Взаимный полином

В алгебре , учитывая многочлен

{\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n},}

с коэффициентами из произвольного поля , его обратный многочлен или отраженный многочлен , ^[1]^[2], обозначаемый $p *$ или $p R$ , ^[2]^[1] - многочлен ^[3]

{\ displaystyle p ^ {*} (x) = a_ {n} + a_ {n-1} x + \ cdots + a_ {0} x ^ {n} = x ^ {n} p (x ^ {- 1} ).}

То есть коэффициенты при $p *$ являются коэффициентами при $p$ в обратном порядке. Они естественным образом возникают в линейной алгебре , как характеристического полинома от обратной матрицы .

В частном случае, когда поле представляет собой комплексные числа , когда

{\ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n},}

сопряженное возвратный многочлен , обозначаемый $р †$ , определяется,

{\ displaystyle p ^ {\ dagger} (z) = {\ overline {a_ {n}}} + {\ overline {a_ {n-1}}} z + \ cdots + {\ overline {a_ {0}}} z ^ {n} = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}},}

где обозначает комплексное сопряжение с , а также называется возвратным многочленом , когда не может возникнуть никакой путаницы. ${\ displaystyle {\ overline {a_ {i}}}}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$

Многочлен $p$ называется самовзаимным или палиндромным, если $p (x) = p * (x)$ . Коэффициенты самовзаимного полинома удовлетворяют условию $a i = a n - i$ для всех $i$ . В сопряженном обратном случае коэффициенты должны быть действительными, чтобы удовлетворять условию.

Свойства [ править ]

Взаимные многочлены имеют несколько связей со своими исходными многочленами, в том числе:

$deg p = deg p *$
$p (x) = x n p * (x -1)$ ^[2]
$α$ является корнем многочлена $p$ тогда и только тогда, когда $α -1$ является корнем $p *$ . ^[4]
Если $р (х) \neq х$ , то $р$ является неприводимым тогда и только тогда , когда $р *$ неприводимо. ^[5]
$р$ является примитивным тогда и только тогдакогда $р *$ примитивно. ^[4]

Могут быть получены другие свойства обратных многочленов, например:

Если многочлен самовзаимный и неприводимый, то он должен иметь четную степень . ^[5]

Палиндромные и антипалиндромные многочлены [ править ]

Самовзаимный многочлен также называется палиндромом, потому что его коэффициенты, когда многочлен записывается в порядке возрастания или убывания степеней, образуют палиндром . То есть, если

P(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}

есть многочлен степени $п$ , то $Р$ является палиндромическим , если $я$ $=$ $а$ $п$ $-$ $я$ для $я$ $= 0, 1, ...,$ $п$ . Некоторые авторы используют термины палиндромические и взаимные взаимозаменяемыми.

Аналогично, многочлен $P$ степени $n$ называется антипалиндромным, если $a i = - a n - i$ для $i = 0, 1, ..., n$ . То есть многочлен $P$ является antipalindromic , если $Р (х) = - Р * (х)$ .

Примеры [ править ]

Из свойств биномиальных коэффициентов следует, что многочлены $P (x) = (x + 1) n$ палиндромны для всех натуральных чисел $n$ , а многочлены $Q (x) = (x - 1) n$ палиндромны, когда $n$ даже и antipalindromic , когда $п$ является нечетным .

Другие примеры палиндромных многочленов включают циклотомические многочлены и многочлены Эйлера .

Свойства [ править ]

Если $a$ является корнем полинома, который является палиндромным или антипалиндромным, то1/ $а$ также является корнем и имеет такую же кратность . ^[6]
Верно и обратное: если многочлен таков, что если $a$ является корнем, то1/ $а$ также является корнем той же кратности, тогда многочлен либо палиндромный, либо антипалиндромный.
Для любого многочлена $q$ многочлен $q + q *$ палиндромен, а многочлен $q - q *$ антипалиндромен.
Отсюда следует, что любой многочлен $q$ можно записать как сумму палиндромного и антипалиндромного многочлена, поскольку $q = (q + q *) / 2 + (q - q *) / 2$ . ^[7]
Произведение двух палиндромных или антипалиндромных многочленов является палиндромным.
Произведение палиндромного полинома и антипалиндромного полинома является антипалиндромным.
Палиндромный многочлен нечетной степени делится на $x + 1$ (он имеет –1 в качестве корня), и его частное по $x + 1$ также является палиндромным.
Антипалиндромный многочлен делится на $x - 1$ (он имеет 1 в качестве корня), а его частное по $x - 1$ является палиндромным.
Антипалиндромный многочлен четной степени делится на $x 2 - 1$ (у него есть корни −1 и 1), а его частное по $x 2 - 1$ является палиндромным.
Если $p (x)$ - палиндромный многочлен четной степени 2 $d$ , то существует многочлен $q$ степени $d$ такой, что $p (x) = x d q (x + 1 / Икс)$ (Дюран, 1961).
Если $p (x)$ - монический антипалиндромный многочлен четной степени 2 $d$ над полем $k$ с нечетной характеристикой , то его можно однозначно записать как $p (x) = x d (Q (x) - Q (1 / Икс))$ , где $Q$ - унитарный многочлен степени $d$ без постоянного члена. ^[8]
Если антипалиндромный многочлен $P$ имеет четную степень $2 n$ , то его «средний» коэффициент (степени $n$ ) равен 0, поскольку $a n = - a 2 n - n$ .

Реальные коэффициенты [ править ]

Многочлен с действительными коэффициентами, все комплексные корни которого лежат на единичной окружности комплексной плоскости (то есть все корни имеют модуль 1), является либо палиндромным, либо антипалиндромным. ^[9]

Сопряженные обратные многочлены[ редактировать ]

Многочлен является сопряженным обратным, если и самообратимым, если для масштабного коэффициента $ω$ на единичной окружности . ^[10] $p(x)\equiv p^{\dagger }(x)$ $p(x)=\omega p^{\dagger }(x)$

Если $p (z)$ - минимальный многочлен от $z 0$ с $| z 0 | = 1, z 0 \neq 1$ и $p (z)$ имеет действительные коэффициенты, то $p (z)$ взаимно взаимно. Это следует потому, что

z_{0}^{n}{\overline {p(1/{\bar {z_{0}}})}}=z_{0}^{n}{\overline {p(z_{0})}}=z_{0}^{n}{\bar {0}}=0.

Таким образом, $z 0$ является корнем многочлена степени $n$ . Но минимальный многочлен единственен, поэтому $z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}$

cp(z)=z^{n}{\overline {p({\bar {z}}^{-1})}}

для некоторой константы $с$ , т . Суммируйте от $i$ $= 0$ до $n$ и обратите внимание, что 1 не является корнем $p$ . Мы заключаем, что $c$ $= 1$ . $ca_{i}={\overline {a_{n-i}}}=a_{n-i}$

Как следствие, круговые многочлены $Φ n$ взаимно обратны при $n > 1$ . Это используется в специальном сите числового поля, чтобы числа вида $x 11 \pm 1, x 13 \pm 1, x 15 \pm 1$ и $x 21 \pm 1$ можно было разложить на множители с использованием алгебраических факторов с использованием многочленов степени 5, 6, 4 и 6 соответственно - обратите внимание, что $φ$ ( функция Эйлера ) экспонент равняется 10, 12, 8 и 12.

Применение в теории кодирования [ править ]

Обратный многочлен находит применение в теории кодов с исправлением циклических ошибок . Предположим, что $x n - 1$ можно разложить на произведение двух многочленов, скажем, $x n - 1 = g (x) p (x)$ . При $г (х)$ генерирует циклический код $C$ , то обратный полином $р *$ генерирует $C ⊥$ , то ортогональное дополнение из $C$ . ^[11] Кроме того , $С$ является самоортогональным(то есть $C \subseteq C ⊥)$ тогда и только тогда, когда $p *$ делит $g (x)$ . ^[12]

См. Также [ править ]

Теорема Кона

Заметки [ править ]

^ a b * Грэм, Рональд; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: основа информатики (второе изд.). Чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 340. ISBN 978-0201558029.
^ a b c Айгнер, Мартин (2007). Курс по перечислению . Берлин Нью-Йорк: Спрингер. п. 94. ISBN 978-3540390329.
^ Roman 1995 , pg.37
^ a b Pless 1990 , стр. 57
^ a b Роман 1995 г. , стр. 37
^ Плесс 1990 , стр. 57 только для палиндромного случая
^ Штейн, Джонатан Ю. (2000), Цифровая обработка сигналов: перспектива компьютерных наук , Wiley Interscience, стр. 384, ISBN 9780471295464
^ Кац, Николас М. (2012), Свертка и равнораспределение: теоремы Сато-Тейта для преобразований Меллина с конечным полем , Princeton University Press, стр. 146, ISBN 9780691153315
^ Марковский, Иван; Рао, Shodhan (2008), "палиндромные многочлены, время обратимой системы и сохраняющиеся величины" (PDF) , управление и автоматизация : 125-130, DOI : 10,1109 / MED.2008.4602018 , ISBN 978-1-4244-2504-4
^ Синклер, Кристофер Д .; Ваалер, Джеффри Д. (2008). «Самообратимые многочлены со всеми нулями на единичной окружности». В Макки, Джеймс; Смит, CJ (ред.). Теория чисел и многочлены. Материалы семинара, Бристоль, Великобритания, 3-7 апреля 2006 года . Серия лекций Лондонского математического общества. 352 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 312–321. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017 .
^ Плесс 1990 , стр. 75, теорема 48
^ Плесс 1990 , стр. 77, теорема 51

Ссылки [ править ]

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Взаимный многочлен» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Плесс, Вера (1990), Введение в теорию кодов с исправлением ошибок (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
Роман, Стивен (1995), Теория поля , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
Эмиль Дюран (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - полиномы не имеют коэффициентов симметричных или антисимметричных, с. 140-141.

Внешние ссылки [ править ]

«Основная теорема для палиндромных многочленов» . MathPages.com .
Взаимный полином (в MathWorld )

[concrete-1] * Грэм, Рональд; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика: основа информатики (второе изд.). Чтение, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. п. 340. ISBN 978-0201558029.

[Aigner-2] Айгнер, Мартин (2007). Курс по перечислению . Берлин Нью-Йорк: Спрингер. п. 94. ISBN 978-3540390329.

[3] Roman 1995 , pg.37

[Pless_1990_loc=pg._57-4] Pless 1990 , стр. 57

[Roman_1995_loc=_pg._37-5] Роман 1995 г. , стр. 37

[6] Плесс 1990 , стр. 57 только для палиндромного случая

[7] Штейн, Джонатан Ю. (2000), Цифровая обработка сигналов: перспектива компьютерных наук , Wiley Interscience, стр. 384, ISBN 9780471295464

[8] Кац, Николас М. (2012), Свертка и равнораспределение: теоремы Сато-Тейта для преобразований Меллина с конечным полем , Princeton University Press, стр. 146, ISBN 9780691153315

[9] Марковский, Иван; Рао, Shodhan (2008), "палиндромные многочлены, время обратимой системы и сохраняющиеся величины" (PDF) , управление и автоматизация : 125-130, DOI : 10,1109 / MED.2008.4602018 , ISBN 978-1-4244-2504-4

[SV08-10] Синклер, Кристофер Д .; Ваалер, Джеффри Д. (2008). «Самообратимые многочлены со всеми нулями на единичной окружности». В Макки, Джеймс; Смит, CJ (ред.). Теория чисел и многочлены. Материалы семинара, Бристоль, Великобритания, 3-7 апреля 2006 года . Серия лекций Лондонского математического общества. 352 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . С. 312–321. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl 1334.11017 .

[11] Плесс 1990 , стр. 75, теорема 48

[12] Плесс 1990 , стр. 77, теорема 51

[1]