Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для других случаев использования «p-box» см. P-box .
Непрерывный p-блок, изображенный в виде графика с абсциссой, обозначенной X, и ординатой, обозначенной вероятностью.
P-box (ящик вероятностей).

Блок вероятностей (или p-блок ) - это характеристика неопределенного числа, состоящего как из алеаторических, так и из эпистемических неопределенностей , которое часто используется в анализе рисков или количественном моделировании неопределенности, где должны выполняться численные расчеты. Анализ границ вероятности используется для арифметических и логических вычислений с p-блоками.

Пример p-блока показан на рисунке справа для неопределенного числа x, состоящего из левой (верхней) границы и правой (нижней) границы распределения вероятности для x . Границы совпадают для значений x ниже 0 и выше 24. Границы могут иметь почти любую форму, включая ступенчатые функции, при условии, что они монотонно возрастают и не пересекаются друг с другом. P-прямоугольник используется для одновременного выражения неопределенности (эпистемической неопределенности), которая представлена ​​шириной между левым и правым краями p-прямоугольника, и изменчивости (случайная неопределенность), которая представлена ​​общим наклоном p-прямоугольника. -коробка.

Интерпретация [ править ]

P-прямоугольник с пунктирными линиями, показывающий интервал 95-го процентиля
95-й процентиль - от 9 до 16
Двойная интерпретация p-блоков

Есть двоякое толкование p-box. Его можно понимать как границы кумулятивной вероятности, связанной с любым значением x . Например, в p-блоке, изображенном справа, вероятность того, что значение будет 2,5 или меньше, составляет от 4% до 36%. P-блок можно также понимать как границы значения x на любом конкретном уровне вероятности. В этом примере 95-й процентиль обязательно находится между 9 и 16.

Если левая и правая границы p-блока обязательно охватывают неизвестное распределение, границы называются строгими или абсолютными. Границы также могут быть максимально жесткими такими ограничениями функции распределения с учетом доступной информации о ней, и в этом случае границы, следовательно, считаются наилучшими из возможных . Однако обычно может случиться так, что не каждое распределение, которое находится в этих пределах, является возможным распределением для неопределенного числа, даже если границы являются строгими и наилучшими из возможных.

Математическое определение [ править ]

P-блоки задаются левой и правой границами кумулятивной функции распределения вероятностей (или, что то же самое, функции выживания ) количества и, необязательно, дополнительной информацией, ограничивающей среднее значение и дисперсию количества указанными интервалами, а также указанными ограничениями на его распределение. форма (семейство, унимодальность, симметрия и т. д.). P-блок представляет собой класс распределений вероятностей, согласующихся с этими ограничениями.

Кумулятивная функция распределения вероятностей (cdf) для действительных чисел - это функция, для которой D ( x ) ≤ D ( y ) всякий раз, когда x < y , и предел D на + ∞ равен 1, а предел при −∞ равен 0 . P-box - это набор кумулятивных функций распределения F, удовлетворяющих следующим ограничениям, для заданных cdfs F F и заданных границ m 1  ≤  m 2 для ожидаемого значения распределения и заданных границ v 1  ≤  v 2 от дисперсии распределения.

где интегралы вида являются интегралами Римана – Стилтьеса .

Таким образом, ограничение , что функция распределения Р находится в пределах заданных границ, то среднее значение распределения в интервале м , дисперсия распределения в интервале V , а распределение находится в пределах некоторого допустимого класса распределения F . Интегралы Римана-Стилтьеса не зависят от дифференцируемости F .

P-блоки служат для случайных величин той же роли, что и верхняя и нижняя вероятности для событий . В надежном байесовском анализе [1] p-блок также известен как диапазон распределения . [2] [3] p-блок может быть построен как замкнутая окрестность распределения с метрикой Колмогорова , Леви или Вассерштейна . P-box - это грубый, но удобный с точки зрения вычислений вид набора верований . В то время как набор кредалов определяется исключительно в терминах ограничения F как выпуклый набор распределений (которые автоматически определяютF , F , m и v , но их часто очень трудно вычислить), p-блок обычно имеет слабо ограничивающую спецификацию F или даже не имеет ограничений, так что {{{1}}} . Вычисления с p-блоками, в отличие от наборов кредалов, часто достаточно эффективны, и алгоритмы для всех стандартных математических функций известны.

P-блок минимально определяется его левой и правой границами, и в этом случае другие ограничения считаются пустыми, поскольку даже когда эти вспомогательные ограничения бессмысленны, все еще могут существовать нетривиальные границы среднего и дисперсии, которые можно вывести из левый и правый края p-бокса.

Откуда берутся p-боксы [ править ]

P-блоки могут возникать из различных видов неполной информации о величине, и есть несколько способов получить p-блоки из данных и аналитических суждений.

Распределительные p-боксы [ править ]

Когда известно, что распределение вероятностей имеет определенную форму (например, нормальное, равномерное, бета, Вейбулла и т. Д.), Но его параметры могут быть указаны неточно только в виде интервалов, результат называется p-блоком распределения, а иногда и параметрическим. р-бокс. Такой p-блок обычно легко получить, охватив экстремальные распределения с учетом возможных параметров. Например, если известно, что величина является нормальной со средним значением где-то в интервале [7,8] и стандартным отклонением в пределах интервала [1,2], левый и правый края p-блока могут быть найдены путем охвата функции распределения четырех распределений вероятностей, а именно нормального (7,1), нормального (8,1), нормального (7,2) и нормального (8,2), где нормальное (μ, σ) представляет собой нормальное распределение с среднее значение μ и стандартное отклонение σ.Все распределения вероятностей, которые являются нормальными и имеют средние значения и стандартные отклонения внутри этих соответствующих интервалов, будут иметь функции распределения, которые полностью попадают в этот p-блок. Левая и правая границы охватывают множество ненормальных распределений, но они будут исключены из p-блока, указав нормальность как семейство распределений.

Не распространяемые p-боксы [ править ]

Даже если такие параметры, как среднее значение и дисперсия распределения, известны точно, распределение не может быть точно указано, если семейство распределений неизвестно. В таких ситуациях огибающие всех распределений, соответствующих заданным моментам, могут быть построены из неравенств, таких как неравенства Маркова , Чебышева , Кантелли или Роу [4] [5], которые включают все функции распределения с заданными параметрами. Они определяют p-блоки без распределения, потому что они не делают никаких предположений о семействе или форме неопределенного распределения. Когда доступна качественная информация, например о том, что распределение является одномодальным , p-блоки часто могут быть существенно сужены.[6]

П-боксы от неточных измерений [ править ]

Когда можно измерить всех членов популяции или когда имеется множество данных случайной выборки, аналитики часто используют эмпирическое распределение для суммирования значений. Когда эти данные имеют значительную неопределенность измерения, представленную диапазонами интервалов для каждого значения выборки, эмпирическое распределение может быть обобщено до p-блока. [7] Такой p-блок может быть определен путем суммирования нижних конечных точек всех измерений интервалов в совокупное распределение, образующее левый край p-бокса, и суммирования верхних конечных точек для формирования правого края. Чем больше неопределенность измерения, тем шире результирующий p-блок.

Интервальные измерения также могут использоваться для обобщения оценок распределения на основе метода совпадения моментов или максимального правдоподобия , которые делают предположения о форме, такие как нормальность или логнормальность и т. Д. [7] [8] Хотя неопределенность измерения может быть обработана строго, в результате p-блок распределения обычно не будет строгим, если это выборочная оценка, основанная только на подвыборке возможных значений. Но поскольку эти вычисления учитывают зависимость между параметрами распределения, они часто дают более узкие p-блоки, чем можно было бы получить, рассматривая интервальные оценки параметров как несвязанные, как это делается для распределительных p-блоков.

Полосы уверенности [ править ]

Может существовать неопределенность в отношении формы распределения вероятностей, поскольку размер выборки эмпирических данных, характеризующих его, невелик. В традиционной статистике было предложено несколько методов для учета этой неопределенности выборки относительно формы распределения, включая доверительные интервалы Колмогорова – Смирнова [9] и аналогичные [10] , которые не содержат распределений в том смысле, что они не делают никаких предположений о форме распределения. основного распределения. Существуют связанные методы доверительных интервалов, которые делают предположения о форме или семействе основного распределения, что часто может приводить к более узким доверительным диапазонам. [11] [12] [13] Построение доверительных интервалов требует выбора вероятности, определяющей уровень достоверности, который обычно должен быть меньше 100%, чтобы результат не был пустым. Полосы достоверности на уровне достоверности (1 - α)% определены таким образом, что (1 - α)% времени, когда они построены, они полностью охватывают распределение, из которого данные были выбраны случайным образом. Полоса уверенности относительно функции распределения иногда используется как p-блок, даже если она представляет собой статистические, а не строгие или надежные границы. Это использование неявно предполагает, что истинное распределение, каким бы оно ни было, находится внутри p-box.

Аналогичная байесовская структура называется байесовским p-блоком [14], который охватывает все распределения, имеющие параметры, в подмножестве пространства параметров, соответствующем некоторому заданному уровню вероятности из байесовского анализа данных. Это подмножество является достоверной областью для параметров с учетом данных, которая может быть определена как область наивысшей апостериорной плотности вероятности, или область наименьших апостериорных потерь, или каким-либо другим подходящим способом. Чтобы построить байесовский p-блок, необходимо выбрать предварительное распределение в дополнение к определению уровня достоверности (аналогично уровню достоверности).

C-блоки [ править ]

C-блоки (или доверительные структуры [15] ) - это средства оценки фиксированных действительных величин, которые зависят от данных случайной выборки и кодируют доверительные интервалы Неймана [16] на каждом уровне достоверности. [17] [18] [15] Они характеризуют выводимую неопределенность оценки в форме набора фокусных интервалов (или наборов), каждый из которых связан с достоверной (вероятностной) массой. Этот набор может быть изображен в виде p-блока и может проецировать достоверную интерпретацию через анализ границ вероятности .

В отличие от традиционных доверительных интервалов, которые обычно нельзя воспроизвести с помощью математических вычислений, c-блоки можно использовать в расчетах таким образом, чтобы сохранить возможность получения произвольных доверительных интервалов для результатов. [19] [18] Например, их можно использовать для вычисления боксов вероятности как для предсказаний, так и для распределений допусков.

C-блоки можно вычислить различными способами непосредственно из данных случайной выборки. Существуют ячейки уверенности как для параметрических задач, где известно семейство базового распределения, из которого данные были случайно сгенерированы (включая нормальные, логнормальные, экспоненциальные, Бернулли, биномиальные, пуассоновские), так и для непараметрических задач, в которых форма основного распределения неизвестно. [19] Ящики достоверности учитывают неопределенность в отношении параметра, которая возникает из выводов из наблюдений, включая эффект небольшого размера выборки, но также потенциально эффекты неточности данных и демографической неопределенности, которая возникает из-за попытки охарактеризовать непрерывный параметр. по дискретным данным наблюдений.

C-блоки тесно связаны с несколькими другими концепциями. Они сопоставимы с самонастройкой распределения , [20] и неточные обобщения традиционных распределений доверия , такими как Стьюдентом т -распределение . Подобно этому, c-блоки кодируют частотные доверительные интервалы для интересующих параметров на каждом уровне достоверности. Они аналогичны байесовским апостериорным распределениям.в том, что они характеризуют выводную неопределенность статистических параметров, оцененных на основе разреженных или неточных данных выборки, но они могут иметь чисто частотную интерпретацию, которая делает их полезными в инженерии, поскольку они предлагают гарантию статистических характеристик при многократном использовании. В случае Бернулли или параметра биномиальной скорости c-блок математически эквивалентен неточной бета-модели Уолли [21] [22] с параметром s = 1, который является частным случаем неточного процесса Дирихле , центральной идеи в надежном байесовском анализе .

В отличие от доверительных интервалов, которые представляют собой доверительные интервалы для всей функции распределения на некотором конкретном уровне достоверности, c-блоки кодируют доверительные интервалы для фиксированной величины на всех возможных уровнях достоверности одновременно.

Конверты возможных раздач [ править ]

Когда существует несколько возможных распределений вероятностей, которые могут описывать переменную, и аналитик не может дисконтировать ни одно из них на основе доступной информации, p-блок может быть построен как конверт различных кумулятивных распределений. [23] [24] Также можно учесть неопределенность в отношении того, какое распределение является правильным, с помощью исследования чувствительности, но такие исследования становятся более сложными по мере увеличения числа возможных распределений и комбинаторно более сложными по мере увеличения числа переменных. о которых может быть несколько раздач увеличивается. Обволакивающий подход к этой неопределенности более консервативен, чем различные альтернативные подходы к управлению неопределенностью, которые усредняют вместе распределения в стохастической смеси.модели или средние байесовские модели . Неизвестное истинное распределение, вероятно, находится в классе распределений, охватываемых p-блоком. Напротив, если предположить, что истинное распределение является одним из усредняемых распределений, среднее распределение обязательно будет отличаться от неизвестного истинного распределения.

Пиктограммы из результатов расчета [ править ]

P-блоки могут возникать в результате вычислений, включающих распределения вероятностей, или включающих как распределение вероятностей, так и интервал, или вовлекающих другие p-блоки. Например, сумма количества, представленного распределением вероятностей, и количества, представленного интервалом, обычно будет характеризоваться p-блоком. [25] Сумма двух случайных величин, характеризуемых хорошо заданными распределениями вероятностей, является еще одним точным распределением вероятностей, обычно только тогда, когда связка (функция зависимости) между двумя слагаемыми полностью задана. Когда их зависимость неизвестна или задана только частично, сумма будет более подходящим образом представлена ​​в виде p-блока, потому что разные отношения зависимости приводят к множеству различных распределений для суммы. Колмогоров первоначально спросил, какие границы могут быть установлены для распределения суммы, когда ничего не известно о зависимости между распределениями слагаемых. [26] Ответ на этот вопрос был дан только в начале 1980-х годов. С того времени формулы и алгоритмы для сумм были обобщены и распространены на разности, произведения, частные и другие бинарные и унарные функции при различных предположениях о зависимости. [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32]

Эти методы, в совокупности называемые анализом границ вероятности , предоставляют алгоритмы для оценки математических выражений, когда существует неопределенность относительно входных значений, их зависимостей или даже формы самого математического выражения. Вычисления дают результаты, которые гарантированно включают все возможные распределения выходной переменной, если входные p-блоки также обязательно включают соответствующие распределения. В некоторых случаях вычисленный p-блок также будет наилучшим из возможных в том смысле, что внутри p-блока находятся только возможные распределения, но это не всегда гарантируется. Например, набор распределений вероятностей, которые могут возникнуть в результате добавления случайных значений без предположения о независимости от двух (точных) распределений, обычно является правильным.подмножество всех распределений, допускаемых вычисленным p-блоком. То есть внутри выходного p-блока есть распределения, которые не могут возникнуть ни при какой зависимости между двумя входными распределениями. Однако выходной p-блок всегда будет содержать все возможные распределения, при условии, что входные p-блоки обязательно включают соответствующие базовые распределения. Этого свойства часто бывает достаточно для использования при анализе рисков .

Особые случаи [ править ]

Точные распределения вероятностей и интервалы являются частными случаями p-блоков, как и действительные значения и целые числа . Поскольку распределение вероятностей выражает изменчивость и не имеет неопределенности, левая и правая границы его p-блока совпадают для всех значений x при значении кумулятивной функции распределения (которая является неубывающей функцией от нуля до единицы). Математически вероятностное распределение F - это вырожденный p-блок { F , F , E ( F ), V ( F ), F}, где E и V обозначают операторы математического ожидания и дисперсии. Интервал выражает лишь неуверенность. Его p-блок выглядит как прямоугольный блок, верхняя и нижняя границы которого прыгают от нуля до единицы в конечных точках интервала. Математически, интервал [ , Ь ] соответствует вырожденного р-поле {Н ( ), Н ( б ), [ , б ], [0, ( б - ) 2 /4], }, где Н обозначает ступенчатую функцию Хевисайда . Точное скалярное число c лишено обоих видов неопределенности. Его p-блок - это просто ступенчатая функция от 0 до 1 при значении c; математически это {H ( c ), H ( c ), c , 0, H ( c )}.

Приложения [ править ]

P-блоки и анализ вероятностных границ использовались во многих приложениях, охватывающих многие дисциплины в области инженерии и экологии, в том числе:

  • Инженерное проектирование [33]
  • Заключение эксперта [34]
  • Анализ распределения чувствительности видов [35]
  • Анализ чувствительности в аэрокосмической технике изгибающей нагрузки передней юбки ракеты- носителя Ariane 5 [36]
  • ODE- модели динамики химического реактора [37] [38]
  • Фармакокинетическая изменчивость вдыхаемых ЛОС [39]
  • Моделирование подземных вод [40]
  • Граничная вероятность отказа для последовательных систем [41]
  • Тяжелый металл загрязнения в почве на железоделательных заводов Браунфилд [42] [43]
  • Распространение неопределенности для моделей риска засоления [44]
  • Оценка безопасности системы электроснабжения [45]
  • Оценка риска для загрязненных земель [46]
  • Инженерные системы очистки питьевой воды [47]
  • Расчет уровней экранирования почвы [48]
  • Человеческое здоровье и анализ экологического риска по охране окружающей среды США на PCB загрязнения на Housatonic реки Суперфанд сайте [49] [50]
  • Оценка состояния окружающей среды для Calcasieu Устье сайта Суперфанда [51]
  • Авиакосмическая техника для сверхзвуковой тяги сопла [52]
  • Проверка и подтверждение в научных вычислениях для инженерных задач [53]
  • Токсичность для мелких млекопитающих из-за загрязнения окружающей среды ртутью [54]
  • Моделирование времени распространения загрязнения в грунтовых водах [55]
  • Анализ надежности [56]
  • Уязвимость и оценка рисков электрических сетей [57] [58]
  • Оценка исчезающих видов для реинтродукции опоссума Ледбитера [59]
  • Воздействие сельскохозяйственных пестицидов на насекомоядных птиц [60]
  • Прогнозы изменения климата [42] [61] [62]
  • Время ожидания в системах массового обслуживания [63]
  • Анализ риска исчезновения пятнистой совы на полуострове Олимпик [64]
  • Биозащита от интродукции инвазивных видов или сельскохозяйственных вредителей [65]
  • Конечно-элементный структурный анализ [66] [67] [68]
  • Смета [69]
  • Сертификация ядерных запасов [70]
  • Риски гидроразрыва для загрязнения воды [71]

Критика [ править ]

Нет внутренней структуры . Поскольку p-блок сохраняет мало информации о какой-либо внутренней структуре в пределах границ, он не проясняет, какие распределения внутри p-блока наиболее вероятны, а также то, представляют ли края очень маловероятные или явно вероятные сценарии. Это может усложнить принятие решений в некоторых случаях, если край p-блока включает порог принятия решения.

Теряет информацию . Для достижения вычислительной эффективности p-блоки теряют информацию по сравнению с более сложными структурами Демпстера – Шейфера или наборами кредитов . [23] В частности, p-блоки теряют информацию о режиме (наиболее вероятном значении) величины. Эту информацию может быть полезно сохранить, особенно в ситуациях, когда количество неизвестно, но фиксировано.

Достаточно традиционной вероятности . Некоторые критики p-блоков утверждают, что точно определенных распределений вероятностей достаточно для характеристики неопределенности всех видов. Например, Линдли утверждал: «Независимо от того, как подходить к неопределенности, вероятность - единственный разумный способ думать о ней». [72] [73] Эти критики утверждают, что бессмысленно говорить о «неопределенности относительно вероятности» и что традиционная вероятность - это законченная теория, достаточная для характеристики всех форм неопределенности. Под этой критикой пользователи p-box просто не приложили необходимых усилий для определения подходящих точно заданных функций распределения.

Теория возможностей может сделать лучше . Некоторые критики утверждают, что в некоторых случаях имеет смысл работать с распределением возможностей, а не работать отдельно с левым и правым краями p-блоков. Они утверждают, что множество распределений вероятностей, индуцированных распределением возможностей, является подмножеством распределений, заключенных в ребра аналогичного p-блока. [74] [75] Другие приводят контраргумент, что нельзя добиться большего успеха с распределением возможностей, чем с p-блоком. [76]

См. Также [ править ]

  • неопределенное число
  • интервал
  • кумулятивное распределение вероятностей
  • верхняя и нижняя вероятности
  • набор credal
  • анализ риска
  • распространение неопределенности
  • анализ границ вероятности
  • Теория Демпстера – Шейфера и раздел о структуре Демпстера – Шейфера.
  • неточная вероятность
  • одновременные доверительные интервалы функций распределения и выживаемости с использованием отношений правдоподобия [13]
  • поточечные биномиальные доверительные интервалы для F ( X ) для данного X [77]
  • программное обеспечение для распространения неопределенности

Ссылки [ править ]

  1. ^ Бергер, JO (1984). «Надежная байесовская точка зрения». Страницы 63–144 в « Робастность байесовского анализа» , под редакцией Дж. Б. Кадана, Elsevier Science.
  2. ^ Басу, С. (1994). «Вариации апостериорных ожиданий для симметричных унимодальных априорных точек в полосе распределения ». Санкхья: Индийский статистический журнал , серия A 56 : 320–334.
  3. Перейти ↑ Basu, S., and A. DasGupta (1995). «Робастный байесовский анализ с полосами распределения» . Статистика и решения 13 : 333–349.
  4. Перейти ↑ Rowe, NC (1988). Абсолютные границы среднего и стандартного отклонения преобразованных данных для преобразований с постоянным знаком и производной . SIAM Журнал научных и статистических вычислений 9 : 1098–1113.
  5. Перейти ↑ Smith, JE (1995). Обобщенные неравенства Чебычева: теория и приложения в анализе решений. Исследование операций 43 : 807–825.
  6. ^ Zhang, J. и D. Berleant (2005). Арифметика случайных величин: сжатие огибающих с новыми ограничениями совместного распределения. Страницы 416–422 в Трудах Четвертого Международного симпозиума по неточным вероятностям и их применению (ISIPTA '05) , Университет Карнеги-Меллона, Питтсбург, 20–23 июля 2005 г.
  7. ^ a b Ферсон, С., В. Крейнович, Дж. Хаджагос, В. Оберкампф и Л. Гинзбург (2007). Оценка экспериментальной неопределенности и статистика для данных, имеющих интервальную неопределенность . Sandia National Laboratories, SAND 2007-0939, Альбукерке, Нью-Мексико.
  8. ^ Сян, Г., В. Крейнович и С. Ферсон, (2007). Подгонка нормального распределения к интервальным и нечетким данным. Страницы 560–565 в материалах 26-й Международной конференции Североамериканского общества обработки нечеткой информации NAFIPS'2007 , М. Реформат и М. Р. Бертольд (ред.).
  9. ↑ Колмогоров, А. (1941). Пределы уверенности для неизвестной функции распределения. Анналы математической статистики 12 : 461–463.
  10. Перейти ↑ Owen, AB (1995). Непараметрические доверительные интервалы правдоподобия для функции распределения. Журнал Американской статистической ассоциации 90 : 516–521.
  11. ^ Cheng, RCH и TC ИЛЬ (1983). Полосы уверенности для кумулятивных функций распределения непрерывных случайных величин. Технометрика 25 : 77–86.
  12. ↑ Cheng, RCH, BE Evans и JE Williams (1988). Оценки доверительных интервалов для распределений, используемых в вероятностном дизайне. Международный журнал механических наук 30 : 835–845.
  13. ^ а б Мерфи, SA (1995). Доверительные интервалы на основе отношения правдоподобия в анализе выживаемости . Журнал Американской статистической ассоциации 90 : 1399–1405.
  14. Перейти ↑ Montgomery, V. (2009). Новые статистические методы оценки рисков по границам вероятностей . Кандидат наук. диссертация, Даремский университет, Великобритания.
  15. ^ а б М.С. Балч (2012). Математические основы теории доверительных структур. Международный журнал приблизительного мышления 53: 1003–1019.
  16. ^ Дж. Нейман (1937). Изложение теории статистического оценивания на основе классической теории вероятностей. Философские труды Королевского общества A237: 333–380.
  17. ^ Сайт ящиков уверенности.
  18. ^ a b Ферсон, С., М. Балч, К. Сенц и Дж. Зигрист. 2013. Уверенные вычисления. Труды 8-го Международного симпозиума по неточной вероятности: теории и приложения , под редакцией Ф. Козмана, Т. Дено, С. Дестерке и Т. Зайденфельда. СИПТА, Компьень, Франция.
  19. ^ а б Ферсон, С., Дж. О'Рэйв и М. Балч. 2014. Вычисления с уверенностью: неточные апостериорные и прогнозные распределения. Труды Международной конференции по анализу уязвимости и рисков и управлению ими и Международного симпозиума по моделированию и анализу неопределенности .
  20. ^ Б. Эфрон (1998). Р.А. Фишер в 21 веке. Статистическая наука 13: 95–122.
  21. ^ П. Уолли (1996). Выводы из полиномиальных данных: узнаем о мешке с шариками. Журнал Королевского статистического общества, серия B 58: 3–57.
  22. ^ J.-M. Бернар (2005). Введение в неточную модель Дирихле для полиномиальных данных. Международный журнал приблизительного мышления 39: 123–150.
  23. ^ a b Ферсон, С., В. Крейнович, Л. Гинзбург, Д. С. Майерс и К. Сенц (2003). Построение ящиков вероятностей и структур Демпстера – Шейфера. Архивировано 22 июля 2011 г. в Wayback Machine . Sandia National Laboratories, SAND2002-4015, Альбукерке, Нью-Мексико.
  24. ^ Фу, Г., Д. Батлер, С.-Т. Ху и С. Сан (2011). Неточная вероятностная оценка затопления канализационных сетей в городских дренажных системах с использованием теории случайных множеств. Исследование водных ресурсов 47 : W02534.
  25. ^ Ferson, С. и Л. Гинзбург (1996). Нужны разные методы, чтобы распространять невежество и изменчивость. Техника надежности и системная безопасность 54 : 133–144.
  26. ^ a b Франк, MJ, RB Nelsen и B. Schweizer (1987). Наилучшие оценки распределения суммы - проблема Колмогорова. Теория вероятностей и связанные области 74 : 199–211.
  27. ^ Ягер, RR (1986). Арифметические и другие операции над структурами Демпстера – Шафера. Международный журнал человеко-машинных исследований 25 : 357–366.
  28. Перейти ↑ Williamson, RC, and T. Downs (1990). Вероятностная арифметика I: Численные методы вычисления сверток и границ зависимости. Международный журнал приблизительного рассуждения 4 : 89–158.
  29. ^ Berleant, D. (1993). Автоматически проверенные рассуждения с использованием интервалов и функций плотности вероятности. Интервальные вычисления 1993 (2) : 48–70.
  30. ^ Berleant, Д. Г. Андерсон и С. Гудман-Строс (2008). Арифметика для ограниченных семейств распределений: учебник по алгоритму DEnv. Страницы 183–210 в « Обработке знаний с интервалом и мягкими вычислениями» , под редакцией К. Ху, Р. Б. Кирфотта, А. де Корвина и В. Крейновича, Springer ( ISBN  978-1-84800-325-5 ).
  31. ^ Berleant, Д. и С. Гудман-Строс (1998). Ограничение результатов арифметических операций над случайными величинами неизвестной зависимости с помощью интервалов. Надежные вычисления 4 : 147–165.
  32. ^ Ферсон, С., Р. Нельсен, Дж. Хаджагос, Д. Берлеант, Дж. Чжан, В. Т. Такер, Л. Гинзбург и В. Л. Оберкампф (2004). Зависимость в вероятностном моделировании, теории Демпстера – Шейфера и анализе вероятностных границ . Sandia National Laboratories, SAND2004-3072, Альбукерке, Нью-Мексико.
  33. ^ Aughenbaugh, JM, и CJJ Paredis (2007). Анализ границ вероятности как общий подход к анализу чувствительности при принятии решений в условиях неопределенности. Архивировано 21 марта 2012 г. в Wayback Machine . SAE 2007 Transactions Journal of Passenger Cars: Mechanical Systems, (Section 6) 116 : 1325–1339, SAE International, Warrendale, Пенсильвания.
  34. ^ Фландер, Л., У. Диксон, М. Макбрайд и М. Бургман. (2012). Облегченная экспертная оценка экологических рисков: сбор и анализ неточных данных. Международный журнал оценки и управления рисками 16 : 199–212.
  35. Перейти ↑ Dixon, WJ (2007). Использование анализа границ вероятности для определения и распространения неопределенности в распределениях чувствительности видов . Серия технических отчетов № 163 , Институт экологических исследований имени Артура Райла, Департамент устойчивого развития и окружающей среды. Гейдельберг, Виктория, Австралия.
  36. ^ Oberguggenberger, М., J. King и B. Шмельцер (2007). Неточные вероятностные методы анализа чувствительности в технике . Труды 5-го Международного симпозиума по неточной вероятности: теории и приложения , Прага, Чешская Республика.
  37. ^ Enszer, JA, Ю. Лин, С. Ferson,Ф. Корлисс и М. А. Stadtherr (2011). Анализ вероятностных границ для нелинейных динамических моделей процессов. Журнал Айше 57 : 404–422.
  38. ^ Enszer, Джошуа Алан, (2010). Проверка границ вероятности для динамических нелинейных систем. Диссертация, Университет Нотр-Дам.
  39. Перейти ↑ Nong, A., and K. Krishnan (2007). Оценка фактора фармакокинетической изменчивости у разных людей для вдыхаемых летучих органических химикатов с использованием подхода, основанного на оценке вероятности. Нормативная токсикология и фармакология 48 : 93–101.
  40. ^ Гионне, Д., Ф. Бланшар, С. Harpet, Ю. Менар, Б. С. Приди и Baudrit (2005). Projet IREA - Traitement des incertifts en évaluation des risques d'exposition, Приложение B, Cas «Eaux souterraines». Сообщение BRGM / RP-54099-FR, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Франция. Архивировано 11 марта 2012 года в Wayback Machine.
  41. ^ Фец, Томас; Тонон, Фульвио (2008). «Оценки вероятностей для систем рядов с переменными, ограниченными наборами вероятностных мер». Международный журнал надежности и безопасности . 2 (4): 309. DOI : 10,1504 / IJRS.2008.022079 .
  42. ^ a b Аугустссон, А., М. Филипссон, Т. Эберг, Б. Бергбек (2011). Изменение климата - фактор неопределенности в анализе риска загрязненных земель. Наука об окружающей среде в целом 409 : 4693–4700.
  43. ^ Baudrit, C, D. Гионна, H. Баруди, С. Denys и П. Begassat (2005). Оценка воздействия свинца на детей на заброшенном металлургическом заводе: анализ неопределенности . 9-я Международная конференция FZK / TNO по загрязненным почвам - ConSoil2005, Бордо, Франция , страницы 1071–1080.
  44. Перейти ↑ Dixon, WJ (2007). Распространение неопределенности в моделях риска засоления популяции . Технический отчет Серия технических отчетов № 164 , Институт исследований окружающей среды им. Артура Райла. Гейдельберг, Виктория, Австралия
  45. ^ Karanki, DR, HS Kushwaha, А. К. Верма и С. Ажит. (2009). Анализ неопределенности на основе подхода вероятностных границ (p-box) в вероятностной оценке безопасности. Анализ рисков 29 : 662–75.
  46. ^ Сандер, П., Б. Бергбек и Т. Эберг (2006). Неопределенные числа и неопределенность в выборе входных распределений - Последствия для вероятностной оценки риска загрязненных земель. Анализ рисков 26 : 1363–1375.
  47. ^ Minnery, JG, JG Jacangelo, Л. Боден, DJ Vorhees и W. Heiger-Bernays (2009). Анализ чувствительности прямого испытания целостности под давлением мембран, используемых при очистке питьевой воды. Наука об окружающей среде и технология 43 (24): 9419–9424.
  48. Перейти ↑ Regan, HM, BE Sample и S. Ferson (2002). Сравнение детерминированного и вероятностного расчета уровней экологического экранирования почв. Экологическая токсикология и химия 21: 882–890.
  49. ^ Агентство по охране окружающей среды США (регион I), сайт GE / Housatonic River в Новой Англии
  50. ^ Мур, Дуэйн RJ; Бретон, Роджер Л .; Делонг, Тод Р .; Ферсон, Скотт; Лорти, Джон П .; Макдональд, Дрю Б.; МакГрат, Ричард; Павлиш, Анджей; Свирский, Susan C .; Тид, Р. Скотт; Томпсон, Райан П .; Уитфилд Ослунд, Мелисса (2016). «Оценка экологического риска норки и короткохвостой землеройки, подверженной воздействию ПХБ, диоксинов и фуранов в районе реки Хаусатоник». Комплексная экологическая оценка и менеджмент . 12 (1): 174–184. DOI : 10.1002 / ieam.1661 . PMID 25976918 . 
  51. ↑ Агентство по охране окружающей среды США (программа суперфонда региона 6), Расследование по восстановлению устья Калькасье. Архивировано 20 января 2011 г., в Wayback Machine.
  52. Перейти ↑ Roy, CJ, and MS Balch (2012). Целостный подход к количественной оценке неопределенности применительно к сверхзвуковой тяге сопла . Международный журнал количественной оценки неопределенности 2 : 363-381. DOI : 10.1615 / Int.J.UncertaintyQuantification.2012003562 .
  53. ^ Oberkampf, WL, и CJ Рой. (2010). Проверка и подтверждение в научных вычислениях . Издательство Кембриджского университета.
  54. Перейти ↑ Regan, HM, BK Hope и S. Ferson (2002). Анализ и изображение неопределенности в модели подверженности пищевой сети. Оценка рисков для человека и окружающей среды 8 : 1757–1777.
  55. ^ Ferson, С. и WT Tucker (2004). Надежность анализа рисков для загрязненных подземных вод. Моделирование качества подземных вод и управление ими в условиях неопределенности , под редакцией С. Мишры, Американское общество инженеров-строителей Рестон, штат Вирджиния.
  56. ^ Креспо, Луис G .; Кенни, Шон П .; Гизи, Дэниел П. (2013). «Анализ надежности полиномиальных систем с учетом неопределенностей p-box». Механические системы и обработка сигналов . 37 (1–2): 121–136. Bibcode : 2013MSSP ... 37..121C . DOI : 10.1016 / j.ymssp.2012.08.012 .
  57. ^ Роккетта, Роберто; Пателли, Эдоардо (01.06.2018). «Оценка уязвимости электросетей с учетом стохастических нагрузок и неточности модели» . Международный журнал электроэнергетических и энергетических систем . 98 : 219–232. DOI : 10.1016 / j.ijepes.2017.11.047 . ISSN 0142-0615 . 
  58. ^ Роккетта, Роберто; Пателли, Эдоардо (01.05.2020). «Эмулятор посткризисного перетока мощности для обобщенной вероятностной оценки рисков электрических сетей» . Надежность и безопасность системы . 197 : 106817. doi : 10.1016 / j.ress.2020.106817 . ISSN 0951-8320 . 
  59. ^ Ферсон, С., и М. Бургман (1995). Корреляции, границы зависимости и риски исчезновения . Биологическая охрана 73 : 101–105.
  60. ^ Ferson, S., DRJ Мур, PJ Ван ден Бринк, TL Эстес К. Галлахер, Р. О'Коннор и Ф. Verdonck. (2010). Анализ предельной неопределенности. Страницы 89–122 в Приложении анализа неопределенности к экологическим рискам, связанным с пестицидами , под редакцией Уоррен-Хикса и А. Харта. CRC Press, Бока-Ратон, Флорида.
  61. ^ Криглер, Е. и Н. Held (2005). Использование функций убеждений для оценки будущего изменения климата . Международный журнал приблизительного мышления 39 : 185–209.
  62. ^ Криглер, Е. (2005). Неточный вероятностный анализ для комплексной оценки изменения климата , к.т.н. диссертация, Потсдамский университет, Германия.
  63. ^ Batarseh, OGY, (2010). Подход на основе интервалов к модели входной неопределенности в дискретном моделировании . Кандидат наук. диссертация, Университет Центральной Флориды.
  64. ^ Голдвассер, Л., Л. Гинзбург и С. Ферсон (2000). Изменчивость и ошибка измерения при анализе риска исчезновения: северная пятнистая сова на полуострове Олимпик. Страницы 169–187 в количественных методах природоохранной биологии , под редакцией С. Ферсона и М. Бургмана, Springer-Verlag, Нью-Йорк.
  65. Перейти ↑ Hayes, KR (2011). Неопределенность и методы анализа неопределенности: вопросы количественного и качественного моделирования рисков с применением для импорта оценки рисков проекта ACERA (0705) . Номер отчета: EP102467, CSIRO , Хобарт, Австралия.
  66. ^ Zhang, H., RL Маллен и RL Муханна (2010). Конечный элементный структурный анализ с использованием неточных вероятностей на основе представления p-box . Материалы 4-го международного семинара по надежным инженерным вычислениям (REC 2010).
  67. ^ Zhang, H. Р. Маллен, Р. Муханна (2012). Структурный анализ безопасности с блоками вероятностей .Международный журнал надежности и безопасности 6 : 110–129.
  68. ^ Пателли, E; де Анжелис, М. (2015). «Метод линейной выборки для анализа крайних случаев при наличии случайных и эпистемических неопределенностей». Безопасность и надежность сложных инженерных систем . С. 2585–2593. DOI : 10.1201 / b19094-339 . ISBN 978-1-138-02879-1.
  69. ^ Мель, Christopher H. (2013). «П-боксы для анализа неопределенности стоимости». Механические системы и обработка сигналов . 37 (1–2): 253–263. Bibcode : 2013MSSP ... 37..253M . DOI : 10.1016 / j.ymssp.2012.03.014 .
  70. ^ Sentz, К. и С. Ferson (2011). Вероятностный ограничивающий анализ при количественной оценке запасов и неопределенностей. Техника надежности и системная безопасность 96 : 1126–1136.
  71. ^ Розелл, Дэниел Дж. И Шелдон Дж. Ривен (2012). Риск загрязнения воды, связанный с добычей природного газа из сланцев Марцеллус. Анализ рисков 32 : 1382–1393.
  72. Перейти ↑ Lindley, DV (2006). Понимание неопределенности . Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. п. 71 . ISBN 978-0-470-04383-7.
  73. ^ https://en.wikiquote.org/wiki/Dennis_Lindley
  74. ^ Baudrit, С. Д. Дюбуа, Х. Fargier (2003). Représentation de la connaissance Proabiliste Unplète. Страницы 65–72 в Actes Rencontres Francophones sur la Logique Floue et ses Applications (LFA'03), Тур, Франция . Cépaduès-Éditions.
  75. ^ Baudrit, C. (2005) Представительская и др распространение де connaissances imprécises и др incertaines: Применение à l'ОЦЕНКА дез risques Ложь Окс - сайты и др Оксы золи pollués . Кандидат наук. диссертация, Университет Поля Сабатье, Тулуза III.
  76. ^ Troffaes, MCM и С. Destercke (2011). Ящики вероятностей на полностью упорядоченных пространствах для многомерного моделирования . Международный журнал приблизительного мышления (в печати).
  77. ^ Кроткий, WQ, Л. Escobar (1998). Статистические методы для данных надежности , Джон Вили и сыновья, Нью-Йорк.

Дополнительные ссылки [ править ]

  • Бодри, К., и Д. Дюбуа (2006). Практические представления неполного вероятностного знания . Вычислительная статистика и анализ данных 51 : 86–108.
  • Бодри, К., Д. Дюбуа, Д. Гийонне (2006). Совместное распространение и использование вероятностной и возможной информации при оценке риска . Транзакции IEEE в нечетких системах 14 : 593–608.
  • Бернардини, А. и Ф. Тонон (2009). Распределения экстремальных вероятностей случайных / нечетких множеств и p-блоков . Международный журнал надежности и безопасности 3 : 57-78. (альтернативная ссылка)
  • Дестерке, С., Д. Дюбуа и Э. Хойнацки (2008). Объединение практических представлений неопределенности - I: Обобщенные p-блоки . Международный журнал приблизительного рассуждения 49 : 649–663.
  • Дюбуа, Д. (2010). (Комментарий) Проблемы представления, распространения и решения в анализе рисков при неполной вероятностной информации. Анализ рисков 30 : 361–368. DOI : 10.1111 / j.1539-6924.2010.01359.x .
  • Дюбуа, Д., и Д. Гийонне (2011). Принятие решений с учетом рисков при наличии эпистемической неопределенности. Международный журнал общих систем 40 : 145–167.
  • Гийонне, Д., Ф. Бланшар, К. Харпет, И. Менар, Б. Ком и К. Бодри (2005). Projet IREA - Traitement des incertities en évaluation des risques d'exposition . Сообщение BRGM / RP-54099-FR, Bureau de Recherches Géologiques et Minières, Франция.