Номер Салема

График корней полинома Лемера с соответствующим числом Салема около x = 1,17628 в золоте.

В математике число Салема - это вещественное алгебраическое целое число α  > 1, все сопряженные корни которого имеют абсолютное значение не больше 1 и по крайней мере один из которых имеет абсолютное значение ровно 1. Числа Салема представляют интерес для диофантова приближения и гармонического анализа . Они названы в честь Рафаэля Салема .

Свойства [ править ]

Поскольку он имеет корень из абсолютного значения 1, минимальный многочлен для числа Салема должен быть обратным . Это означает, что 1 / α также является корнем и что все остальные корни имеют ровно единицу по модулю . Как следствие, α должен быть единицей в кольце целых алгебраических чисел и иметь норму  1.

Каждое число Салема является числом Перрона (вещественное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).

Связь с числами Писот – Виджаярагхаван [ править ]

Наименьшее известное число Салем является крупнейшим вещественный корень из полинома Лемера (названный по имени Деррик Генри Лехмер )

${\ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + х + 1,}$

что примерно равно x = 1,17628: предполагается, что это действительно наименьшее число Салема и наименьшая возможная мера Малера неприводимого нециклотомического многочлена. ^[1]

Многочлен Лемера является множителем более короткого многочлена 12-й степени,

${\ displaystyle Q (x) = x ^ {12} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} +1,}$

все двенадцать корней из которых удовлетворяют соотношению ^[2]

${\ displaystyle x ^ {630} -1 = {\ frac {(x ^ {315} -1) (x ^ {210} -1) (x ^ {126} -1) ^ {2} (x ^ { 90} -1) (x ^ {3} -1) ^ {3} (x ^ {2} -1) ^ {5} (x-1) ^ {3}} {(x ^ {35} -1 ) (x ^ {15} -1) ^ {2} (x ^ {14} -1) ^ {2} (x ^ {5} -1) ^ {6} \, x ^ {68}}}}$

Числа Салема могут быть построены из чисел Писот – Виджаярагхаван . Напомним, что наименьший из последних - единственный действительный корень кубического многочлена,

${\ displaystyle x ^ {3} -x-1,}$

известное как пластиковое число и примерно равно 1,324718. Это можно использовать для генерации семейства чисел Салема, включая наименьшее из найденных на данный момент. Общий подход взять минимальный многочлен Р ( х ) из числа пизо и его возвратно - поступательного полинома , Р * ( х ), и решить уравнение,

${\ Displaystyle х ^ {п} P (x) = \ pm P ^ {*} (x) \,}$

для целого n выше границы. Вычитание одной стороны из другой, разложение на множители и игнорирование тривиальных множителей даст минимальный многочлен некоторых чисел Салема. Например, используя отрицательный случай приведенного выше,

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {3} -x-1) = - (x ^ {3} + x ^ {2} -1)}$

то для n = 8 это множится как,

${\ displaystyle (x-1) (x ^ {10} + x ^ {9} -x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x + 1) = 0}$

где децика - многочлен Лемера. Использование большего числа n даст семью с корнем, приближающимся к пластическому числу . Это можно лучше понять, взяв корни n- й степени с обеих сторон,

${\ displaystyle x (x ^ {3} -x-1) ^ {1 / n} = \ pm (x ^ {3} + x ^ {2} -1) ^ {1 / n}}$

поэтому, когда n увеличивается, x приближается к решению x ³  -  x  - 1 = 0. Если используется положительный случай, то x приближается к пластическому числу с противоположной стороны. Используя минимальный многочлен следующего наименьшего числа Пизо – Виджаярагхавана, получаем,

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {4} -x ^ {3} -1) = - (x ^ {4} + x-1)}$

что для n = 7 множителей как,

${\ displaystyle (x-1) (x ^ {10} -x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} +1) = 0}$

децика, не сгенерированная в предыдущем случае, имеет корень x  = 1,216391 ... который является 5-м наименьшим известным числом Салема. При n  → бесконечность это семейство, в свою очередь, стремится к большему действительному корню из  x ⁴  -  x ³  - 1 = 0.

Ссылки [ править ]

• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел . CMS Книги по математике. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 . CS1 maint: discouraged parameter (link)Глава. 3.
• Бойд, Дэвид (2001) [1994], «Число Салема» , Энциклопедия математики , EMS Press
• MJ Mossinghoff. «Малые салемские номера» . Проверено 7 января 2016 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Салем, Р. (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: округ Колумбия Хит и компания . Zbl  0126.07802 . CS1 maint: discouraged parameter (link)