В математике степень простого числа — это положительная целая степень одного простого числа . Например: 7 = 7 1 , 9 = 3 2 и 64 = 2 6 — степени простых чисел, а 6 = 2 × 3 , 12 = 2 2 × 3 и 36 = 6 2 = 2 2 × 3 2 — нет.
Последовательность простых степеней начинается 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251, ... (последовательность A246655 в ОИС ).
Степени простых чисел — это те положительные целые числа, которые делятся ровно на одно простое число; в частности, число 1 не является степенью простого числа. Степени простых чисел также называются первичными числами , как и при первичном разложении .
Простые степени — это степени простых чисел. Каждая степень простого числа (кроме степеней числа 2) имеет первообразный корень ; таким образом, мультипликативная группа целых чисел по модулю p n (т. е. группа единиц кольца Z / p n Z ) является циклической .
Количество элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и, наоборот, каждая степень простого числа возникает как количество элементов в некотором конечном поле (которое уникально с точностью до изоморфизма ).
Свойство простых степеней, часто используемое в аналитической теории чисел , состоит в том, что множество простых степеней, которые не являются простыми, является малым множеством в том смысле, что бесконечная сумма их обратных величин сходится , хотя простые числа представляют собой большое множество.