Бенуа Мандельброт заявил, что « фрактал по определению - это множество, для которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго превышает топологическую размерность ». [1] Здесь представлен список фракталов, упорядоченных по возрастанию размерности Хаусдорфа, с целью визуализации, что значит для фрактала иметь низкую или высокую размерность.
Детерминированные фракталы
Размерность Хаусдорфа (точное значение) | Размер Хаусдорфа (прибл.) | Имя | Иллюстрация | Замечания |
---|---|---|---|---|
Рассчитано | 0,538 | Аттрактор Фейгенбаума | Аттрактор Фейгенбаума (см. Между стрелками) - это набор точек, генерируемых последовательными итерациями логистической функции для критического значения параметра., где удвоение периода бесконечно. Это измерение одинаково для любой дифференцируемой и унимодальной функции. [2] | |
0,6309 | Набор кантора | Построен путем удаления центральной трети на каждой итерации. Нигде не плотное и несчетное множество . | ||
0,6942 | Ассиметричный набор Кантора | Размер не , которое является обобщенным канторовым множеством с γ = 1/4, имеющим одинаковую длину на каждом этапе. [3] Построен путем удаления второй четверти на каждой итерации. Нигде не плотное и несчетное множество .( золотая резка ). | ||
0,69897 | Вещественные числа с четными десятичными знаками | Подобно набору Кантора . [4] | ||
0,88137 | Спектр гамильтониана Фибоначчи | Исследование спектра гамильтониана Фибоначчи доказывает верхнюю и нижнюю границы его фрактальной размерности в режиме большой связи. Эти оценки показывают, что спектр сходится к явной константе. [5] [ необходима страница ] | ||
0 | Обобщенное множество Кантора | Построен путем удаления на й итерации центральный интервал длины от каждого оставшегося сегмента (длины ). Вполучается обычное канторово множество . Различный от 0 до 1 дает любую фрактальную размерность . [6] | ||
1 | Множество Смита – Вольтерры – Кантора | Построен за счет удаления центрального промежутка длины каждого оставшегося интервала на n- й итерации. Нигде не плотно, но имеет меру Лебега 1/2. | ||
1 | Кривая Такаги или Бланманже | Определяется на единичном интервале , где - волновая функция треугольника . Частный случай кривой Такахи-Ландсберга: с участием . Размерность Хаусдорфа равна для в . (Хант, цит. По Мандельброту [7] ). | ||
Рассчитано | 1.0812 | Юля набор z² + 1/4 | Юля поставила на c = 1/4. [8] | |
Решение S из | 1.0933 | Граница фрактала Рози | Фрактальное представление динамики, связанной с морфизмом Трибоначчи, введенное Дж. Рози: , а также . [9] [ необходима страница ] [10] является одним из сопряженных корней слова . | |
1,12915 | контур острова Госпер | Термин, использованный Мандельбротом (1977). [11] Остров Госпера - это предел кривой Госпера . | ||
Измерено (подсчет коробок) | 1.2 | Набор Дендрита Юлия | Юля установила параметры: Real = 0 и Imaginary = 1. | |
1,2083 | Слово Фибоначчи фрактал 60 ° | Постройте из слова Фибоначчи . См. Также стандартный фрактал слова Фибоначчи. ( золотое сечение ). | ||
1,2108 | Граница ручного двойного дракона | Одна из шести двухповторных плиток на плоскости (может быть выложена двумя своими копиями одинакового размера). [12] [13] | ||
1,26 | Карта Энона | Каноническое отображение Энона (с параметрами a = 1,4 и b = 0,3) имеет размерность Хаусдорфа 1,261 ± 0,003. Разные параметры дают разные значения размеров. | ||
1,2619 | Triflake | Три антиснежинки расположены так, что между антиснежинками образуется коч-снежинка. | ||
1,2619 | Кривая Коха | 3 кривые Коха образуют снежинку Коха или антиснежинку. | ||
1,2619 | граница кривой Тердрагона | L-система: такая же, как кривая дракона с углом = 30 °. Fudgeflake основан на 3 начальных сегментах, помещенных в треугольник. | ||
1,2619 | 2D канторовская пыль | Установлен Кантор в 2-х измерениях. | ||
1,2619 | 2D L-система ветвь | Шаблон разветвления L-Systems с 4 новыми частями, увеличенными на 1/3. Создание паттерна с использованием статистических данных вместо точного самоподобия дает такую же фрактальную размерность. | ||
Рассчитано | 1,2683 | Юля набор z 2 - 1 | Множество Жюли при c = −1. [8] | |
1,3057 | Аполлонийская прокладка | Начиная с 3 касательных кругов, многократно упаковывая новые круги в дополнительные промежутки. Также установлен предел, порожденный отражениями в 4-х касательных друг к другу окружностях. См. [8] | ||
1,328 | 5 кругов инверсия фрактал | Множество пределов, порожденное повторными инверсиями относительно 5 касательных друг к другу окружностей (выделено красным). Также аполлоническая упаковка. См. [14] | ||
1,36521 [15] | Квадратичный остров фон Коха с использованием кривой типа 1 в качестве генератора | Также известна как колбаса Минковского | ||
Рассчитано | 1,3934 | Кролик дуади | Набор Джулии для c = −0,123 + 0,745i. [8] | |
1,4649 | Фрактал Вичека | Построен путем итеративного обмена каждого квадрата крестиком из 5 квадратов. | ||
1,4649 | Квадратичная кривая фон Коха (тип 1) | Можно распознать образец фрактала Вичека (вверху). | ||
1,4961 | Квадрический крест | Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ. | ||
1,5000 | функция Вейерштрасса : | Размерность Хаусдорфа функции Вейерштрасса определяется с участием а также является . [16] [17] | ||
1,5000 | Квадратичная кривая фон Коха (тип 2) | Также называется «колбаса Минковского». | ||
1,5236 | Граница кривой Дракона | ср. Чанг и Чжан. [18] [13] | ||
1,5236 | Граница кривой двойного дракона | Может быть построен с двумя кривыми дракона. Одна из шести двухповторных плиток на плоскости (может быть выложена двумя своими копиями одинакового размера). [12] | ||
1,5850 | 3-ветвевое дерево | Каждая ветвь имеет 3 ветви (здесь 90 ° и 60 °). Фрактальная размерность всего дерева - это фрактальная размерность конечных ветвей. NB: дерево с двумя ветвями имеет фрактальную размерность только 1. | ||
1,5850 | Треугольник Серпинского | Также треугольник Паскаля по модулю 2. | ||
1,5850 | Кривая наконечника стрелы Серпинского | Тот же предел, что и у треугольника (см. Выше), но построенный с помощью одномерной кривой. | ||
1,5850 | Граница фрактала Т-квадрат | Размерность самого фрактала (не границы) равна | ||
1,61803 | золотой дракон | Построен из двух одинаковых соотношений а также , с участием . Его размер равен так как . С участием( Золотое число ). | ||
1,6309 | Треугольник Паскаля по модулю 3 | Для треугольника по модулю k , если k простое, фрактальная размерность равна(ср. Стивен Вольфрам [19] ). | ||
1,6309 | Шестиугольник Серпинского | Построен в стиле ковра Серпинского на гексагональной сетке с шестью аналогами в соотношении 1/3. Снежинки Коха присутствует во всех масштабах. | ||
1,6379 | Фибоначчи слово фрактал | Фрактал на основе слова Фибоначчи (или последовательности Кролика) Sloane A005614. Иллюстрация: фрактальная кривая после 23 шагов ( F 23 = 28657 сегментов). [20] ( золотое сечение ). | ||
Решение | 1,6402 | Аттрактор IFS с 3 подобиями соотношений 1/3, 1/2 и 2/3 | Обобщение: при условии выполнения условия открытого множества аттрактор итерированной системы функций, состоящей из сходство соотношений , имеет размерность Хаусдорфа , решение уравнения, совпадающее с итерационной функцией евклидова фактора сжатия: . [4] | |
1,6667 | 32-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/8) | см. также: File: 32 Segment One Eighth Scale Quadric Fractal.jpg | ||
1,6826 | Треугольник Паскаля по модулю 5 | Для треугольника по модулю k , если k простое, фрактальная размерность равна(ср. Стивен Вольфрам [19] ). | ||
Измерено (подсчет коробок) | 1,7 | Аттрактор карты Икеда | Для параметров a = 1, b = 0.9, k = 0.4 и p = 6 на карте Ikeda . Он основан на модели поля взаимодействия плоских волн в оптическом кольцевом лазере. Разные параметры дают разные значения. [21] | |
1,6990 | 50-сегментный квадратичный фрактал (правило масштабирования 1/10) | Построен путем масштабирования генератора из 50 сегментов (см. Вставку) на 1/10 для каждой итерации и замены каждого сегмента предыдущей структуры масштабированной копией всего генератора. Показанная конструкция состоит из 4-х генераторных блоков и повторяется 3 раза. Фрактальная размерность теоретической структуры составляет log 50 / log 10 = 1,6990. Изображения, созданные с помощью Fractal Generator для ImageJ [22] . | ||
1,7227 | Вертушка фрактал | Построен из плитки Вертушка Конвея. | ||
1,7712 | Сфинкс фрактал | Построен с использованием шестиугольной плитки Сфинкса, удаляющей двух из девяти суб-сфинксов. [23] | ||
1,7712 | Hexaflake | Построен путем итеративного обмена каждого шестиугольника на пластинку из 7 шестиугольников. Его граница - чешуйка фон Коха и содержит бесконечное количество снежинок Коха (черных или белых). | ||
1,7712 | Фрактал HI de Rivera | Начиная с единичного квадрата, делящего его размеры на три равные части, чтобы образовать девять самоподобных квадратов с первым квадратом, два средних квадрата (тот, который находится выше, и тот, что ниже центрального квадрата) удаляются в каждом из семи квадратов, кроме исключено, процесс повторяется, так что он продолжается бесконечно. | ||
1,7848 | Кривая фон Коха 85 ° | Обобщение кривой фон Коха с углом a, выбранным от 0 до 90 °. Тогда фрактальная размерность. | ||
1,8272 | Самосогласован- аффинное фрактальное множество | Построить итеративно из массив на квадрате, с . Его размерность Хаусдорфа равна[4] с а также количество элементов в -й столбец. Размер коробки подсчета дает другую формулу, следовательно, различное значение. В отличие от самоподобных множеств, хаусдорфова размерность самоаффинных множеств зависит от положения повторяемых элементов, и пока нет формулы для общего случая. | ||
1,8617 | Пентафлейк | Построен путем итеративного обмена каждого пятиугольника на пластинку из 6 пятиугольников. ( золотое сечение ). | ||
решение | 1,8687 | Дерево обезьян | Эта кривая появилась в «Фрактальной геометрии природы» Бенуа Мандельброта (1983). Он основан на 6 сходствах соотношения и 5 сходств соотношения . [24] | |
1,8928 | Ковер Серпинского | Каждая поверхность губки Менгера представляет собой ковер Серпинского, как и нижняя поверхность трехмерной квадратичной поверхности Коха (тип 1). | ||
1,8928 | 3D пыль Кантора | Кантор установлен в 3-х измерениях. | ||
1,8928 | Декартово произведение кривой фон Коха и множества Кантора | Обобщение: Пусть F × G - декартово произведение двух фрактальных множеств F и G.Тогда . [4] Смотрите также 2D пыль Cantor и куб Cantor . | ||
где | 1,9340 | Граница кривой C Леви | По оценке Duvall and Keesling (1999). Сама кривая имеет фрактальную размерность 2. | |
2 | Плитка Пенроуза | См. Рамачандрарао, Синха и Саньял. [25] | ||
2 | Граница множества Мандельброта | Граница и само множество имеют одинаковую хаусдорфову размерность. [26] | ||
2 | Юля набор | Для определенных значений c (включая c, принадлежащую границе множества Мандельброта), множество Жюлиа имеет размерность 2. [26] | ||
2 | Кривая Серпинского | Каждая кривая Пеано, заполняющая плоскость, имеет размерность Хаусдорфа, равную 2. | ||
2 | Кривая Гильберта | |||
2 | Кривая Пеано | И семейство кривых, построенных аналогичным образом, таких как кривые Вундерлиха . | ||
2 | Кривая Мура | Может быть расширен в 3-х измерениях. | ||
2 | Кривая Лебега или кривая z-порядка | В отличие от предыдущих, эта кривая заполнения пространства дифференцируема практически везде. Другой тип может быть определен в 2D. Как и кривая Гильберта, она может быть расширена в 3D. [27] | ||
2 | Кривая дракона | А его граница имеет фрактальную размерность 1,5236270862. [28] | ||
2 | Кривая Тердрагона | L-система: F → F + F - F, угол = 120 °. | ||
2 | Кривая госпера | Его граница - остров Госпер. | ||
Решение | 2 | Кривая, заполняющая снежинку Коха | Предложенный Мандельбротом в 1982 г. [29], он заполняет снежинку Коха . Он основан на 7 подобиях соотношения 1/3 и 6 подобиях соотношения. | |
2 | Тетраэдр Серпинского | Каждый тетраэдр заменен на 4 тетраэдра. | ||
2 | H-фрактал | Также дерево Мандельброта имеет похожий образец. | ||
2 | Дерево Пифагора (фрактал) | Каждый квадрат образует два квадрата с коэффициентом уменьшения . | ||
2 | 2D греческий крест фрактал | Каждый сегмент заменяется крестом, состоящим из 4 сегментов. | ||
Измерено | 2,01 ± 0,01 | Аттрактор Рёсслера | Фрактальная размерность аттрактора Рёсслера немного больше 2. Для a = 0,1, b = 0,1 и c = 14 она оценивается между 2,01 и 2,02. [30] | |
Измерено | 2,06 ± 0,01 | Аттрактор Лоренца | Для параметров ,= 16 и . См. McGuinness (1983) [31]. | |
2 | Поверхность пирамиды | Каждый треугольник заменяется 6 треугольниками, из которых 4 идентичных треугольника образуют пирамиду на основе ромба, а оставшиеся два остаются плоскими с длиной. а также относительно треугольников пирамиды. Размерность является параметром, самопересечение происходит для значений больше 2,3. [32] | ||
2,3219 | Фрактальная пирамида | Каждая квадратная пирамида заменяется пятью квадратными пирамидами половинного размера. (В отличие от тетраэдра Серпинского, который заменяет каждую треугольную пирамиду четырьмя треугольными пирамидами половинного размера). | ||
2,3296 | Додекаэдр фрактал | Каждый додекаэдр заменен на 20 додекаэдров.( золотое сечение ). | ||
2,3347 | 3D квадратичная поверхность Коха (тип 1) | Продолжение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 1). На иллюстрации показаны первая (синий блок), вторая (плюс зеленые блоки), третья (плюс желтые блоки) и четвертая (плюс чистые блоки) итерации. | ||
2,4739 | Упаковка аполлонических сфер | Промежуток, оставленный Аполлоническими сферами. Аполлонийская прокладка в 3D. Размерность рассчитана М. Борковцом, В. Де Пари и Р. Пайкертом. [33] | ||
2,50 | 3D квадратичная поверхность Коха (тип 2) | Продолжение в 3D квадратичной кривой Коха (тип 2). На иллюстрации показана вторая итерация. | ||
2,529 | Иерусалимский куб | Итерация n состоит из 8 кубиков итерации n-1 (по углам) и 12 кубов итерации n-2 (связывание углов). Коэффициент сжатия. | ||
2,5819 | Икосаэдр фрактал | Каждый икосаэдр заменен 12 икосаэдрами.( золотое сечение ). | ||
2,5849 | 3D греческий крест фрактал | Каждый сегмент заменен крестом, состоящим из 6 сегментов. | ||
2,5849 | Октаэдр фрактал | Каждый октаэдр заменен на 6 октаэдров. | ||
2,5849 | поверхность фон Коха | Каждая равносторонняя треугольная грань разрезается на 4 равных треугольника. Взяв за основу центральный треугольник, сформируйте тетраэдр. Замените треугольное основание четырехгранным «шатром». | ||
2,7095 | Фон Кох в 3D | Начните с 6-гранного многогранника, грани которого представляют собой равнобедренные треугольники с соотношением сторон 2: 2: 3. Замените каждый многогранник на 3 копии самого себя, на 2/3 меньше. [34] | ||
2,7268 | Губка менгера | И его поверхность имеет фрактальную размерность , что такое же, как и по объему. | ||
3 | 3D кривая Гильберта | Кривая Гильберта расширена до 3-х измерений. | ||
3 | 3D кривая Лебега | Кривая Лебега расширена до 3-х измерений. | ||
3 | 3D кривая Мура | Кривая Мура расширилась до 3-х измерений. | ||
3 | 3D H-фрактал | H-фрактал расширился до 3-х измерений. [35] | ||
(предположительно) | 3 (подлежит подтверждению) | Mandelbulb | Расширение множества Мандельброта (степень 8) в трех измерениях [36] [ ненадежный источник? ] |
Случайные и естественные фракталы
Размерность Хаусдорфа (точное значение) | Размер Хаусдорфа (прибл.) | Имя | Иллюстрация | Замечания |
---|---|---|---|---|
1/2 | 0,5 | Нули винеровского процесса | Нули Винер процесса (броуновское движение) являются нигде не плотным множеством из меры Лебега 0 с фрактальной структурой. [4] [37] | |
Решение где а также | 0,7499 | случайный набор Кантора с 50% - 30% | Обобщение: на каждой итерации длина левого интервала определяется случайной величиной , переменный процент длины исходного интервала. То же для правого интервала со случайной величиной. Его хаусдорфово измерение удовлетворяет: (где это ожидаемое значение из). [4] | |
Решение | 1.144 ... | кривая фон Коха со случайным интервалом | Длина среднего интервала - случайная величина с равномерным распределением на интервале (0,1 / 3). [4] | |
Измерено | 1,22 ± 0,02 | Береговая линия Ирландии | Значения фрактальной размерности всего побережья Ирландии были определены Маккартни, Абернети и Голт [38] в Ольстерском университете и студентами теоретической физики Тринити-колледжа в Дублине под руководством С. Хатцлера. [39] Обратите внимание на заметные различия между неровным западным побережьем Ирландии (фрактальная размерность около 1,26) и более гладким восточным побережьем (фрактальная размерность 1,10) [39] | |
Измерено | 1,25 | Береговая линия Великобритании | Фрактальное измерение западного побережья Великобритании, измеренное Льюисом Фри Ричардсоном и приведенное Бенуа Мандельбротом . [40] | |
1,2619 | кривая фон Коха со случайной ориентацией | Здесь вводится элемент случайности, который не влияет на размерность, выбирая на каждой итерации расположение равностороннего треугольника выше или ниже кривой. [4] | ||
1,333 | Граница броуновского движения | (ср. Мандельброт, Лоулер , Шрамм , Вернер ). [41] | ||
1,333 | 2D полимер | Подобно броуновскому движению в 2D с несамопересечением. [42] | ||
1,333 | Фронт перколяции в 2D , фронт коррозии в 2D | Фрактальная размерность фронта проникновения через проникновение (доступный периметр) на пороге перколяции (59,3%). Это также фрактальная размерность фронта остановленной коррозии. [42] | ||
1,40 | Кластеры кластеров 2D | При ограничении диффузией кластеры постепенно объединяются в уникальный кластер размером 1,4. [42] | ||
1.5 | График регулярной броуновской функции ( винеровский процесс ) | График функции так что для любых двух положительных вещественных чисел а также , разница их изображений имеет центрированное гауссово распределение с дисперсией . Обобщение: дробное броуновское движение индекса. следует тому же определению, но с вариацией , в этом случае его хаусдорфова размерность . [4] | ||
Измерено | 1,52 | Береговая линия Норвегии | См. J. Feder. [43] | |
Измерено | 1,55 | Случайное блуждание без самопересечения | Самоисключающееся случайное блуждание в квадратной решетке с подпрограммой «возврата» для избежания тупиков. | |
1,66 | 3D полимер | Подобно броуновскому движению в кубической решетке, но без самопересечения. [42] | ||
1,70 | Кластер 2D DLA | В двух измерениях кластеры, образованные агрегацией, ограниченной диффузией, имеют фрактальную размерность около 1,70. [42] | ||
1,7381 | Фрактальная перколяция с вероятностью 75% | Модель фрактальной перколяции строится путем постепенной замены каждого квадрата квадратом. сетка, в которую помещается случайный набор подквадратов, причем каждый подквадрат сохраняется с вероятностью p . "Почти уверенная" размерность Хаусдорфа равна. [4] | ||
7/4 | 1,75 | Корпус 2D перколяционного кластера | Оболочка или граница перколяционного кластера. Также может быть порожден обходом, порождающим корпус, [44] или Schramm-Loewner Evolution. | |
1,8958 | 2D перколяционный кластер | В квадратной решетке ниже порога перколяции сайтов (59,3%) кластер перколяции вторжением имеет фрактальную размерность 91/48. [42] [45] За пределами этого порога кластер бесконечен, и 91/48 становится фрактальным измерением «просветов». | ||
2 | Броуновское движение | Или случайное блуждание. Размерность Хаусдорфа равна 2 в 2D, в 3D и во всех больших измерениях (К. Фальконер «Геометрия фрактальных множеств»). | ||
Измерено | Около 2 | Распределение скоплений галактик | По результатам исследования Sloan Digital Sky Survey 2005 года. [46] | |
2,5 | Шары из мятой бумаги | При смятии листов разных размеров, но сделанных из одного и того же типа бумаги и с одинаковым соотношением сторон (например, разных размеров в серии ISO 216 A), диаметр полученных таким образом шариков увеличивается до нецелого показателя степени между 2 и 3 будут приблизительно пропорциональны площади листов, из которых сделаны шары. [47] Складки будут образовываться во всех масштабах (см. Универсальность (динамические системы) ). | ||
2,50 | Кластер 3D DLA | В трехмерном пространстве кластеры, образованные агрегацией, ограниченной диффузией, имеют фрактальную размерность около 2,50. [42] | ||
2,50 | Фигура Лихтенберга | Их появление и рост, по-видимому, связаны с процессом агрегации, ограниченной диффузией, или DLA. [42] | ||
2,5 | правильная броуновская поверхность | Функция , дает высоту точки такой, что для двух заданных положительных приращений а также , тогда имеет центрированное гауссово распределение с дисперсией = . Обобщение: дробная броуновская поверхность индекса следует тому же определению, но с вариацией , в этом случае его хаусдорфова размерность . [4] | ||
Измерено | 2,52 | 3D перколяционный кластер | В кубической решетке на пороге перколяции узлов (31,1%) кластер трехмерной перколяции вторжением имеет фрактальную размерность около 2,52. [45] За пределами этого порога кластер бесконечен. | |
Измерено и рассчитано | ~ 2,7 | Поверхность брокколи | Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и анализ поперечного сечения брокколи, чтобы прийти к выводу, что фрактальная размерность брокколи составляет ~ 2,7. [48] | |
2,79 | Поверхность человеческого мозга | [49] [ неудачная проверка ] | ||
Измерено и рассчитано | ~ 2,8 | Цветная капуста | Сан-Хун Ким использовал метод прямого сканирования и математический анализ поперечного сечения цветной капусты, чтобы сделать вывод, что фрактальная размерность составляет ~ 2,8. [48] | |
2,97 | Поверхность легких | Альвеолы легкого образуют фрактальную поверхность, близкую к 3. [42] | ||
Рассчитано | Мультипликативный каскад | Это пример мультифрактального распределения. Однако, выбирая его параметры определенным образом, мы можем заставить распределение стать монофракталом. [50] [ требуется полная ссылка ] |
Смотрите также
- Фрактальное измерение
- Хаусдорфово измерение
- Масштабная инвариантность
Примечания и ссылки
- Перейти ↑ Mandelbrot 1982 , p. 15
- ^ Aurell, Erik (май 1987). «О метрических свойствах аттрактора Фейгенбаума». Журнал статистической физики . 47 (3–4): 439–458. Bibcode : 1987JSP .... 47..439A . DOI : 10.1007 / BF01007519 . S2CID 122213380 .
- ^ Цанг, KY (1986). «Аналитически определенная размерность странных аттракторов». Phys. Rev. Lett . 57 (12): 1390–1393. Bibcode : 1986PhRvL..57.1390T . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.57.1390 . PMID 10033437 .
- ^ Б с д е е г ч я J K Фалконер, Кеннет (1990–2003). Фрактальная геометрия: математические основы и приложения . John Wiley & Sons, Ltd. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
- ^ Даманик, Д .; Embree, M .; Городецкий, А .; Черемчанце, С. (2008). «Фрактальная размерность спектра гамильтониана Фибоначчи». Commun. Математика. Phys . 280 (2): 499–516. arXiv : 0705.0338 . Bibcode : 2008CMaPh.280..499D . DOI : 10.1007 / s00220-008-0451-3 . S2CID 12245755 .
- ^ Черный, А.Ю .; Анитас, EM; Куклин А.И.; Balasoiu, M .; Осипов, В.А. (2010). «Рассеяние на обобщенных канторовских фракталах». J. Appl. Кристаллогр . 43 (4): 790–7. arXiv : 0911.2497 . DOI : 10.1107 / S0021889810014184 . S2CID 94779870 .
- ^ Мандельброт, Бенуа (2002). Гауссова самоаффинность и фракталы . ISBN 978-0-387-98993-8.
- ^ a b c d Макмаллен, Кертис Т. (3 октября 1997 г.). « Хаусдорфова размерность и конформная динамика III: вычисление размерности », Abel.Math.Harvard.edu . Доступ: 27 октября 2018 г.
- ^ Мессауди, Али. Frontième de numération complexe ", matwbn.icm.edu.pl . (На французском языке) Доступ: 27 октября 2018 г.
- ^ Лотэр, М. (2005), Прикладная комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, 105 , Cambridge University Press , стр. 525 , ISBN 978-0-521-84802-2, Руководство по ремонту 2165687 , Zbl 1133.68067
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Остров Госпер" . MathWorld . Проверено 27 октября 2018 года .
- ^ а б Нгаи, Сирвент, Вирман и Ван (октябрь 2000 г.). " On 2-Reptiles in the Plane 1999 ", Geometriae Dedicata , Volume 82. Доступ: 29 октября 2018 г.
- ^ a b Дуда, Ярек (март 2011 г.). « Граница периодических систем с итерационными функциями », Wolfram.com .
- ↑ Чанг, Ангел и Чжан, Тяньжун. «О фрактальной структуре границы кривой дракона» . Архивировано 14 июня 2011 года . Проверено 9 февраля 2019 .CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка ) pdf
- Перейти ↑ Mandelbrot, BB (1983). Фрактальная геометрия природы , с.48. Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 9780716711865 . Цитируется в:Вайсштейн, Эрик В. "Колбаса Минковского" . MathWorld . Проверено 22 сентября 2019 .
- ^ Шен, Вэйсяо (2018). «Хаусдорфова размерность графиков классических функций Вейерштрасса». Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . DOI : 10.1007 / s00209-017-1949-1 . ISSN 0025-5874 . S2CID 118844077 .
- ^ Н. Чжан. Хаусдорфова размерность графиков фрактальных функций. (На китайском языке). Магистерская диссертация. Чжэцзянский университет, 2018.
- ^ Фрактальная размерность границы фрактала дракона
- ^ a b Фрактальная размерность треугольника Паскаля по модулю k
- ^ Слово Фибоначчи фрактал
- ^ Тейлер, Джеймс (1990). «Оценка фрактальной размерности» (PDF) . J. Opt. Soc. Являюсь. . 7 (6): 1055–73. Bibcode : 1990JOSAA ... 7.1055T . DOI : 10.1364 / JOSAA.7.001055 .
- ↑ Fractal Generator для ImageJ. Архивировано 20 марта 2012 года в Wayback Machine .
- ^ В. Трамп, Г. Хубер, К. Кнехт, Р. Зифф, будут опубликованы
- ^ Кривой Monkeys дерева фрактальной архивация 21 сентября 2002 в archive.today
- ^ Фрактальная размерность мозаики Пенроуза
- ^ а б Шишикура, Мицухиро (1991). «Хаусдорфова размерность границы множества Мандельброта и множеств Жюлиа». arXiv : математика / 9201282 .
- ^ Варианты кривой Лебега
- ^ Дуда, Ярек (2008). «Сложные основные системы счисления». arXiv : 0712.1309v3 [ math.DS ].
- ^ Сеуил (1982). Penser les mathématiques . ISBN 2-02-006061-2.
- ^ Фракталы и аттрактор Рёсслера
- ^ МакГиннесс, MJ (1983). «Фрактальная размерность аттрактора Лоренца». Письма по физике . 99А (1): 5–9. Bibcode : 1983PhLA ... 99 .... 5M . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (83) 90052-X .
- ^ Лоу, Томас (24 октября 2016 г.). «Поверхности трех переменных размеров» . ResearchGate .
- ↑ Фрактальное измерение упаковки аполлонических сфер. Архивировано 6 мая 2016 года в Wayback Machine.
- ^ [1]
- ^ Hou, B .; Xie, H .; Wen, W .; Шэн, П. (2008). «Трехмерные металлические фракталы и их характеристики фотонных кристаллов» (PDF) . Phys. Rev. B . 77 (12): 125113. Bibcode : 2008PhRvB..77l5113H . DOI : 10.1103 / PhysRevB.77.125113 .
- ^ Измерение Хаусдорфа Мандельбульба
- ^ Петер Мёртерс, Юваль Перес, Одед Шрамм, «Броуновское движение», Cambridge University Press, 2010
- ^ Маккартни, Марк; Абернетия, Гэвин; Гальта, Лиза (24 июня 2010 г.). «Разделительное измерение ирландского побережья». Ирландская география . 43 (3): 277–284. DOI : 10.1080 / 00750778.2011.582632 .
- ^ а б Хутцлер, С. (2013). «Фрактальная Ирландия» . Science Spin . 58 : 19–20 . Проверено 15 ноября +2016 .(См. Страницу содержания , заархивировано 26 июля 2013 г.)
- ^ Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность , Б. Мандельброт
- ^ Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед; Вернер, Венделин (2001). «Размерность плоской броуновской границы составляет 4/3». Математика. Res. Lett . 8 (4): 401–411. arXiv : математика / 0010165 . Bibcode : 2000math ..... 10165L . DOI : 10.4310 / MRL.2001.v8.n4.a1 . S2CID 5877745 .
- ^ Б с д е е г ч I Саповал, Бернард (2001). Universalités et фракталы . Фламмарион-Champs. ISBN 2-08-081466-4.
- Перейти ↑ Feder, J., «Fractals», Plenum Press, New York, (1988).
- ^ Прогулки с генерацией корпуса
- ^ а б М. Сахини; М. Сахими (2003). Приложения теории перколяции . CRC Press. ISBN 978-0-203-22153-2.
- ^ Основные свойства кластеризации галактик в свете недавних результатов Sloan Digital Sky Survey
- ^ «Отношения степенного закона» . Йель. Архивировано из оригинального 28 июня 2010 года . Проверено 29 июля 2010 года . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ а б Ким, Сан-Хун (2 февраля 2008 г.). «Фрактальные размеры зеленой брокколи и белой цветной капусты». arXiv : cond-mat / 0411597 .
- ^ Фрактальное измерение поверхности человеческого мозга
- ^ [Микин (1987)]
дальнейшее чтение
- Мандельброт, Бенуа (1982). Фрактальная геометрия природы . WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
- Пайтген, Хайнц-Отто (1988). Saupe, Дитмар (ред.). Наука о фрактальных изображениях . Springer Verlag. ISBN 0-387-96608-0.
- Барнсли, Майкл Ф. (1 января 1993 г.). Фракталы везде . Морган Кауфманн. ISBN 0-12-079061-0.
- Саповал, Бернард; Мандельброт, Бенуа Б. (2001). Universalités et фракталы: jeux d'enfant ou délits d'initié? . Фламмарион-Champs. ISBN 2-08-081466-4.
Внешние ссылки
- Фракталы в Mathworld
- Другие фракталы на сайте Поля Бурка
- Галерея Солера
- Фракталы на mathcurve.com
- 1000fractales.free.fr - Проект по сбору фракталов, созданных с помощью различного программного обеспечения
- Фракталы развязаны
- IFStile - программа, которая вычисляет размер границы самоаффинных плиток.