RC схема

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «RC circuit»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Резистор-конденсатор цепи ( RC - цепи ), или RC - фильтр или сеть RC , является электрическая цепь состоит из резисторов и конденсаторов . Он может управляться источником напряжения или тока, и они будут давать разные ответы. RC-цепь первого порядка состоит из одного резистора и одного конденсатора и представляет собой простейший тип RC-цепи.

RC-цепи могут использоваться для фильтрации сигнала, блокируя одни частоты и пропуская другие. Двумя наиболее распространенными RC-фильтрами являются фильтры верхних частот и фильтры нижних частот ; полосовые фильтры и полосовые фильтры обычно требуют RLC-фильтров , хотя грубые фильтры могут быть сделаны с помощью RC-фильтров.

Введение [ править ]

Есть три основных линейных пассивных компонента аналоговой схемы с сосредоточенными параметрами : резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Они могут быть объединены в цепи RC, в цепи RL , в цепи LC , и цепи RLC , с указанием аббревиатур , которые используются компоненты. Эти схемы, в том числе, демонстрируют большое количество важных типов поведения, которые являются фундаментальными для большей части аналоговой электроники . В частности, они могут действовать как пассивные фильтры . В этой статье рассматривается RC-цепь как в последовательной, так и в параллельной формах, как показано на схемах ниже.

Естественная реакция [ править ]

Простейшая RC-цепь состоит из резистора и заряженного конденсатора, соединенных друг с другом в один контур, без внешнего источника напряжения. Как только цепь замыкается, конденсатор начинает разряжать накопленную энергию через резистор. Напряжение на конденсаторе, зависящее от времени, можно найти с помощью токового закона Кирхгофа . Ток через резистор должен быть равен по величине (но противоположному по знаку) производной по времени накопленного заряда на конденсаторе. Это приводит к линейному дифференциальному уравнению

${\ displaystyle C {\ frac {dV} {dt}} + {\ frac {V} {R}} = 0 \ ,,}$

где C - емкость конденсатора.

Решение этого уравнения относительно V дает формулу экспоненциального затухания :

${\ Displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ ,,}$

где V ₀ - напряжение конденсатора в момент времени t = 0 .

Время, необходимое для падения напряжения до V ₀/еназывается постоянной времени RC и определяется выражением ^[1]

${\ Displaystyle \ тау = RC \ ,.}$

В этой формуле τ измеряется в секундах, R - в омах, а C - в фарадах.

Комплексное сопротивление [ править ]

Комплексное сопротивление , Z _С (в Ом ) конденсатора с емкостью С (в фарадах ) является

${\ displaystyle Z_ {C} = {\ frac {1} {sC}}}$

В комплексных частотах сек есть, в общем, комплексное число ,

${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega \ ,,}$

где

• j представляет собой мнимую единицу : j ² = −1 ,
• σ - экспоненциальная константа затухания (в неперсах в секунду), а
• ω - синусоидальная угловая частота (в радианах в секунду ).

Синусоидальное установившееся состояние [ править ]

Синусоидальное установившееся состояние - это особый случай, когда входное напряжение состоит из чистой синусоиды (без экспоненциального затухания). В результате и сопротивление становится равным${\ displaystyle \ sigma = 0}$

${\ displaystyle Z_ {C} = - {\ frac {j} {\ omega C}} \ ,.}$

Последовательная схема [ править ]

Если рассматривать схему как делитель напряжения , напряжение на конденсаторе составляет:

${\ Displaystyle V_ {C} (s) = {\ frac {\ frac {1} {Cs}} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {1} {1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s)}$

а напряжение на резисторе равно:

${\ Displaystyle V_ {R} (s) = {\ frac {R} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {RCs} { 1 + RC}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \ ,.}$

Передаточные функции [ править ]

Функция передачи от входного напряжения до напряжения на конденсаторе

${\ Displaystyle H_ {C} (s) = {\ frac {V_ {C} (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {1} {1 + RCs}} \ ,.}$

Точно так же передаточная функция от входа к напряжению на резисторе равна

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

Полюсы и нули [ править ]

Обе передаточные функции имеют один полюс, расположенный в

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

Кроме того, передаточная функция для напряжения на резисторе имеет ноль, расположенный в начале координат .

Усиление и фаза [ править ]

Величина выигрыша по двум компонентам равна

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

и

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

а фазовые углы равны

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

и

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

Эти выражения вместе могут быть заменены на обычное выражение для вектора, представляющего выходные данные:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

Текущий [ править ]

Ток в цепи везде одинаковый, так как цепь включена последовательно:

${\displaystyle I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.}$

Импульсный отклик [ править ]

Импульсная характеристика для каждого напряжения является обратным преобразованием Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящую из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика для напряжения конденсатора равна

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где u ( t ) - ступенчатая функция Хевисайда, а τ = RC - постоянная времени .

Точно так же импульсная характеристика для напряжения резистора равна

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

где δ ( t ) - дельта-функция Дирака

Рекомендации по частотной области [ править ]

Это выражения в частотной области . Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этим усилением, когда частота становится очень большой и очень маленькой.

При ω → ∞ :

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

При ω → 0 :

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

Это показывает, что если выходной сигнал подается через конденсатор, высокие частоты ослабляются (замыкаются на землю), а низкие частоты пропускаются. Таким образом, схема ведет себя как фильтр нижних частот . Если, тем не менее, выходной сигнал поступает через резистор, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (поскольку конденсатор блокирует сигнал, когда его частота приближается к нулю). В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр верхних частот .

Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания . Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется его частотой среза . Это требует, чтобы коэффициент усиления схемы был уменьшен до

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

Решение вышеуказанного уравнения дает

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

это частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей исходной мощности.

Ясно, что фазы также зависят от частоты, хотя в целом этот эффект менее интересен, чем изменение усиления.

При ω → 0 :

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

При ω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

Таким образом, при постоянном токе (0  Гц ) напряжение конденсатора находится в фазе с напряжением сигнала, в то время как напряжение резистора опережает его на 90 °. По мере увеличения частоты напряжение на конденсаторе запаздывает на 90 ° относительно сигнала, а напряжение на резисторе становится синфазным с сигналом.

Соображения во временной области [ править ]

Этот раздел основан на знании e , натуральной логарифмической константы .

Самый простой способ вывести поведение во временной области - использовать преобразования Лапласа из выражений для V _C и V _R, приведенных выше. Это эффективно преобразует jω → s . Предполагая ступенчатый вход (т.е. V _in = 0 перед t = 0, а затем V _in = V после):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

Разложения по частным дробям и обратное преобразование Лапласа дают:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}\,.\end{aligned}}}$

Эти уравнения предназначены для расчета напряжения на конденсаторе и резисторе соответственно во время зарядки конденсатора ; для разряда уравнения обратные. Эти уравнения можно переписать в терминах заряда и тока, используя соотношения C =Q/Vи V = IR (см. закон Ома ).

Таким образом, напряжение на конденсаторе с течением времени стремится к V, в то время как напряжение на резисторе стремится к 0, как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному выводу, что конденсатор со временем будет заряжаться от напряжения питания и в конечном итоге будет полностью заряжен.

Эти уравнения показывают, что последовательная RC-цепь имеет постоянную времени , обычно обозначаемую τ = RC, которая представляет собой время, за которое напряжение на компоненте либо повышается (на конденсаторе), либо падает (на резисторе) до допустимого предела.1/еего окончательного значения. То есть τ - это время, за которое V _C достигает V (1 -1/е) и V _R, чтобы достичь V (1/е) .

Скорость изменения дробная 1 -1/ена τ . Таким образом, при переходе от t = Nτ к t = ( N + 1) τ напряжение переместится примерно на 63,2% пути от своего уровня при t = Nτ к своему конечному значению. Таким образом, конденсатор будет заряжен примерно до 63,2% после τ и практически полностью заряжен (99,3%) примерно через 5 τ . Когда источник напряжения заменяется коротким замыканием с полностью заряженным конденсатором, напряжение на конденсаторе экспоненциально падает с t от V до 0. Конденсатор разряжается примерно до 36,8% после τ., и практически полностью разряжается (0,7%) примерно через 5 τ . Обратите внимание, что ток I в цепи ведет себя так же, как напряжение на резисторе, в соответствии с законом Ома .

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений, описывающих схему:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

Первое уравнение решается с помощью интегрирующего множителя, а второе легко следует; решения точно такие же, как полученные с помощью преобразований Лапласа.

Интегратор [ править ]

Рассмотрим выход через конденсатор на высокой частоте, т. Е.

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

Это означает, что у конденсатора недостаточно времени для зарядки, поэтому его напряжение очень мало. Таким образом, входное напряжение приблизительно равно напряжению на резисторе. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим приведенное выше выражение для :${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

но обратите внимание, что описанное частотное условие означает, что

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

так

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

что и есть закон Ома .

Теперь,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

так

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,,}$

который является интегратором на конденсаторе .

Дифференциатор [ править ]

Рассмотрим выход на резисторе на низкой частоте, т. Е.

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

Это означает, что конденсатор успевает зарядиться, пока его напряжение почти не сравняется с напряжением источника. Рассматривая снова выражение для I , когда

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

так

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

Теперь,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,,\end{aligned}}}$

который является дифференциатором через резистор .

Более точная интеграция и дифференциация могут быть достигнута путем размещения резисторов и конденсаторов по мере необходимости на вход и обратной петле операционных усилителей (см операционного усилителя интегратора и операционный усилитель дифференциатор ).

Усредненные отклики PWM [ править ]

Начнем с анализа, используя определение конденсатора:

я = C * dv / dt

В этой схеме ток i обозначается как (Ev) / R, если v - среднее напряжение конденсатора, а E - постоянное напряжение постоянного тока. Это дает нам:

C * dv / dt = (Ev) / R

Поскольку здесь E принимает два значения, как E (конкретное напряжение постоянного тока), так и 0 (нулевое напряжение), нам нужны два уравнения: одно, когда оно равно E, и другое, когда оно равно нулю. Второе уравнение то же самое с E, установленным на ноль, и полярностью v, сделанной положительной, поскольку, когда колпачок разряжается, v - некоторое положительное значение. Это дает нам:

C * dv / dt = v / R

Теперь просто умножив обе части этой системы уравнений на C (и RC = R * C), мы получим:

dv / dt = (Ev) / RC (когда вход E PWM высокий)

и

dv / dt = v / RC (когда вход E ШИМ равен нулю)

Приращение времени dt одинаково только для 50-процентного рабочего цикла ШИМ, поэтому нам нужно более общее выражение. Для этого мы просто устанавливаем каждый раз приращение dt уникальным значением:

dv / dt1 = (Ev) / RC

dv / dt2 = v / RC

Теперь просто решите для dv в каждом уравнении:

dv = dt1 * (Ev) / RC

dv = dt2 * v / RC

Теперь, применяя теорию непрерывности состояний, мы можем сказать, что эти два значения dv должны быть одинаковыми, когда напряжение на конденсаторе находится на среднем уровне. Это связано с тем, что, когда напряжение повышается, начиная с определенного более низкого значения, оно должно позже снизиться до того же более низкого напряжения, иначе напряжение еще не достигнет своего среднего значения. Заметив это, мы можем приравнять два:

dt1 * (Ev) / RC = dt2 * v / RC

и теперь, решая для среднего напряжения v, мы получаем:

v = (dt1 * E) / (dt2 + dt1)

Теперь мы могли бы остановиться на этом и отметить, что v - это среднее напряжение на конденсаторе, dt1 - время включения, а dt2 - время выключения, но в большинстве случаев мы хотим связать это с рабочим циклом D. довольно просто заметить, что если мы знаем полный период времени tp, мы можем приравнять эти два:

dt1 = D * tp

dt2 = (1-D) * tp

где D - дробная скважность (например, 0,30 составляет 30 процентов), и поэтому, подставляя эти два значения в предыдущее решение для v, мы получаем:

v = (tp * D * E) / (tp * D + tp * (1-D))

и когда мы упрощаем это выражение, мы получаем:

v = D * E

Очень простой результат! Таким образом, среднее напряжение составляет D * E, и мы можем сразу заметить, что фактические значения R и C не имели значения. Это действительно так для любых значений до тех пор, пока напряжение конденсатора не приближается к нулю или E для периодов «включено» или «выключено». Позже, когда мы вычислим пики, мы обнаружим, что значения R и C не имеют значения, если RC >> tp, но если постоянная времени RC сравнима с общим периодом времени tp, тогда мы найдем разницу в верхнем и нижнем пиках. расчетов во временной области, а также верхних и нижних пиков усредненных расчетов, хотя различия могут быть небольшими.

Простой пример: когда E = 10 В и D = 0,25, среднее напряжение v составляет 2,5 В.

Другой простой пример: когда E = 20 В и D = 0,50, среднее напряжение составляет 10 вольт.

Затем мы рассчитаем два пикового значения, верхний пик и нижний пик. Есть как минимум два способа сделать это: один - с помощью метода усреднения, а другой - с использованием прямого решения во временной области. Метод усреднения предполагает короткий общий период времени tp, в то время как решение во временной области не предполагает ничего, кроме идеальных компонентов (что типично для теоретических решений).

Используя метод усреднения, мы отмечаем, что ранее мы получали результат для отклонения от низкого до высокого напряжения конденсатора как:

dv = dt1 * (Ev) / RC

и мы подставили dt1 = D * tp и получили:

dv = D * tp * (Ev) / RC

и мы предположили, что «v» было средним напряжением. Поскольку 'v' было средним напряжением, мы позже вычислили его как:

v (средн.) = D * E

мы вставляем это в приведенное выше выражение и получаем:

dv = D * tp * (ED * E) / RC

или же:

dv = D * tp * E * (1-D) / RC

и это полное отклонение от самой низкой точки до самой высокой точки на конденсаторе, часто называемое размахом напряжения.

Поскольку это полное отклонение, а в приближении прямой линии оно треугольное, а треугольная волна имеет среднее значение, равное 1/2 всей амплитуды от пика до пика, чтобы получить отклонение выше среднего, мы просто делим это пополам. По той же причине амплитуда ниже среднего также будет вдвое меньше.

Мы могли бы отметить, что значения RC на самом деле имеют значение для этого расчета, даже если они не имеют значения для среднего расчета.

Пример: R = 1000 Ом, C = 100 мкФ, tp = 0,001 секунды, E = 10 В, D = 0,50 (рабочий цикл 50 процентов)

Результат: dv = 0,025 В от пика до пика.

Положительное отклонение: 0,025 / 2 = 0,0125 вольт пикового значения

Отрицательное отклонение: 0,025 / 2 = 0,0125 вольт пикового значения

Также следует отметить, что если мы вычислим максимум dv относительно изменения D рабочего цикла, мы обнаружим, что значение D, которое вызывает самый высокий пик напряжения, составляет D = 0,50, что соответствует 50-процентному рабочему циклу.

Параллельная схема [ править ]

Параллельная RC-цепь обычно менее интересна, чем последовательная. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение V _out равно входному напряжению V _in - в результате эта схема не действует как фильтр входного сигнала, если только она не питается от источника тока .

Со сложными сопротивлениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

Это показывает, что ток конденсатора на 90 ° не совпадает по фазе с током резистора (и источника). В качестве альтернативы можно использовать основные дифференциальные уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

При питании от источника тока передаточная функция параллельной RC-цепи равна:

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

Синтез [ править ]

Это иногда требуется , чтобы синтезировать схему RC от заданной рациональной функции в сек . Чтобы синтез пассивных элементов был возможен, функция должна быть положительно-действительной функцией . Для синтеза в виде RC-цепи все критические частоты ( полюса и нули ) должны быть на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями с равным количеством каждого из них. Кроме того, критическая частота, ближайшая к началу координат, должна быть полюсом, если предположить, что рациональная функция представляет импеданс, а не полную проводимость.

Синтез может быть достигнут с помощью модификации синтеза Фостера или синтеза Кауэра, используемого для синтеза цепей LC . В случае синтеза Кауэра получится лестничная сеть из резисторов и конденсаторов. ^[2]

См. Также [ править ]

• Цепь RL
• LC-цепь
• Схема RLC
• Электрическая сеть
• Список тем электроники
• Шаговый ответ

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Бакши, UA; Бакши, А.В., Анализ цепей - II , Технические публикации, 2009 ISBN  9788184315974 .
• Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд, Искусство электроники (3-е издание), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266 .