В математике , то интеграл Бохнера , названный в честь Бохнер , доопределяет интеграл Лебега для функций, принимающих значения в банаховом пространстве , как предел интегралов от простых функций .
Определение
Пусть ( X , Σ, μ) - пространство с мерой , а B - банахово пространство . Интеграл Бохнера функцииопределяется почти так же, как интеграл Лебега. Сначала определите простую функцию как любую конечную сумму вида
где Е я непересекающиеся члены а-алгебра Е, в б я различные элементы из B , и χ Е является характеристической функцией от Е . Если μ ( E i ) конечно, когда b i ≠ 0, то простая функция интегрируема , и тогда интеграл определяется как
точно так же, как и для обычного интеграла Лебега.
Измеримая функция ƒ: X → B является Бохнер интегрируемой , если существует последовательность интегрируемых простых функций с п таких , что
где интеграл в левой части - обычный интеграл Лебега.
В этом случае интеграл Бохнера определяется выражением
Можно показать, что последовательность является последовательностью Коши в банаховом пространстве, значит, предел справа существует; кроме того, предел не зависит от аппроксимирующей последовательности простых функций. Эти замечания показывают, что интеграл определен правильно (т.е. не зависит от выбора). Можно показать, что функция интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда она лежит в пространстве Бохнера .
Характеристики
Многие из известных свойств интеграла Лебега остаются в силе для интеграла Бохнера. Особенно полезен критерий Бохнера интегрируемости, который утверждает, что если ( X , Σ, μ) - пространство с мерой, то измеримая по Бохнеру функция ƒ : X → B интегрируема по Бохнеру тогда и только тогда, когда
Функция ƒ : X → B называется измеримой по Бохнеру, если она равна μ-почти всюду функции g, принимающей значения в сепарабельном подпространстве B 0 пространства B , и такая, что прообраз g −1 ( U ) каждого открытого множество U в B принадлежит Σ. Эквивалентное ƒ является предел μ-почти всюду последовательность простых функций.
Если - линейный непрерывный оператор, а интегрируем по Бохнеру, то интегрируется по Бохнеру, а интеграция и можно поменять местами:
Это верно и для замкнутых операторов, если быть интегрируемым (что по упомянутому выше критерию тривиально верно для ограниченного ).
Версия теоремы о мажорируемой сходимости также верна для интеграла Бохнера. В частности, если ƒ n : X → B - последовательность измеримых функций на полном пространстве с мерой, почти всюду стремящаяся к предельной функции ƒ , и если
для почти всех x ∈ X и g ∈ L 1 (μ) , то
при n → ∞ и
для всех E ∈ Σ.
Если ƒ Бохнер интегрируем, то неравенство
выполняется для всех E ∈ Σ. В частности, заданная функция
определяет счетно-аддитивная В значной векторная мера на X , который является абсолютно непрерывна относительно ц.
Радон – Никодим свойство
Важным фактом об интеграле Бохнера является то, что теорема Радона – Никодима в общем случае не выполняется. Это приводит к важному свойству банаховых пространств, известному как свойство Радона – Никодима. В частности, если μ - мера на ( X , Σ), то B обладает свойством Радона – Никодима по отношению к μ, если для каждой счетно-аддитивной векторной меры на ( X , Σ) со значениями в B, которая имеет ограниченную вариацию и абсолютно непрерывна относительно μ, существует μ-интегрируемая функция g : X → B такая, что
для любого измеримого множества E ∈ Σ. [1]
Банахово пространство B обладает свойством Радона – Никодима, если B обладает свойством Радона – Никодима по отношению к любой конечной мере. Известно, что космос обладает свойством Радона – Никодима, но и пространства , , для открытое ограниченное подмножество , а также , для бесконечного компактного пространства K - нет. Пространства со свойством Радона – Никодима включают сепарабельные сопряженные пространства (это теорема Данфорда – Петтиса ) и рефлексивные пространства , к которым, в частности, относятся гильбертовы пространства .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Bárcenas, Диомед (2003). "Теорема Радона – Никодима для рефлексивных банаховых пространств" (PDF) . Divulgaciones Matemáticas . 11 (1): 55–59 [стр. 55–56].
- Бохнер, Саломон (1933), "Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 20 : 262–276
- Кон, Дональд (2013), Мера теории , Birkhäuser Advanced Тексты Basler Lehrbücher, Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4614-6956-8 , ISBN 978-1-4614-6955-1
- Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ , Классика математики, 123 , Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-642-61859-8 , ISBN 978-3-540-58654-8
- Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и серии в банаховых пространствах , Тексты для выпускников по математике, 92 , Springer, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5200-9 , ISBN 978-0-387-90859-5
- Дистель; Уль (1977), векторные меры , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1515-1
- Хилле, Эйнар; Филлипс, Ральф (1957), функциональный анализ и полугруппы , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1031-6
- Ланг, Серж (1993), Реальный и функциональный анализ (3-е изд.), Springer, ISBN 978-0387940014
- Соболев, В.И. (2001) [1994], "Интеграл Бохнера" , Энциклопедия математики , EMS Press
- ван Дулст, Д. (2001) [1994], "Векторные меры" , Энциклопедия математики , EMS Press