В математике число Пизо – Виджаярагхавана , также называемое просто числом Пизо или числом PV , является действительным алгебраическим целым числом больше 1, все сопряжения Галуа которого меньше 1 по модулю . Эти числа были обнаружены Акселем Туэ в 1912 году и повторно открыты Дж. Х. Харди в 1919 году в контексте диофантового приближения . Они стали широко известны после публикации диссертации Чарльза Пизо в 1938 году. Они также встречаются в проблеме единственности рядов Фурье .Тирукканнапурам Виджаярагхаван и Рафаэль Салем продолжили свое обучение в 1940-х годах. Числа Салема - это тесно связанный набор чисел.
Характерным свойством чисел PV является то, что их степени приближаются к целым числам с экспоненциальной скоростью. Пизо доказал замечательное обратное: если α > 1 - действительное число такое, что последовательность
измерения расстояния от своих последовательных полномочий до ближайшего целого числа является квадратично суммируемых или ℓ 2 , то α является числом Пизо (и, в частности, алгебраической). Опираясь на эту характеристику номеров PV, Салем показал, что множество S всех номеров PV замкнуто . Его минимальный элемент - кубическая иррациональность, известная как пластическое число . Многое известно о точек накопления в S . Самая маленькая из них - золотое сечение .
Определение и свойства
Алгебраическое число степени п является корнем α из неприводимого унитарного многочлена Р ( х ) степеней п с целыми коэффициентами, его минимальным многочленом . Остальные корни P ( x ) называются сопряженными с α . Если α > 1, но все остальные корни P ( x ) являются действительными или комплексными числами с модулем меньше 1, так что они лежат строго внутри круга | х | = 1 в комплексной плоскости , то α называется число Пизо , число пизо , или просто номер PV . Например, золотое сечение , φ ≈ 1,618, является действительным квадратичным целым числом, которое больше 1, в то время как абсолютное значение его сопряженного, - φ −1 ≈ −0,618, меньше 1. Следовательно, φ - число Пизо. . Его минимальный многочлен равен x 2 - x - 1.
Элементарные свойства
- Каждое целое число больше 1 является номером PV. И наоборот, каждое рациональное число PV является целым числом больше 1.
- Если α - иррациональное число PV, минимальный многочлен которого заканчивается на k, то α больше, чем | k |. Следовательно, все числа PV, меньшие 2, являются алгебраическими единицами.
- Если α - число PV, то его степени α k равны для всех натуральных показателей k .
- Каждое поле K вещественных алгебраических чисел степени n содержит PV-число степени n . Это число - генератор поля. Множество всех PV-чисел степени n в K замкнуто относительно умножения.
- Принимая во внимание верхнюю границу M и степени п , существует лишь конечное число чисел PV степени п , которые меньше , чем М .
- Каждое число PV является числом Перрона (вещественное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).
Диофантовы свойства
Основной интерес к числам PV вызван тем, что их мощности имеют очень «смещенное» распределение (mod 1). Если α - число PV, а λ - любое целое алгебраическое число в поле тогда последовательность
где || х || обозначает расстояние от действительного числа x до ближайшего целого, приближается к 0 с экспоненциальной скоростью. В частности, это суммируемая с квадратом последовательность, и ее члены сходятся к 0.
Известны два обратных утверждения: они характеризуют числа PV среди всех действительных чисел и среди алгебраических чисел (но при более слабом диофантовом предположении).
- Предположим, что α - действительное число больше 1, а λ - ненулевое действительное число такое, что
- Тогда α - число Пизо, а λ - алгебраическое число в поле ( Теорема Пизо ).
- Предположим, что α - алгебраическое число больше 1, а λ - ненулевое действительное число такое, что
- Тогда α - число Пизо, а λ - алгебраическое число в поле .
Многолетняя проблема Пизо-Виджайарагхаван спрашивает , может ли предположение , что α алгебраичен может быть исключена из последнего заявления. Если ответ утвердительный, числа Пизо будут характеризоваться среди всех действительных чисел простой сходимостью || λα n || равным 0 для некоторого вспомогательного вещественного λ . Известно, что существует только счетное число чисел α с этим свойством. [ необходима цитата ] Проблема состоит в том, чтобы решить, является ли какой-либо из них трансцендентным.
Топологические свойства
Множество всех чисел Пизо обозначается S . Поскольку числа Пизо алгебраичны, множество S счетно. Рафаэль Салем доказал, что это множество замкнуто : оно содержит все свои предельные точки . [1] Его доказательство использует конструктивную версию основного диофантова свойства чисел Пизо: [2] для данного числа Пизо α можно выбрать вещественное число λ так, чтобы 0 < λ ≤ α и
Таким образом, ℓ 2 норма последовательности || λα n || можно ограничить равномерной постоянной, не зависящей от α . На последнем этапе доказательства используется характеристика Пизо, чтобы сделать вывод, что предел последовательности чисел Пизо сам по себе является числом Пизо.
Замкнутость S означает наличие минимального элемента . Карл Людвиг Зигель доказал , что положительный корень уравнения х 3 - х - 1 = 0 ( пластик постоянная ) и выделяют в S . Он построил две последовательности чисел Пизы сходящихся к золотой пропорции ф снизу и спрашивает , может ли φ является наималейшей предельной точкой S . Позднее это было доказано Дюфресным и Пизо, которые также определили все элементы S , меньшие φ ; не все они принадлежат двум последовательностям Зигеля. Виджаярагаван доказал, что S имеет бесконечно много предельных точек; фактически, последовательность производных множеств
не прекращается. С другой стороны, перекрестокиз этих множеств пусто, что означает, что ранг Кантора – Бендиксона множества S равен ω . Еще более точно, то порядковый тип из S был определен. [3]
Набор чисел Салем , обозначим через Т , тесно связано с S . Было доказано , что S содержится в множестве Т» предельных точек Т . [4] [5] Было высказано предположение о том , что объединение из S и T замкнут. [6]
Квадратичные иррациональные числа
Если является квадратичным иррациональным, есть только одно сопряжение:, полученный изменением знака квадратного корня в из
или из
Здесь a и D - целые числа, а во втором случае a нечетно, а D сравнимо с 1 по модулю 4.
Требуемые условия: α > 1 и −1 < α '<1. Они выполняются в первом случае именно тогда, когда a > 0 и либо или же . Во втором случае они выполняются именно тогда, когда и либо или же .
Таким образом, первые несколько квадратичных иррациональных чисел, которые являются числами PV, следующие:
Значение | Корень ... | Численная величина |
---|---|---|
1.618033 ... OEIS : A001622 ( золотое сечение ) | ||
2.414213 ... OEIS : A014176 ( соотношение серебра ) | ||
2.618033 ... OEIS : A104457 | ||
2.732050 ... OEIS : A090388 | ||
3.302775 ... OEIS : A098316 (третье металлическое среднее ) | ||
3,414213 ... | ||
3.561552 .. OEIS : A178255 . | ||
3.732050 ... OEIS : A019973 | ||
3.791287 ... OEIS : A090458 | ||
4.236067 ... OEIS : A098317 (четвертое металлическое среднее) |
Полномочия PV-номеров
Числа Пизо – Виджаярагхавана можно использовать для генерации почти целых чисел : n- я степень числа Пизо приближается к целым числам с ростом n . Например,
С а также отличаются только
очень близко к
Действительно
Соответственно, более высокие степени дают лучшие рациональные приближения.
Это свойство проистекает из того факта, что для каждого n сумма n- х степеней алгебраического целого числа x и его сопряженных элементов является в точности целым числом; это следует из приложения тождеств Ньютона . Когда x является числом Пизо, n- ые степени других сопряженных элементов стремятся к 0, поскольку n стремится к бесконечности. Поскольку сумма является целым числом, расстояние от x n до ближайшего целого числа стремится к 0 с экспоненциальной скоростью.
Малые числа Пизо
Все числа Пизо, не превышающие золотого сечения φ , были определены Дюфресным и Пизо. В таблице ниже перечислены десять наименьших чисел Пизо в порядке возрастания. [7]
Значение | Корень ... | Корень ... | |
---|---|---|---|
1 | 1.3247179572447460260 OEIS : A060006 ( пластиковый номер ) | ||
2 | 1.3802775690976141157 OEIS : A086106 | ||
3 | 1.4432687912703731076 OEIS : A228777 | ||
4 | 1.4655712318767680267 OEIS : A092526 ( суперзолотое соотношение ) | ||
5 | 1.5015948035390873664 OEIS : A293508 | ||
6 | 1.5341577449142669154 OEIS : A293509 | ||
7 | 1.5452156497327552432 OEIS : A293557 | ||
8 | 1,5617520677202972947 | ||
9 | 1.5701473121960543629 OEIS : A293506 | ||
10 | 1,5736789683935169887 |
Поскольку эти числа PV меньше 2, все они являются единицами: их минимальные многочлены заканчиваются на 1 или -1. Многочлены в этой таблице, [8] за исключением
являются факторами либо
или же
Первый многочлен делится на x 2 - 1, если n нечетно, и на x - 1, когда n четно. У него есть еще один реальный ноль, который является числом PV. Деление любого многочлена на x n дает выражения, которые приближаются к x 2 - x - 1, когда n становится очень большим, и имеют нули, сходящиеся к φ . Дополнительная пара многочленов,
а также
дает числа Пизо, приближающиеся к φ сверху.
Рекомендации
- ^ Салем, Р. (1944). «Замечательный класс целых алгебраических чисел. Доказательство гипотезы Виджаярагхавана». Duke Math. Дж . 11 : 103–108. DOI : 10,1215 / s0012-7094-44-01111-7 . Zbl 0063.06657 .
- ↑ Салем (1963), стр.13
- ^ Бойд, Дэвид В .; Маулдин, Р. Дэниэл (1996). «Тип заказа набора чисел Пизо». Топология и ее приложения . 69 : 115–120. DOI : 10.1016 / 0166-8641 (95) 00029-1 .
- ^ Салем, Р. (1945). «Степенный ряд с интегральными коэффициентами». Duke Math. Дж . 12 : 153–172. DOI : 10,1215 / s0012-7094-45-01213-0 . Zbl 0060.21601 .
- ↑ Салем (1963), стр.30
- ^ Салем (1963) стр. 31 год
- ^ Dufresnoy, J .; Пизо, гл. (1955), «Etude de specifices fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке), 72 : 69–92, MR 0072902. Наименьшие из этих чисел перечислены в порядке номеров на стр. 92.
- ^ Бертин и др., Стр. 133.
- MJ Bertin; А. Декомпс-Гийу; М. Гранде-Юго; М. Патьо-Делефосс; JP Schreiber (1992). Числа Пизо и Салема . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
- Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел . CMS Книги по математике. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001 .Глава. 3.
- Бойд, Дэвид В. (1978). «Числа Пизо и Салема в промежутках действительной прямой» . Математика. Комп . 32 : 1244–1260. DOI : 10.2307 / 2006349 . ISSN 0025-5718 . Zbl 0395.12004 .
- Касселс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45 . Издательство Кембриджского университета . С. 133–144.
- Харди, Г. Х. (1919). «Проблема диофантова приближения». J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
- Пизо, Чарльз (1938). "La repartition modulo 1 et nombres algébriques". Аня. Sc. Норма. Супер. Пиза II . Сер. 7 (на французском языке): 205–248. Zbl 0019.15502 .
- Салем, Рафаэль (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: округ Колумбия Хит и компания . Zbl 0126.07802 .
- Туэ, Аксель (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Христиания Виденск. сельск. Скрифтер . 2 (20): 1–15. JFM 44.0480.04 .
Внешние ссылки
- Число Пизо , Математическая энциклопедия
- Терр, Дэвид и Вайсштейн, Эрик В. «Число Пизо» . MathWorld .