Проективная унитарная группа

В математике , то проективная унитарная группа ПУ ( п ) является фактором из унитарной группы U ( п ) правого умножение его центра , U (1) , внедренный как скаляры. Абстрактно, это голоморфная изометрия группа из комплексного проективного пространства , так же , как проективная ортогональная группа является группой изометрий вещественного проективного пространства .

В терминах матриц элементы U ( n ) являются комплексными унитарными матрицами n × n , а элементы центра - диагональными матрицами, равными e ^iθ, умноженными на единичную матрицу. Таким образом, элементы PU ( n ) соответствуют классам эквивалентности унитарных матриц при умножении на постоянную фазу θ .

Абстрактно, если дано эрмитово пространство V , группа PU ( V ) является образом унитарной группы U ( V ) в группе автоморфизмов проективного пространства P ( V ) .

Проективная специальная унитарная группа [ править ]

Проективная специальная унитарная группа PSU ( n ) равна проективной унитарной группе, в отличие от ортогонального случая.

Связь между U ( n ), SU ( n ), их центрами и проективными унитарными группами показана справа.

Центр из специальной унитарной группы является скалярными матрицами п - го корней из единицы:

${\ Displaystyle Z (\ mathrm {SU} (n)) = \ mathrm {SU} (n) \ cap Z (\ mathrm {U} (n)) \ cong \ mathbf {Z} / n}$

Естественная карта

${\ displaystyle \ mathrm {PSU} (n) = \ mathrm {SU} (n) / Z (\ mathrm {SU} (n)) \ to \ mathrm {PU} (n) = \ mathrm {U} (n ) / Z (\ mathrm {U} (n))}$

является изоморфизмом по второй теореме об изоморфизме , поэтому

${\ Displaystyle \ mathrm {PU} (n) = \ mathrm {PSU} (n) = \ mathrm {SU} (n) / (\ mathbf {Z} / n).}$

а специальная унитарная группа SU ( n ) является n- кратным покрытием проективной унитарной группы.

Примеры [ править ]

При n = 1 U (1) абелева и поэтому равна своему центру. Следовательно, PU (1) = U (1) / U (1) - тривиальная группа .

При n = 2, все они могут быть представлены кватернионами единичной нормы и через:${\ Displaystyle \ mathrm {SU} (2) \ cong \ mathrm {Spin} (3) \ cong \ mathrm {Sp} (1)}$${\ Displaystyle \ mathrm {PU} (2) \ cong \ mathrm {SO} (3)}$

${\displaystyle \mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbf {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbf {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)}$

Конечные поля [ править ]

Можно также определить унитарные группы над конечными полями: для данного поля порядка q существует невырожденная эрмитова структура на векторных пространствах над единственной с точностью до унитарной конгруэнции и, соответственно, матричная группа, обозначенная или, а также специальные и проективные унитарные группы. Для удобства в этой статье используется соглашение.${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q)}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$

Напомним, что группа единиц конечного поля является циклической , поэтому группа единиц и, следовательно, группа обратимых скалярных матриц в является циклической группой порядка Центр имеет порядок q + 1 и состоит из скалярных матриц, которые являются унитарные, то есть матрицы с центром специальной унитарной группы имеют порядок НОД ( n , q + 1) и состоят из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок деления n .${\displaystyle \mathbf {F} _{q^{2}},}$${\displaystyle \mathrm {GL} (n,q^{2})}$${\displaystyle q^{2}-1.}$${\displaystyle \mathrm {U} (n,q^{2})}$${\displaystyle cI_{V}}$${\displaystyle c^{q+1}=1.}$

Фактор унитарной группы по ее центру является проективной унитарной группой , а фактор специальной унитарной группы по ее центру является проективной специальной унитарной группой. В большинстве случаев ( n ≥ 2 и ) является совершенной группой и является конечной простая группа ( Grove 2002 , Thm. 11.22 и 11.26).${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2}),}$ ${\displaystyle \mathrm {PSU} (n,q^{2}).}$${\displaystyle (n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}}$${\displaystyle \mathrm {SU} (n,q^{2})}$${\displaystyle \mathrm {PU} (n,q^{2})}$

Топология ПУ ( H ) [ править ]

PU ( H ) - классифицирующее пространство для связок кругов [ править ]

Та же конструкция может быть применена к матрицам, действующим в бесконечномерном гильбертовом пространстве .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Обозначим через U ( H ) пространство унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Когда f : X → U ( H ) - непрерывное отображение компакта X в унитарную группу, можно использовать конечномерную аппроксимацию его образа и простой K-теоретический прием

${\displaystyle u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),}$

чтобы показать, что оно на самом деле гомотопно тривиальному отображению в единственную точку. Это означает, что U ( H ) слабо стягиваемо, и дополнительный аргумент показывает, что он действительно стягиваем. Заметим, что это чисто бесконечномерное явление, в отличие от конечномерных кузенов U ( n ) и их предела U (∞) при отображениях включения, которые не стягиваются, допуская гомотопически нетривиальные непрерывные отображения на U (1), задаваемые определитель матриц.

Центром бесконечномерной унитарной группы , как и в конечномерном случае, является U (1), который снова действует на унитарную группу посредством умножения на фазу. Поскольку унитарная группа не содержит нулевой матрицы, это действие является бесплатным. Таким образом получается стягиваемое пространство с действием U (1), которое идентифицирует его как EU (1), а пространство орбит U (1) как BU (1) , классифицирующее пространство для U (1).${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$

Гомотопия и (ко) гомологии PU ( H ) [ править ]

${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$определяется в точности как пространство орбит действия U (1) на , таким образом, является реализацией классифицирующего пространства BU (1). В частности, используя изоморфизм${\displaystyle \mathrm {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)}$

между гомотопическими группами пространства X и гомотопическими группами его классифицирующего пространства BX в сочетании с гомотопическим типом окружности U (1)

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbf {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}}$

мы находим гомотопические группы ${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle \pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbf {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}}$

таким образом отождествляя себя с представителем пространства Эйленберга – Маклейна K ( Z , 2).${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

Как следствие, оно должно быть того же гомотопического типа, что и бесконечномерное комплексное проективное пространство , которое также представляет K ( Z , 2). Это, в частности, означает, что они имеют изоморфные группы гомологий и когомологий :${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbf {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}}$

Представления [ править ]

Присоединенное представление [ править ]

PU ( n ) вообще не имеет n- мерных представлений, так же как SO (3) не имеет двумерных представлений.

PU ( n ) имеет присоединенное действие на SU ( n ), поэтому имеет -мерное представление. Когда n = 2, это соответствует трехмерному представлению SO (3). Сопряженное действие определяется путем представления элемента PU ( n ) как класса эквивалентности элементов U ( n ), различающихся фазами. Затем можно предпринять присоединенное действие по отношению к любому из этих представителей U ( n ), и фазы коммутируют со всем и, таким образом, сокращаются. Таким образом, действие не зависит от выбора представителя и поэтому четко определено.${\displaystyle (n^{2}-1)}$

Проективные представления [ править ]

Во многих приложениях PU ( n ) действует не в линейном представлении, а в проективном представлении , которое является представлением с точностью до фазы, которое не зависит от вектора, на который действует. Они полезны в квантовой механике, поскольку физические состояния определены только с точностью до фазы. Например, массивные фермионные состояния трансформируются при проективном представлении, но не при представлении малой группы PU (2) = SO (3).

Проективные представления группы классифицируются по ее вторым целочисленным когомологиям , которые в данном случае имеют вид

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbf {Z} /n}$

или же

${\displaystyle \mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbf {Z} .}$

Группы когомологий в конечном случае могут быть получены из длинной точной последовательности расслоений и указанного выше факта, что SU ( n ) является расслоением Z / n над PU ( n ). Когомологии в бесконечном случае доказывались выше из изоморфизма с когомологиями бесконечного комплексного проективного пространства.

Таким образом, PU ( n ) обладает n проективными представлениями, первое из которых является фундаментальным представлением своего SU ( n ) покрытия, а число его - счетно бесконечным. Как обычно, проективные представления группы являются обычными представлениями центрального расширения группы. В этом случае центральная расширенная группа, соответствующая первому проективному представлению каждой проективной унитарной группы, - это просто исходная унитарная группа, фактор которой мы взяли по U (1) в определении PU.${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

Приложения [ править ]

Скрученная K-теория [ править ]

Присоединенное действие бесконечной проективной унитарной группы полезно в геометрических определениях скрученной K-теории . Здесь используется присоединенное действие бесконечномерного оператора либо на фредгольмовых операторах, либо на бесконечной унитарной группе .${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

В геометрических конструкциях скрученной K-теории с твистом H , то есть слой из пучка, а также различные завихрения Н соответствуют различным расслоениям. Как показано ниже, топологически представляет пространство Эйленберга – Маклейна K ( Z , 2), поэтому классифицирующим пространством расслоений является пространство Эйленберга – Маклейна K ( Z , 3). K ( Z , 3) также является классифицирующим пространством для третьей целочисленной группы когомологий , поэтому расслоения классифицируются третьими целочисленными когомологиями. В результате возможные скручивания H скрученной K-теории являются в точности элементами третьих целочисленных когомологий.${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \mathrm {PU} ({\mathcal {H}})}$

Чистая калибровочная теория Янга – Миллса [ править ]

В чистой калибровочной теории Янга – Миллса SU ( n ) , которая является калибровочной теорией только с глюонами и без фундаментальной материи, все поля преобразуются в присоединенную к калибровочной группе SU ( n ). Z / п центр SU ( п ) коммутирует, находясь в центре, с SU ( п ) -значная полей и так присоединенное действие центра тривиально. Следовательно, калибровочная симметрия - это отношение SU ( n ) к Z / n , которое есть PU ( n ), и оно действует на поля, используя сопряженное действие, описанное выше.

В этом контексте различие между SU ( n ) и PU ( n ) имеет важное физическое значение. SU ( n ) односвязна, но фундаментальной группой PU ( n ) является Z / n , циклическая группа порядка n . Следовательно, калибровочная теория PU ( n ) с присоединенными скалярами будет иметь нетривиальные вихри коразмерности 2, в которых математические ожидания скаляров наматываются вокруг нетривиального цикла PU ( n ) по мере того, как один из них окружает вихрь. Следовательно, эти вихри также имеют заряды в Z / n , что означает, что они притягиваются друг к другу и когда nвступая в контакт, они аннигилируют. Примером такого вихря является струна Дугласа – Шенкера в калибровочных теориях SU ( n ) Зайберга – Виттена .

Ссылки [ править ]

• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , 39 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2019-3, MR  1859189

См. Также [ править ]

• Унитарная группа
• Специальная унитарная группа
• Унитарные операторы
• Проективная ортогональная группа