В математике фрактал Рози - это фрактальный набор, связанный с заменой Трибоначчи.
Он был изучен в 1981 г. Жераром Рози [1] с идеей обобщения динамических свойств морфизма Фибоначчи . Этот фрактальный набор может быть обобщен на другие карты в трехбуквенном алфавите, создавая другие фрактальные наборы с интересными свойствами, такими как периодическая мозаика плоскости и самоподобие в трех гомотетических частях.
Определения
Слово трибоначчи
Бесконечно tribonacci слово этого слово строится итеративно применение Tribonacci или карты Рози :, , . [2] [3] Это пример морфического слова . Начиная с 1, слова Трибоначчи следующие: [4]
Мы можем показать, что для , ; отсюда и название « Трибоначчи ».
Фрактальная конструкция
Теперь рассмотрим пространство с декартовыми координатами (x, y, z). Фрактальной Рози построена таким образом: [5]
1) Интерпретируйте последовательность букв бесконечного слова Трибоначчи как последовательность унитарных векторов пространства по следующим правилам (1 = направление x, 2 = направление y, 3 = направление z).
2) Затем постройте «лестницу», отслеживая точки, достигнутые этой последовательностью векторов (см. Рисунок). Например, первые пункты:
и т.д ... Каждая точка может быть раскрашена в соответствии с соответствующей буквой, чтобы подчеркнуть свойство самоподобия.
3) Затем спроецируйте эти точки на сжимающуюся плоскость (плоскость, ортогональную основному направлению распространения точек, ни одна из этих спроецированных точек не уходит в бесконечность).
Характеристики
- Может быть выложен тремя копиями самого себя, с уменьшением площади в несколько раз., а также с участием решение : .
- Стабильно при обмене штуками. Мы можем получить тот же набор, поменяв места местами.
- Связано и просто связано. Нет дырочки.
- Периодически укладывает самолет плиткой, переводя.
- Матрица карты Трибоначчи имеет как его характеристический многочлен . Его собственные значения - действительное число, Называемая константа Tribonacci , а число Пизо , и два комплексных конъюгаты а также с участием .
- Его граница фрактальная, и размерность Хаусдорфа этой границы равна 1,0933, решение задачи. [6]
Варианты и обобщение
Для любой унимодулярной подстановки типа Пизо, которая проверяет условие совпадения (очевидно, всегда проверяется), можно построить аналогичное множество, называемое «фракталом Рози карты». Все они демонстрируют самоподобие и создают, для примеров ниже, периодическую мозаику плоскости.
s (1) = 12, s (2) = 31, s (3) = 1
s (1) = 12, s (2) = 23, s (3) = 312
s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 31
s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 1132
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Рози, Gérard (1982). «Алгоритмы и замены» (PDF) . Бык. Soc. Математика. Пт. (На французском). 110 : 147–178. Zbl 0522.10032 .
- ^ Lothaire (2005) P.525
- ^ Pytheas Фогг (2002) с.232
- ^ Lothaire (2005) p.546
- ^ Pytheas Фогг (2002) p.233
- ^ Мессауди, Али (2000). "Frontière du фрактал де Рози и система нумерации комплекса. (Граница фрактальной системы Рози и сложной системы счисления)" (PDF) . Acta Arith. (На французском). 95 (3): 195–224. Zbl 0968.28005 .
- Арну, Пьер; Харрис, Эдмунд (август 2014 г.). "ЧТО ТАКОЕ ... Rauzy Fractal?" . Уведомления Американского математического общества . 61 (7): 768–770. DOI : 10,1090 / noti1144 .
- Берте, Валери ; Сигель, Энн; Тусвальднер, Йорг (2010). «Подстановки, фракталы Рози и мозаики». В Берте, Валери ; Риго, Мишель (ред.). Комбинаторика, автоматы и теория чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. 135 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 248–323. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1247.37015 .
- Лотэр, М. (2005). Прикладная комбинаторика слов . Энциклопедия математики и ее приложений. 105 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84802-2. Руководство по ремонту 2165687 . Zbl 1133.68067 .
- Пифей Фогг, Н. (2002). Берте, Валери ; Ференци, Себастьян; Mauduit, Christian; Сигель, Энн (ред.). Подстановки в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. 1794 . Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015 .
Внешние ссылки
- Топологические свойства фракталов Рози
- Замены, фракталы и мозаики Рози, Энн Сигель, 2009
- Фракталы Рози для автоморфизмов свободных групп, 2006 г.
- Подстановки Пизо и фракталы Рози
- Фракталы Рози
- Numberphile видео о фракталах Рози и числах Трибоначчи