Примитивная группа перестановок

В математике , группа подстановок G действует на непустую конечное множество X называется примитивной , если G действует транзитивно на X и G не сохраняет не нетривиального разбиения на X , где нетривиальный раздел означает раздел , который не является разбиение на одноэлементные множества или разбиение на один установ X . В противном случае, если G транзитивна и G действительно сохраняет нетривиальное разбиение, G называется импримитивной .

Хотя примитивные группы перестановок транзитивны по определению, не все транзитивные группы перестановок примитивны. Требование транзитивности примитивной группы необходимо только тогда, когда X - 2-элементное множество и действие тривиально; в противном случае из условия, что G не сохраняет нетривиальное разбиение, следует, что G транзитивна. Это потому , что для не-транзитивные действия либо орбиты из G образуют ненулевую перегородку , сохраняемые G , или действие группы тривиально, и в этом случае любой нетривиальной разбиение X (который существует для | X | ≥ 3 ) сохраняется при G .

Эта терминология была введена Эваристом Галуа в его последнем письме, в котором он использовал французский термин « примитивное уравнение» для уравнения, группа Галуа которого примитивна. ^[1]

В том же письме он сформулировал также следующую теорему.

Если G примитивная разрешимая группа, действующая на конечном множестве X , то порядок X является степенью простого числа p , X может быть отождествлен с аффинным пространством над конечным полем с p элементами, а G действует на X как подгруппа аффинной группы .

Импримитивная группа перестановок является примером индуцированного представления ; примеры включают представления смежных классов G / H в случаях, когда H не является максимальной подгруппой . Когда H максимальна, представление смежного класса примитивно.

Если множество X конечно, его мощность называется степень из G . Количество примитивных групп малой степени было определено Робертом Кармайклом в 1937 году:

Существует большое количество примитивных групп степени 16. Как отмечает Кармайкл, все эти группы, за исключением симметрической и знакопеременной группы, являются подгруппами аффинной группы в 4-мерном пространстве над 2-элементным конечным полем .

Примеры [ править ]

• Рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве, и перестановку${\ displaystyle S_ {3}}$${\ Displaystyle X = \ {1,2,3 \}}$

${\ displaystyle \ eta = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Оба и группа, порожденная, являются примитивными.${\ displaystyle S_ {3}}$${\ displaystyle \ eta}$

• Теперь рассмотрим симметрическую группу, действующую на множестве, и перестановку${\ displaystyle S_ {4}}$${\ displaystyle \ {1,2,3,4 \}}$

${\ displaystyle \ sigma = {\ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Группа , порожденная не примитивно, так как раздел , где и сохраняется при , т.е. и .${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle (X_ {1}, X_ {2})}$${\ Displaystyle X_ {1} = \ {1,3 \}}$${\ Displaystyle X_ {2} = \ {2,4 \}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle \ sigma (X_ {1}) = X_ {2}}$${\ Displaystyle \ sigma (X_ {2}) = X_ {1}}$

• Каждая транзитивная группа простой степени примитивна
• Симметрическая группа , действующая на множестве примитивно для каждого п и знакопеременной группы , действующая на множестве примитивно для каждого  п  > 2.${\ displaystyle S_ {n}}$${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, п \}}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, п \}}$

См. Также [ править ]

• Блок (теория групп перестановок)
• Теорема Жордана (симметрическая группа)
• Теорема О'Нана – Скотта , классификация конечных примитивных групп на различные типы.

Ссылки [ править ]

• Рони-Дугал, Колва М. Примитивные группы перестановок степени меньше 2500 , Журнал алгебры 292 (2005), вып. 1, 154–183.
• В GAP Библиотека данных «Примитивные группы подстановок» .
• Кармайкл, Роберт Д., Введение в теорию групп конечного порядка. Джинн, Бостон, 1937. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 1956.
• Тодд Роуленд. «Первобытное групповое действие» . MathWorld .