Пластиковый номер

Список номеров Иррациональные числа $ζ$ (3) √ 2 √ 3 √ 5 $φ$ $е$ $π$
Двоичный	1.0101 0011 0010 0000 1011 …
Десятичный	1,32471 79572 44746 02596 …
Шестнадцатеричный	1.5320 B74E CA44 ADAC 1788 …
Непрерывная дробь ^[1]	[1; 3, 12, 1, 1, 3, 2, 3, 2, 4, 2, 141, 80 ...] Обратите внимание, что эта цепная дробь не является ни конечной, ни периодической . (Показано в линейных обозначениях )
Алгебраическая форма	${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {\ frac {9 + {\ sqrt {69}}} {18}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac {9 - {\ sqrt {69} }}} {18}}}}$

Треугольники со сторонами в соотношении образуют замкнутую спираль.

{\ displaystyle \ rho}

Квадраты со сторонами в соотношении образуют замкнутую спираль

{\ displaystyle \ rho}

В математике , то пластик число $ρ$ (также известные как пластические постоянная , в пластиковом соотношении , с минимальным числом Пизы , на платиновом числе , ^[2] Siegel число «ы или, по - французский, ль Nombre лучистого ) являются математической константой , которая является единственное действительное решение кубического уравнения

{\ displaystyle x ^ {3} = x + 1.}

Имеет точное значение ^[3]

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt [{3}] {\ frac {9 + {\ sqrt {69}}} {18}}} + {\ sqrt [{3}] {\ frac {9 - {\ sqrt {69}}} {18}}}.}

Его десятичное разложение начинается с 1,32471 79572 44746 02596 09088 54… . ^[4]

Свойства [ править ]

Повторения [ править ]

Степени пластического числа $A (n) = ρ n$ удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению третьего порядка $A (n) = A (n - 2) + A (n - 3)$ при $n > 2$ . Следовательно, это предельное отношение последовательных членов любой (ненулевой) целочисленной последовательности, удовлетворяющей этому повторению, такой как числа Кордонье (более известные как последовательность Падована), числа Перрина и числа Ван дер Лаана , и имеет отношения к этим числам. последовательности, похожие на отношения золотого сеченияс числами Фибоначчи и Люка второго порядка , сродни соотношению между отношением серебра и числами Пелла . ^[5]

Пластическое число удовлетворяет вложенной радикальной повторяемости ^[6]

{\ displaystyle \ rho = {\ sqrt [{3}] {1 + {\ sqrt [{3}] {1 + {\ sqrt [{3}] {1+ \ cdots}}}}}}.}

Теория чисел [ править ]

Поскольку пластическое число имеет минимальный многочлен $x 3 - x - 1 = 0,$ оно также является решением полиномиального уравнения $p (x) = 0$ для каждого многочлена $p$ , кратного $x 3 - x - 1,$ но не для любых других многочленов с целыми коэффициентами. Поскольку дискриминант его минимального многочлена равен −23, его поле расщепления по рациональным $числам$ равно $ℚ ($ $\sqrt$ $-23$ $,$ $ρ$ ). Это поле также поле классов Гильберта из $ℚ (\sqrt -23)$ .

Пластиковое число - это наименьшее число Писот – Виджаярагхаван . Его алгебраические конъюгаты являются

{\ displaystyle \ left (- {\ tfrac {1} {2}} \ pm {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i \ right) {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac { 1} {2}} + {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {\ tfrac {23} {3}}}}} + \ left (- {\ tfrac {1} {2}} \ mp {\ tfrac {\ sqrt {3}} {2}} i \ right) {\ sqrt [{3}] {{\ tfrac {1} {2}} - {\ tfrac {1} {6}} {\ sqrt {\ tfrac {23} {3}}}}} \ приблизительно -0.662359 \ pm 0.56228i,}

по модулю ≈ 0,868837 (последовательность A191909 в OEIS ). Это значение также равно $1 / \sqrt ρ,$ потому что произведение трех корней минимального многочлена равно 1.

Тригонометрия [ править ]

Пластическое число можно записать с помощью гиперболического косинуса ( $cosh$ ) и его обратной величины:

\rho ={\tfrac {1}{c}}\cosh \left({\tfrac {1}{3}}\cosh ^{-1}(3c)\right),\qquad c=\cos \left({\tfrac {2\pi }{12}}\right)=\sin \left({\tfrac {2\pi }{6}}\right)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,.

(См. Кубическая функция # Тригонометрический (и гиперболический) метод .)

Геометрия [ править ]

Три разбиения квадрата на одинаковые прямоугольники

Есть ровно три способа разбить квадрат на три одинаковых прямоугольника: ^[7]^[8]

Тривиальное решение, представленное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3: 1.
Решение, в котором два из трех прямоугольников конгруэнтны, а третий имеет длину стороны вдвое больше, чем два других, где прямоугольники имеют соотношение сторон 3: 2.
Решение, в котором три прямоугольника несовместимы друг с другом (все разных размеров) и имеют соотношение сторон ρ ² . Соотношения линейных размеров трех прямоугольников равны: ρ (большой: средний); ρ ² (средний: маленький); и ρ ³ (большой: маленький). Внутренний длинный край самого большого прямоугольника (линия разлома квадрата) делит два из четырех ребер квадрата на два сегмента, каждый из которых расположен по отношению друг к другу в соотношении ρ. Внутренний совпадающий короткий край среднего прямоугольника и длинный край маленького прямоугольника делит одно из двух других углов квадрата на два сегмента, которые расположены друг к другу в соотношении ρ ⁴ .

Тот факт, что прямоугольник с соотношением сторон ρ ² можно использовать для разбиения квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентен алгебраическому свойству числа ρ ^2, связанному с теоремой Рауса – Гурвица : все его сопряженные элементы имеют положительную действительную часть. ^[9]^[10]

История [ править ]

Церковь аббатства Св. Бенедиктусберга 1967 года, построенная Гансом ван дер Лааном, имеет пропорции пластикового числа.

Имя [ редактировать ]

Голландский архитектор и бенедиктинский монах Дом Ханс ван дер Лаан дал этому номеру пластиковое имя ( голландский : het plastische getal ) в 1928 году. В 1924 году, за четыре года до того, как ван дер Лаан окрестил это имя, французский инженер Жерар Кордонье [ фр. ] уже открыл это число и назвал его радиантным числом ( французское : le nombre radiant ). В отличие от названий золотого сечения и серебряного сечения, слово «пластик» не предназначалось ван дер Лааном для обозначения определенного вещества, а скорее в его прилагательном смысле, означающем что-то, чему можно придать трехмерную форму. ^[11] Это, согласно Ричарду Падовану , происходит потому, что характерные соотношения числа, 3/4 и 1/7, относятся к пределам человеческого восприятия при соотнесении одного физического размера с другим. Ван дер Лаан спроектировал церковь аббатства Святого Бенедиктусберга 1967 года в соответствии с этими пластическими числовыми пропорциями. ^[12]

Пластик число также иногда называют количество серебра , имя , данное ему Мидхат J. Gazale ^[13] и впоследствии используется Мартин Гарднер , ^[14] , но это название более обычно используются для соотношения серебра $1 + \sqrt 2$ , одно из соотношений из семейства металлических средств, впервые описанных Верой В. де Спинадел в 1998 г. ^[15]

Мартин Гарднер предложил использовать термин «высокий фи», а Дональд Кнут создал специальный типографский знак для этого имени, вариант греческой буквы фи («ф») с приподнятым центральным кругом, напоминающий грузинскую букву пари («»). "). ^[16] $\rho ^{2}$

См. Также [ править ]

Курносый икосододекадодекаэдр
Суперзолотое соотношение

Примечания [ править ]

^ Последовательность OEIS : A072117 в OEIS
^ Choulet, Ричард (январь-февраль 2010). "Alors argent ou pas? Euh… je serais Assez platine" (PDF) . Налить Chercher et approfondir. Le Bulletin Vert . Ассоциация специалистов по математике общественного мнения (APMEP) Париж (486): 89–96. ISSN 0240-5709 . OCLC 477016293 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 ноября 2017 года . Проверено 14 ноября 2017 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа» . MathWorld .
^ Последовательность OEIS : A060006 в OEIS .
^ ; Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006) .
^ Piezas, Tito III; ван Ламоен, Флор и Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа» . MathWorld .
^ Ян Стюарт, Руководство по компьютерным знакомствам (обратная связь), Scientific American, Vol. 275, № 5, ноябрь 1996 г., стр. 118
^ де Спинадел, Вера В .; Антония, Редондо Буйтраго (2009), «К пластическому числу Ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 13 (2): 163–175 .
^ Freiling, C .; Ринна, D. (1994), "Черепица квадрата с подобными прямоугольниками", Математический Research Letters , 1 (5): 547-558, DOI : 10,4310 / MRL.1994.v1.n5.a3 , МР 1295549
^ Laczkovich, M .; Шекереса, G. (1995), "Замощение квадрата с аналогичными прямоугольниками", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 569-572, DOI : 10.1007 / BF02574063 , МР 1318796
^ Падован (2002) ; Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006) .
^ Padovan (2002) .
^ Gazale Мидхат J. (19 апреля 1999). «Глава VII: Серебряное число». Гномон: от фараонов до фракталов . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 135–150. ISBN 9780691005140. OCLC 40298400 .
↑ Мартин Гарднер , Тренировка Гарднера (2001), глава 16, стр. 121–128.
^ де Спинадел, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн» . Nexus II: Архитектура и математика . Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.
^ "Шесть сложных задач вскрытия" (PDF) . Quantum . 4 (5): 26–27. Май – июнь 1994 г.

Ссылки [ править ]

Aarts, J .; Fokkink, R .; Kruijtzer, G. (2001), "Морфические числа" (PDF) , Nieuw Arch. Wiskd. , 5, 2 (1): 56–58.
Газале, Мидхат Дж. (1999), Gnomon , Princeton University Press.
Падован, Ричард (2002), «Дом Ханс Ван дер Лаан и пластическое число», Nexus IV: Архитектура и математика , Книги Кима Уильямса, стр. 181–193.
Shannon, AG; Андерсон, П.Г .; Horadam, А. Ф. (2006), "Свойства Cordonnier, Perrin и Ван - дер - Лан чисел", Международный журнал по математическому образованию в области науки и техники , 37 (7): 825-831, DOI : 10,1080 / 00207390600712554.

Внешние ссылки [ править ]

Байки забытого Номера по Ian Stewart
Пластиковый прямоугольник и последовательность Падована в Тартапелаге - Джорджио Пьетрокола
Харрис, Эдмунд. «Коэффициент пластичности» (видео) . YouTube . Брэди Харан . Проверено 15 марта 2019 .

[1] Последовательность OEIS : A072117 в OEIS

[2] Choulet, Ричард (январь-февраль 2010). "Alors argent ou pas? Euh… je serais Assez platine" (PDF) . Налить Chercher et approfondir. Le Bulletin Vert . Ассоциация специалистов по математике общественного мнения (APMEP) Париж (486): 89–96. ISSN 0240-5709 . OCLC 477016293 . Архивировано из оригинального (PDF) 14 ноября 2017 года . Проверено 14 ноября 2017 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа» . MathWorld .

[4] Последовательность OEIS : A060006 в OEIS .

[5] ; Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006) .

[6] Piezas, Tito III; ван Ламоен, Флор и Вайсштейн, Эрик В. «Пластическая константа» . MathWorld .

[7] Ян Стюарт, Руководство по компьютерным знакомствам (обратная связь), Scientific American, Vol. 275, № 5, ноябрь 1996 г., стр. 118

[8] де Спинадел, Вера В .; Антония, Редондо Буйтраго (2009), «К пластическому числу Ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Журнал геометрии и графики , 13 (2): 163–175 .

[9] Freiling, C .; Ринна, D. (1994), "Черепица квадрата с подобными прямоугольниками", Математический Research Letters , 1 (5): 547-558, DOI : 10,4310 / MRL.1994.v1.n5.a3 , МР 1295549

[10] Laczkovich, M .; Шекереса, G. (1995), "Замощение квадрата с аналогичными прямоугольниками", Дискретная и Вычислительная геометрия , 13 (3-4): 569-572, DOI : 10.1007 / BF02574063 , МР 1318796

[11] Падован (2002) ; Шеннон, Андерсон и Хорадам (2006) .

[12] Padovan (2002) .

[13] Gazale Мидхат J. (19 апреля 1999). «Глава VII: Серебряное число». Гномон: от фараонов до фракталов . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. 135–150. ISBN 9780691005140. OCLC 40298400 .

[14] Мартин Гарднер , Тренировка Гарднера (2001), глава 16, стр. 121–128.

[15] де Спинадел, Вера В. (1998). Уильямс, Ким (ред.). «Металлические средства и дизайн» . Nexus II: Архитектура и математика . Fucecchio (Флоренция): Edizioni dell'Erba: 141–157.

[16] "Шесть сложных задач вскрытия" (PDF) . Quantum . 4 (5): 26–27. Май – июнь 1994 г.

[1]

vтеИррациональные числа
Чайтина ( $Ω$ ) Liouville Prime ( $ρ$ ) Логарифм 2 Гаусса ( $G$ ) Корень двенадцатой степени из 2 Апери ( $ζ (3)$ ) Пластик ( $ρ$ ) Корень квадратный из 2 Суперзолотое соотношение ( $ψ$ ) Эрдеш-Борвейн ( $E$ ) Золотое сечение ( $φ$ ) Корень квадратный из 3 Корень квадратный из 5 Коэффициент серебра ( $δ S$ ) Эйлера ( $е$ ) Пи ( $π$ )
Шизофреник Трансцендентный Тригонометрический