Функция Бланманже определяется на единичном интервале соотношением
где это треугольная волна , определяемая, это, расстояние от x до ближайшего целого числа .
Кривая Такаги – Ландсберга представляет собой небольшое обобщение, представленное формулой
для параметра ; таким образом, кривая Бланманже имеет место. Значениеизвестен как параметр Херста .
Функцию можно распространить на всю реальную строку: применение приведенного выше определения показывает, что функция повторяется на каждом единичном интервале.
Функция также может быть определена рядом в разделе «Разложение в ряд Фурье» .
Определение функционального уравнения
Периодическая версия кривой Такаги также может быть определена как единственное ограниченное решение к функциональному уравнению
- .
Действительно, функция Бланманже заведомо ограничен и решает функциональное уравнение, так как
- .
Наоборот, если является ограниченным решением функционального уравнения, повторяя равенство, имеющееся для любого N
- , для
откуда . Между прочим, приведенные выше функциональные уравнения имеют бесконечно много непрерывных, неограниченных решений, например
Графическое построение
Кривая Бланманже может быть визуально построена из волновых функций треугольника, если бесконечная сумма аппроксимирована конечными суммами первых нескольких членов. На рисунке ниже к кривой на каждом этапе добавляются все более мелкие треугольные функции (показаны красным).
Конвергенция и преемственность
Бесконечная сумма, определяющая сходится абсолютно для всех: поскольку для всех , у нас есть:
- если .
Следовательно, кривая Такаги параметра определяется на единичном интервале (или ) если .
Функция Такаги параметра является непрерывным . Действительно, функции определяется частичными суммами непрерывны и равномерно сходятся к, поскольку:
- для всех x, когда .
Это значение можно сделать сколь угодно маленьким, выбрав достаточно большое значение n . Следовательно, по теореме равномерной предельной ,непрерывно, если | ш | <1.
Субаддитивность
Поскольку абсолютное значение является субаддитивной функцией, функция, и его расширения ; поскольку положительные линейные комбинации и точечные пределы субаддитивных функций являются субаддитивными, функция Такаги субаддитивна для любого значения параметра.
Частный случай параболы
Для , получаем параболу : построение параболы по срединному делению было описано Архимедом .
Дифференцируемость
Для значений параметра функция Такаги дифференцируема в классическом смысле при любом что не является диадическим рациональным . А именно, выводом под знаком ряда для любого недиадического рационального можно найти
где это последовательность двоичных цифр в разложении по основанию 2, это, . Более того, для этих значений функция является липшицевым постоянным. В частности, за особую ценность можно найти для любого недиадического рационального , согласно упомянутому
Для функция бланманже она не имеет ограниченной вариации ни на каком непустом открытом множестве; оно даже не локально липшицево, но квазилипшицево, действительно, допускает функциюкак модуль непрерывности .
Разложение в ряд Фурье
Функция Такаги-Ландсберга допускает абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье:
с участием и для
где максимальная мощность что разделяет . Действительно, указанная выше треугольная волна имеет абсолютно сходящееся разложение в ряд Фурье
Абсолютной сходимостью можно переупорядочить соответствующий двойной ряд для :
положить дает указанный выше ряд Фурье для
Самоподобие
Рекурсивное определение позволяет моноид самозахватов симметрии кривой будет дано. Этот моноид задается двумя образующими, g и r , которые действуют на кривую (ограниченную единичным интервалом) как
а также
- .
Тогда общий элемент моноида имеет вид для некоторых целых чисел Это действует на кривую как линейную функцию :для некоторых констант a , b и c . Поскольку действие является линейным, его можно описать в терминах векторного пространства с базисом векторного пространства :
В этом представлении действие g и r задается формулами
а также
То есть действие общего элемента отображает кривую Бланманже на единичном интервале [0,1] в подинтервал для некоторых целых чисел m , n , p . Отображение задается в точности формулойгде значения a , b и c могут быть получены непосредственно путем умножения вышеуказанных матриц. Это:
Обратите внимание, что немедленно.
Моноид, порожденный g и r , иногда называют диадическим моноидом ; это подмоноид модульной группы . При обсуждении модульной группы более распространенными обозначениями для g и r являются T и S , но это обозначение конфликтует с используемыми здесь символами.
Вышеупомянутое трехмерное представление - лишь одно из многих представлений, которые оно может иметь; это показывает, что кривая Бланманже является одной из возможных реализаций действия. То есть есть представления для любого измерения, а не только для 3; некоторые из них дают кривые де Рама .
Учитывая, что интеграл от от 0 до 1 равно 1/2, тождество позволяет вычислить интеграл по любому интервалу по следующему соотношению. Вычисление является рекурсивным, и время вычислений порядка log требуемой точности. Определение
у одного есть это
Определенный интеграл определяется по формуле:
Более общее выражение можно получить, определив
что в сочетании с представлением в виде ряда дает
Обратите внимание, что
Этот интеграл также является самоподобным на единичном интервале под действием диадического моноида, описанного в разделе « Самоподобие» . Здесь представление четырехмерное, имеющее основу. Перепишите вышесказанное, чтобы прояснить действие g : на единичном интервале
- .
Отсюда можно сразу же считать генераторы четырехмерного представления:
а также
Повторяющиеся интегралы преобразуются в 5,6, ... мерном представлении.
Позволять
Определите функцию Крускала – Катоны
Теорема Крускала – Катона утверждает, что это минимальное количество ( t - 1) -симплексов, которые являются гранями набора из N t -симплексов.
Когда t и N стремятся к бесконечности, (подходящим образом нормализованный) приближается к кривой Бланманже.