN (1982). Анализ рейтинговой шкалы . Чикаго: MESA Press. (Доступно в Институте объективных измерений.)