В математике две величины находятся в золотом сечении, если их соотношение совпадает с отношением их суммы к большей из двух величин. Выражаясь алгебраически, для величин a и b с a > b > 0
где греческая буква фи ( или же ) представляет собой золотое сечение. [1] [a] Это иррациональное число, которое является решением квадратного уравнения , со значением:
Золотое сечение также называют золотой серединой или золотым сечением ( лат . Sectio aurea ). [4] [5] Другие названия включают крайнее и среднее отношение , [6] срединный разрез , божественную пропорцию (латинское: proportio divina ), [7] божественное сечение (латинское: sectio divina ), золотую пропорцию , золотую резку , [8] и золотой номер . [9] [10] [11]
Математики со времен Евклида изучали свойства золотого сечения, в том числе его появление в размерах правильного пятиугольника и золотого прямоугольника , который можно разрезать на квадрат и меньший прямоугольник с тем же соотношением сторон . Золотое сечение также использовалось для анализа пропорций природных объектов, а также искусственных систем, таких как финансовые рынки , в некоторых случаях на основе сомнительного соответствия данным. [12] Золотое сечение проявляется в некоторых узорах в природе , в том числе в спиралевидном расположении листьев и других частей растений.
Некоторые художники и архитекторы двадцатого века , в том числе Ле Корбюзье и Сальвадор Дали , составили пропорции своих работ, приближенные к золотому сечению, полагая, что это эстетично . Они часто появляются в форме золотого прямоугольника , в котором отношение длинной стороны к короткой является золотым сечением.
Расчет
Двоичный | 1.1001 1110 0011 0111 0111 ... |
Десятичный | 1,618 033 988 749 894 ... [3] |
Шестнадцатеричный | 1.9E37 79B9 7F4A 7C15 ... |
Непрерывная дробь | |
Алгебраическая форма |
Говорят, что две величины a и b находятся в золотом сечении φ, если
- [1]
Один из способов найти значение φ - начать с левой дроби. Упростив дробь и подставив в b / a = 1 / φ ,
Следовательно,
Умножение на φ дает
который может быть преобразован в
Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем два решения:
- а также
Поскольку φ - это отношение положительных величин, φ обязательно положительно:
- φ =1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 818 902 449 707 207 204 189 391 1374 ....
История
По словам Марио Ливио ,
Некоторые из величайших математических умов всех времен, от Пифагора и Евклида в Древней Греции , до средневекового итальянского математика Леонардо Пизанского и астронома эпохи Возрождения Иоганна Кеплера , до современных ученых, таких как оксфордский физик Роджер Пенроуз , провели бесконечные часы. над этим простым соотношением и его свойствами. ... Биологи, художники, музыканты, историки, архитекторы, психологи и даже мистики размышляли и обсуждали причины его повсеместности и привлекательности. Фактически, будет справедливо сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей всех дисциплин, как никакое другое число в истории математики. [14]
- Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире
Древнегреческие математики первыми изучали то, что мы теперь называем золотым сечением из-за его частого появления в геометрии ; [15] разделение линии на «крайнее и среднее отношение» (золотое сечение) важно в геометрии правильных пентаграмм и пятиугольников . [16] Согласно одной истории, математик V века до нашей эры Гиппас обнаружил, что золотое сечение не является ни целым числом, ни дробью ( иррациональным числом ), что удивило пифагорейцев . [17] Евклида «ы элементы ( . С 300 г. до н.э. ) предоставляет несколько предложений и их доказательства , использующие золотое сечение, [18] [б] и содержит первое известное определение , которое протекает следующим образом : [19]
Говорят, что прямая линия разрезана в крайнем и среднем соотношении, когда, как вся линия относится к большему сегменту, так и больше к меньшему. [20] [c]
Золотое сечение периферийно изучалось в течение следующего тысячелетия. Абу Камиль (ок. 850–930) использовал его в своих геометрических вычислениях пятиугольников и декагонов; его труды повлияли на сочинения Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (ок. 1170–1250), который использовал соотношение в связанных задачах геометрии, хотя никогда не связывал его с серией чисел, названной в его честь . [22]
Лука Пачоли назвал свою книгу Divina пропорционально ( 1509 ) в честь соотношения и исследовал его свойства, включая его появление в некоторых Платоновых телах . [11] [23] Леонардо да Винчи , иллюстрировавший вышеупомянутую книгу, назвал это соотношение sectio aurea («золотое сечение»). [24] Математики 16-го века, такие как Рафаэль Бомбелли, решали геометрические задачи, используя соотношение. [25]
Немецкий математик Саймон Якоб (ум. 1564) заметил, что последовательные числа Фибоначчи сходятся к золотому сечению ; [26] это была вновь открыта Иоганном Кеплером в 1608. [27] Первое известное десятичное приближение (обратной) золотое сечение было указано , как «о 0,6180340» в 1597 году по Мёстлин из Университета Тюбингена в письме к Кеплеру, его бывшая ученица. [28] В том же году Кеплер написал Маэстлину о треугольнике Кеплера , который сочетает в себе золотое сечение с теоремой Пифагора . Кеплер сказал об этом:
У геометрии есть два великих сокровища: одно - это теорема Пифагора, второе - деление прямой на крайнее и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе - драгоценным камнем. [7]
Математики 18-го века Абрахам де Муавр , Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер использовали формулу, основанную на золотом сечении, которая находит значение числа Фибоначчи на основе его расположения в последовательности; в 1843 году она была заново открыта Жаком Филиппом Мари Бине , в честь которого она была названа «формулой Бине». [29] Мартин Ом впервые использовал немецкий термин goldener Schnitt («золотое сечение») для описания соотношения в 1835 году. [30] Джеймс Салли использовал эквивалентный английский термин в 1875 году. [31]
К 1910 году математик Марк Барр начал использовать греческую букву Фи ( φ ) в качестве символа золотого сечения. [32] [d] Он также был представлен тау ( τ ), первой буквой древнегреческого τομή («разрез» или «разрез»). [35] [36]
Между 1973 и 1974 годами Роджер Пенроуз разработал мозаику Пенроуза , шаблон, связанный с золотым сечением как в соотношении площадей двух ромбических плиток, так и в их относительной частоте в шаблоне. [37] Это привело к открытию Дэном Шехтманом в начале 1980-х квазикристаллов , [38] [39] некоторые из которых обладают икосаэдрической симметрией . [40] [41]
Приложения и наблюдения
Архитектура
Швейцарский архитектор Ле Корбюзье , известный своим вкладом в современный международный стиль , сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорций. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и рядами Фибоначчи, которые он описал как «ритмы, очевидные для глаза и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в основе человеческая деятельность. Они звучат в человеке органической неизбежностью, той же прекрасной неизбежностью, которая заставляет детей, стариков, дикарей и ученых вычеркивать Золотое сечение ». [42] [43]
Ле Корбюзье явно использовал золотое сечение в его модулера системе для масштаба в архитектурной пропорции . Он рассматривал эту систему как продолжение давних традиций Витрувия , « Витрувианского человека » Леонардо да Винчи , работы Леона Баттисты Альберти и других, которые использовали пропорции человеческого тела для улучшения внешнего вида и функциональности архитектуры .
В дополнение к золотому сечению Ле Корбюзье основал систему на человеческих измерениях , числах Фибоначчи и двойной единице. Он довел предположение о золотом сечении в человеческих пропорциях до крайности: он разделил высоту своей модели человеческого тела на уровне пупка двумя частями в золотом сечении, затем разделил эти части в золотом сечении на коленях и горле; он использовал эти пропорции золотого сечения в системе Modulor . Вилла Штайн в Гарше, построенная Ле Корбюзье в 1927 году, стала примером применения системы Modulor. Прямоугольный план, фасад и внутренняя структура виллы очень похожи на золотые прямоугольники. [44]
Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта , основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Ориглио , золотое сечение - это соотношение между центральной и боковыми частями дома. [45]
Изобразительное искусство
Divina Proportione ( Божественная пропорция ), трехтомный работают по Лука Пачоли , был опубликован в 1509 Пачоли, в францисканский монах , был известеносновном как математик, но он также был обучен и остро заинтересованы в искусстве. Divina пропорционально исследовала математику золотого сечения. Хотя часто говорят, что Пачоли защищал применение золотого сечения для получения приятных, гармоничных пропорций, Ливио указывает, что интерпретация была прослежена до ошибки в 1799 году, и что Пачоли фактически выступал за Витрувианскую систему рациональных пропорций. [46] Пачоли также видел католическое религиозное значение в соотношении, которое привело к названию его работы.
Леонардо да Винчи иллюстрации «х многогранники в Divina Proportione [47] привели некоторые полагают , что он включил золотое сечение в своих картинах. Но предположение, что его Мона Лиза , например, использует пропорции золотого сечения, не подтверждается собственными трудами Леонардо. [48] Точно так же, хотя Витрувианский Человек часто показан в связи с золотым сечением, пропорции фигуры на самом деле не соответствуют ему, и в тексте упоминаются только отношения целых чисел. [49] [50]
Сальвадор Дали , под влиянием произведений Матила Гика , [51] явно использовал золотое сечение в его шедевре, таинстве Тайной вечери . Размеры полотна - золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр в перспективе, края которого кажутся друг другу в золотом сечении, подвешен над Иисусом и позади него и доминирует в композиции. [48] [52]
Статистическое исследование 565 произведений искусства разных великих художников, проведенное в 1999 году, показало, что эти художники не использовали золотое сечение в размере своих полотен. Исследование пришло к выводу, что среднее соотношение двух сторон изученных картин составляет 1,34, при этом средние значения для отдельных художников варьируются от 1,04 (Гойя) до 1,46 (Беллини). [53] С другой стороны, Пабло Тосто перечислил более 350 работ известных художников, в том числе более 100 работ с холстами с золотым прямоугольником и пропорциями корень-5, а также другие с такими пропорциями, как корень-2, 3, 4 и 6. [54]
Книги и дизайн
По словам Яна Чихольда ,
Было время, когда отклонения от действительно красивых пропорций страницы 2: 3, 1: √3 и золотого сечения были редкостью. Многие книги, выпущенные между 1550 и 1770 годами, демонстрируют именно эти пропорции с точностью до полмиллиметра. [56]
Согласно некоторым источникам, золотое сечение используется в повседневном дизайне, например, в пропорциях игральных карт, открыток, плакатов, пластин переключателя света и широкоэкранных телевизоров. [57] [58] [59] [60]
Музыка
Ernő Lendvai анализирует Бела Барток работы «s как основанные на двух противоположных систем, что золотой пропорции и акустической шкалы , [61] , хотя другие музыкальные ученые отвергают этот анализ. [62] Французский композитор Эрик Сати использовал золотое сечение в нескольких своих произведениях, в том числе « Sonneries de la Rose + Croix» . Золотое сечение также очевидно в организации разделов в музыке Дебюсси « Reflets dans l'eau» («Отражения в воде») из « Изображений» (1-я серия, 1905 г.), в которых «последовательность клавиш обозначена интервалы 34, 21, 13 и 8, а основная кульминация приходится на позицию фи ". [63]
Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы Ла Мер Дебюсси точно соответствуют золотому сечению. [64] Трезизе считает внутреннее свидетельство «замечательным», но предупреждает, что никакие письменные или зарегистрированные свидетельства не предполагают, что Дебюсси сознательно стремился к таким масштабам. [65]
Хотя Хайнц Болен предложил шкалу 833 цента без повторения октавы, основанную на комбинационных тонах , в настройке есть отношения, основанные на золотом сечении. В качестве музыкального интервала соотношение 1,618 ... составляет 833,090 ... центов (Играть ( помощь · информация ) ). [66]
Природа
Иоганн Кеплер писал, что «образ мужчины и женщины проистекает из божественной пропорции. На мой взгляд, размножение растений и потомство животных находятся в одном соотношении». [67]
Психолог Адольф Цейзинг заметил, что золотое сечение появилось в филлотаксисе, и на основании этих закономерностей в природе утверждал, что золотое сечение является универсальным законом. [68] [69] Цейзинг написал в 1854 году универсальный ортогенетический закон «стремления к красоте и полноте в царствах как природы, так и искусства». [70]
В 2010 году журнал Science сообщил, что золотое сечение присутствует на атомном уровне в магнитном резонансе спинов в кристаллах ниобата кобальта. [71]
Однако некоторые утверждали, что многие очевидные проявления золотого сечения в природе, особенно в отношении размеров животных, являются вымышленными. [72]
Оптимизация
Золотое сечение - важнейший элемент поиска золотого сечения .
Математика
Иррациональность
Золотое сечение - это иррациональное число . Ниже приведены два коротких доказательства иррациональности:
Противоречие от выражения в низших терминах
Напомним, что:
- целое - это более длинная часть плюс более короткая часть;
- целое относится к более длинной части, а более длинная - к более короткой.
Если мы назовем все n и более длинную часть m , то второе утверждение выше станет
- n для m, как m для n - m ,
или, алгебраически
Сказать, что золотое сечение φ рационально, означает, что φ является дробью n / m, где n и m - целые числа. Мы можем принять n / m как наименьшие, а n и m положительные. Но если n / m находится в младших членах, то тождество, помеченное (*) выше, говорит, что m / ( n - m ) находится в еще более низких терминах. Противоречие следует из предположения о рациональности φ .
По иррациональности √ 5
Другое короткое доказательство - возможно, более широко известное - иррациональности золотого сечения использует замыкание рациональных чисел при сложении и умножении. Если рационально, то также рационально, что является противоречием, если уже известно, что квадратный корень из неквадратного натурального числа иррационален.
Минимальный многочлен
Золотое сечение - это также алгебраическое число и даже целое алгебраическое число . Он имеет минимальный многочлен
Имея степень 2, этот многочлен на самом деле имеет два корня, второй из которых является сопряженным золотым сечением.
Конъюгат золотого сечения
Сопряженный корень минимального многочлена x 2 - x - 1 равен
Абсолютное значение этой величины (≈ 0,618) соответствует соотношению длин, взятому в обратном порядке (меньшая длина сегмента по сравнению с большей длиной сегмента, b / a ), и иногда его называют конъюгатом золотого сечения [13] или серебряным сечением . [e] [73] Здесь он обозначается заглавной буквой Phi ():
В качестве альтернативы, можно выразить как
Это иллюстрирует уникальное свойство золотого сечения среди положительных чисел, которое
или его обратное:
Это означает 0,618033 ...: 1 = 1: 1,618033 ....
Альтернативные формы
Формулу φ = 1 + 1 / φ можно рекурсивно расширить, чтобы получить непрерывную дробь для золотого сечения: [74]
и его обратное:
В дроби этих непрерывных дробей (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ..., или 1/1, 1/2, 2/3, 3 / 5, 5/8, 8/13, ...) - отношения последовательных чисел Фибоначчи .
Уравнение φ 2 = 1 + φ также дает непрерывный квадратный корень :
Можно вывести бесконечный ряд для выражения φ : [75]
Также:
Это соответствует тому факту, что длина диагонали правильного пятиугольника в φ раз больше длины его стороны, и аналогичным соотношениям в пентаграмме .
Геометрия
Число φ часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пятиугольной симметрией . Длина регулярного пятиугольника «s диагонали в ф раз его сторона. Вершины правильного икосаэдра - это вершины трех взаимно ортогональных золотых прямоугольников.
Не существует известного общего алгоритма для равномерного размещения заданного числа узлов на сфере для любого из нескольких определений четного распределения (см., Например, проблему Томсона или проблему Таммеса ). Однако полезное приближение получается из разделения сферы на параллельные полосы с равной площадью поверхности и размещения одного узла в каждой полосе на долготах, разделенных золотым сечением круга, то есть 360 ° / φ 222,5 °. Этот метод был использован для расстановки 1500 зеркал студенческого спутника Starshine-3 . [76]
Разделение отрезка на внутреннее деление
- Имея отрезок AB, постройте перпендикуляр BC в точке B так, чтобы BC составлял половину длины AB. Нарисуйте гипотенузу AC.
- Нарисуйте дугу с центром C и радиусом BC. Эта дуга пересекает гипотенузу AC в точке D.
- Нарисуйте дугу с центром A и радиусом AD. Эта дуга пересекает исходный отрезок AB в точке S. Точка S делит исходный отрезок AB на отрезки AS и SB с длинами в золотом сечении.
Разделение линейного сегмента внешним делением
- Проведите отрезок AS и постройте от точки S отрезок SC, перпендикулярный AS, такой же длины, как AS.
- Разделите пополам отрезок AS с M.
- Дуга окружности вокруг M с радиусом MC пересекает в точке B прямую, проходящую через точки A и S (также известную как продолжение AS). Отношение AS к построенному сегменту SB - это золотое сечение.
Примеры применения вы можете увидеть в статьях Пентагон с заданной длиной стороны , Десятиугольник с заданной описанной окружностью и Десятиугольник с заданной длиной стороны .
Оба приведенных выше различных алгоритма создают геометрические конструкции, которые определяют два выровненных отрезка линии, где соотношение более длинного и более короткого является золотым сечением.
Золотой треугольник, пятиугольник и пентаграмма
Золотой треугольник
Золотой треугольник можно охарактеризовать как равнобедренный треугольник АВС с тем свойством , что биссектриса угла C производит новый треугольник CXB который является похож треугольником с оригиналом.
Если угол BCX = α, то XCA = α из-за деления пополам и CAB = α из-за подобных треугольников; ABC = 2α из исходной равнобедренной симметрии и BXC = 2α по подобию. Сумма углов в треугольнике составляет 180 °, поэтому 5α = 180, что дает α = 36 °. Таким образом, углы золотого треугольника составляют 36 ° -72 ° -72 °. Углы оставшегося тупого равнобедренного треугольника AXC (иногда называемого золотым гномоном) составляют 36 ° -36 ° -108 °.
Предположим, что XB имеет длину 1, и мы называем BC длиной φ . Из-за равнобедренных треугольников XC = XA и BC = XC, это тоже длина φ. Длина AC = AB, следовательно, равна φ + 1. Но треугольник ABC подобен треугольнику CXB, поэтому AC / BC = BC / BX, AC / φ = φ / 1, и поэтому AC также равно φ 2 . Таким образом, φ 2 = φ + 1, подтверждая, что φ действительно является золотым сечением.
Точно так же отношение площади большего треугольника AXC к меньшему CXB равно φ , в то время как обратное отношение равно φ - 1.
Пентагон
В правильном пятиугольнике отношение диагонали к стороне является золотым сечением, а пересекающиеся диагонали разделяют друг друга в золотом сечении. [11]
Строительство Одома
Джордж Одом дал удивительно простую конструкцию для φ, включающую равносторонний треугольник: если равносторонний треугольник вписан в круг, а отрезок, соединяющий середины двух сторон, образуется так, чтобы пересекать круг в любой из двух точек, тогда эти три точки находятся в золотой пропорции. Этот результат является прямым следствием теоремы о пересечении хорд и может быть использован для построения правильного пятиугольника, конструкции, которая привлекла внимание известного канадского геометра HSM Coxeter, который опубликовал ее от имени Одома в виде диаграммы в American Mathematical Monthly, сопровождаемой единственное слово "вот!" [77]
Пентаграмма
Золотое сечение играет важную роль в геометрии пентаграмм . Каждое пересечение ребер разделяет другие ребра в золотом сечении. Кроме того, отношение длины более короткого сегмента к отрезку, ограниченному двумя пересекающимися краями (стороной пятиугольника в центре пентаграммы), равно φ , как показано на четырехцветной иллюстрации.
Пентаграмма включает десять равнобедренных треугольников : пять острых и пять тупых равнобедренных треугольников. Во всех них отношение длинной стороны к короткой составляет φ . Острые треугольники - это золотые треугольники. Тупые равнобедренные треугольники - золотые гномоны.
Теорема Птолемея
Свойства золотого сечения правильного пятиугольника можно подтвердить, применив теорему Птолемея к четырехугольнику, образованному удалением одной из его вершин. Если длинное ребро и диагонали четырехугольника равны b , а короткие ребра - a , то теорема Птолемея дает b 2 = a 2 + ab, что дает
Масштабность треугольников
Рассмотрим треугольник со сторонами длиной a , b и c в порядке убывания. Определите «масштабность» треугольника как меньшее из двух соотношений a / b и b / c . Масштабность всегда меньше φ и может быть максимально приближена к φ . [78]
Треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию
Если длины сторон треугольника образуют геометрическую прогрессию и находятся в соотношении 1: r : r 2 , где r - обычное отношение, тогда r должно лежать в диапазоне φ −1 < r < φ , что является следствием неравенство треугольника (сумма любых двух сторон треугольника должно быть строго больше , чем длина третьей стороны). Если r = φ, то две более короткие стороны равны 1 и φ, но их сумма равна φ 2 , поэтому r < φ . Аналогичный расчет показывает, что r > φ −1. Треугольник, стороны которого находятся в соотношении 1: √ φ : φ, является прямоугольным (поскольку 1 + φ = φ 2 ), известным как треугольник Кеплера . [79]
Золотой треугольник, ромб и ромбический триаконтаэдр
Золотой ромб является ромб , диагонали которого находятся в золотой пропорции. Ромбический триаконтаэдр является выпуклым многогранник , который имеет особое свойство: все его граней являются золотыми ромбами. В ромбическом триаконтаэдре двугранный угол между любыми двумя соседними ромбами составляет 144 °, что в два раз превышает угол равнобедренного золотого треугольника и в четыре раза его наиболее острый угла. [80]
Связь с последовательностью Фибоначчи
Математика золотого сечения и последовательности Фибоначчи тесно взаимосвязаны. Последовательность Фибоначчи:
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Выражение в замкнутой форме для последовательности Фибоначчи включает золотое сечение:
Золотое сечение - это предел соотношений последовательных членов последовательности Фибоначчи (или любой последовательности, подобной Фибоначчи), как показано Кеплером : [81]
Другими словами, если число Фибоначчи делится на его непосредственного предшественника в последовательности, частное приближается к φ ; например, 987/610 ≈ 1,6180327868852. Эти приближения попеременно ниже и выше, чем φ , и сходятся к φ по мере увеличения числа Фибоначчи, и:
В более общем смысле:
где выше, отношения последовательных членов последовательности Фибоначчи, является случаем, когда
Кроме того, последовательные степени φ подчиняются повторению Фибоначчи :
Это тождество позволяет привести любой многочлен от φ к линейному выражению. Например:
Приведение к линейному выражению может быть выполнено за один шаг с помощью отношения
где - k- е число Фибоначчи.
Тем не менее, это не особое свойство ф , так как многочлены любого решения х до квадратного уравнения может быть уменьшена аналогичным образом, путем применения:
для данных коэффициентов a , b таких, что x удовлетворяет уравнению. В более общем плане любая рациональная функция (с рациональными коэффициентами) корня неприводимого многочлена n- й степени над рациональными числами может быть сведена к многочлену степени n - 1. В терминах теории поля , если α является корнем неприводимого многочлена n- й степени, тоимеет степень n больше, с основанием
Симметрии
Золотое сечение и обратное золотое сечение обладают набором симметрий, которые их сохраняют и связывают. Оба они сохраняются дробно-линейными преобразованиями - этот факт соответствует тождеству и определению квадратного уравнения. Далее они меняются местами на трех картах. - они взаимны, симметричны относительно , и (проективно) симметрично относительно 2.
Более глубоко эти отображения образуют подгруппу модулярной группы изоморфна симметрической группе из 3 букв,соответствующий стабилизатору набора3 стандартных точек на проективной прямой , а симметрии соответствуют фактор-отображению - подгруппа состоящий из 3-циклов и тождественного фиксирует два числа, в то время как 2 цикла меняют их местами, таким образом реализуя карту.
Прочие свойства
Золотое сечение имеет простейшее выражение (и самую медленную сходимость) в виде непрерывной дроби любого иррационального числа (см. Альтернативные формы выше). Именно по этой причине, один из худших случаев из теоремы Лагранжа приближения и является экстремальным случаем неравенства Гурвицы для диофантовых приближений . Возможно, поэтому углы, близкие к золотому сечению, часто проявляются при филлотаксисе (росте растений). [82]
Определяющий квадратичный полином и сопряженное отношение приводят к десятичным значениям, дробная часть которых является общей с φ :
Последовательность степеней φ содержит эти значения 0,618033 ..., 1,0, 1,618033 ..., 2,618033 ...; в более общем смысле, любая степень φ равна сумме двух непосредственно предшествующих степеней:
В результате можно легко разложить любую степень φ на кратное φ и константу. Кратное и константа всегда являются смежными числами Фибоначчи. Это приводит к другому свойству положительных степеней φ :
Если , тогда:
Когда золотое сечение используется в качестве основы системы счисления (см. Основание золотого сечения , иногда называемое финарным или φ -значным ), каждое целое число имеет завершающее представление, несмотря на то, что φ является иррациональным, но каждая дробь имеет непрерывное представление.
Золотое сечение - это фундаментальная единица поля алгебраических чисел. и является числом Писота – Виджаярагхавана . [83] В поле у нас есть , где это -е число Лукаса .
Золотое сечение также появляется в гиперболической геометрии как максимальное расстояние от точки на одной стороне идеального треугольника до ближайшей из двух других сторон: это расстояние, длина стороны равностороннего треугольника, образованного точками касания треугольника. круг, вписанный в идеальный треугольник,. [84]
Золотое сечение присутствует и в теории модульных функций . Позволять
потом
Также если а также , то [85]
а также
Десятичное разложение
Десятичное разложение золотого сечения можно рассчитать непосредственно из выражения
с √ 5 ≈ 2,2360679774997896964 OEIS : A002163 . Корень квадратный из 5 может быть вычислен с помощью вавилонского метода , начиная с начальной оценкой , такими как х ф = 2 и итерации
для n = 1, 2, 3, ..., пока разность между x n и x n -1 не станет равной нулю, до желаемого количества цифр.
Вавилонский алгоритм для √ 5 эквивалентен методу Ньютона для решения уравнения x 2 - 5 = 0. В более общем виде метод Ньютона может быть применен непосредственно к любому алгебраическому уравнению , включая уравнение x 2 - x - 1 = 0 что определяет золотое сечение. Это дает итерацию, которая сходится к самому золотому сечению,
для соответствующей начальной оценки x φ, такой как x φ = 1. Немного более быстрый способ - переписать уравнение как x - 1 - 1 / x = 0, и в этом случае итерация Ньютона становится
Все эти итерации сходятся квадратично ; то есть каждый шаг примерно удваивает количество правильных цифр. Таким образом, золотое сечение относительно легко вычислить с произвольной точностью . Время, необходимое для вычисления n цифр золотого сечения, пропорционально времени, необходимому для деления двух n- значных чисел. Это значительно быстрее, чем известные алгоритмы для трансцендентных чисел π и e .
Легко программируемая альтернатива с использованием только целочисленной арифметики - вычислить два больших последовательных числа Фибоначчи и разделить их. Отношение чисел Фибоначчи F 25001 и F 25000 , каждое из которых превышает 5000 цифр, дает более 10 000 значащих цифр золотого сечения.
Десятичное разложение золотого сечения φ [3] было рассчитано с точностью до десяти триллионов (1 × 10 13 = 10 000 000 000 000) цифр. [86]
Пирамиды
Как египетские пирамиды, так и похожие на них правильные квадратные пирамиды могут быть проанализированы на предмет золотого сечения и других соотношений.
Математические пирамиды
Пирамида, в которой апофема (наклонная высота по биссектрисе грани) равна φ, умноженному на полуоснование ( половину ширины основания), иногда называют золотой пирамидой . Равнобедренный треугольник, который является гранью такой пирамиды, может быть построен из двух половин разделенного по диагонали золотого прямоугольника (размером с полуоснование на апофему), соединяющих края средней длины, чтобы образовать апофему. Высота этой пирамиды умножить на полуоснование (то есть наклон грани равен ); квадрат высоты равен площади поверхности, ф раз квадрата пола-основание.
Средний прямоугольный треугольник этой "золотой" пирамиды (см. Диаграмму) со сторонамиинтересен сам по себе, демонстрируя с помощью теоремы Пифагора соотношение или же . Этот треугольник Кеплер [87] является единственным прямоугольным треугольник пропорции с длинами ребер в геометрической прогрессии , [88] [79] так же , как 3-4-5 треугольника является единственно правильный треугольник пропорции с длинами ребер в арифметической прогрессии . Угол с касательной соответствует углу, который сторона пирамиды образует относительно земли, 51,827 ... градуса (51 ° 49 '38 "). [89]
Почти аналогичная форма пирамиды, но с рациональными пропорциями, описана в Математическом папирусе Райнда (источник значительной части современных знаний о древнеегипетской математике ), основанном на треугольнике 3: 4: 5; [90] наклон лица, соответствующий углу с касательной 4/3, составляет с двумя десятичными знаками 53,13 градуса (53 градуса и 8 минут). Наклонная высота или апофема составляет 5/3 или 1,666 ... раз от полуоснования. У папируса Райнда есть еще одна проблема пирамиды, опять же с рациональным наклоном (выраженным как наезд через подъем). Египетская математика не использовала понятие иррациональных чисел [91], а рациональный обратный наклон (бег / подъем, умноженный на коэффициент 7 для преобразования в их условные единицы пальмы на локоть) использовался при строительстве пирамид. [90]
Другая математическая пирамида с пропорциями, почти идентичными «золотой», - это пирамида с периметром, равным 2 π умноженной на высоту, или h: b = 4: π . Этот треугольник имеет угол лица 51,854 ° (51 ° 51 '), что очень близко к 51,827 ° треугольника Кеплера. Эти отношения пирамиды соответствуют случайным отношениям .
Известны египетские пирамиды, очень близкие по пропорциям к этим математическим пирамидам. [92] [79]
Египетские пирамиды
Одна египетская пирамида, которая близка к «золотой пирамиде», - это Великая пирамида Гизы (также известная как пирамида Хеопса или Хуфу). Его наклон 51 ° 52 'близок к наклону "золотой" пирамиды 51 ° 50' - и даже ближе к наклону пирамиды на основе π 51 ° 51 '. Однако несколько других математических теорий формы великой пирамиды, основанные на рациональных наклонах, оказались как более точными, так и более правдоподобными объяснениями наклона 51 ° 52 '. [79]
В середине девятнадцатого века Фридрих Ребер изучал различные египетские пирамиды, в том числе пирамиды Хафра , Менкаура и некоторых групп Гизы , Саккары и Абусира . Он не применял золотое сечение к Великой пирамиде в Гизе, но вместо этого согласился с Джоном Шэй Перрингом, что ее отношение сторон к высоте составляет 8: 5. Для всех других пирамид он применил измерения, относящиеся к треугольнику Кеплера, и заявил, что их длина целиком или половина стороны связана с их высотой по золотому сечению. [93]
В 1859 году пирамидолог Джон Тейлор неверно истолковал Геродота ( около 440 г. до н.э. ) как указание на то, что квадрат высоты Великой пирамиды равен площади одного из ее треугольников. [f] Это заставило Тейлора утверждать, что в Великой пирамиде золотое сечение представлено отношением длины грани (высоты склона, наклоненного под углом θ к земле) к половине длины стороны. квадратного основания (эквивалентного секущей угла θ). [95] Две указанные выше длины составляют примерно 186,4 метра (612 футов) и 115,2 метра (378 футов), соответственно. [94] Отношение этих длин - золотое сечение, с точностью до большего числа цифр, чем любое из исходных измерений. Точно так же Говард Вайс сообщил о высоте великой пирамиды 148,2 метра (486 футов) и половине основания 116,4 метра (382 фута), что дает 1,6189 для отношения наклонной высоты к половине основания, что опять же более точно, чем изменчивость данных. [88]
Эрик Темпл Белл , математик и историк, в 1950 году утверждал, что египетская математика не поддержала бы способность вычислять наклонную высоту пирамид или отношение к высоте, за исключением пирамиды 3: 4: 5, поскольку треугольник 3: 4: 5 был единственным прямоугольным треугольником, известным египтянам, и они не знали ни теорему Пифагора, ни какого-либо способа рассуждать об иррациональных числах, таких как π или φ . [96] Примеры геометрических задач пирамидального дизайна в папирусе Райнда соответствуют различным рациональным наклонам. [79]
Майкл Райс [97] утверждает, что основные авторитеты в истории египетской архитектуры утверждали, что египтяне были хорошо знакомы с золотым сечением и что оно является частью математики пирамид, цитируя Гедона (1957). [98] Историки науки давно обсуждают, обладали ли египтяне такими знаниями, утверждая, что его появление в Великой пирамиде - результат случайности. [99]
Спорные наблюдения
Примеры спорных наблюдений за золотым сечением включают следующее:
- Некоторые особые пропорции тел многих животных (включая человека) [100] [101] и части раковин моллюсков [5] часто считаются находящимися в золотом сечении. Однако реальные показатели этих элементов у конкретных людей сильно различаются, и рассматриваемая пропорция часто значительно отличается от золотого сечения. [100] Было сказано, что соотношение последовательных фаланговых костей пальцев и пястной кости приблизительно соответствует золотому сечению. [101] Nautilus оболочки, строительство которых продолжается в логарифмической спирали , часто упоминается, как правило , с идеей , что любая логарифмическая спираль связана с золотым отношением, но иногда с утверждением , что каждая новая камера золотисто-распределяемым по отношению к предыдущему. [102] Однако измерения раковин наутилуса не подтверждают это утверждение. [103]
- Историк Джон Ман утверждает, что и страницы, и текстовая часть Библии Гутенберга были «основаны на форме золотого сечения». Однако по его собственным измерениям отношение высоты к ширине страниц составляет 1,45. [104]
- Исследования психологов, начиная с Густава Фехнера ок. 1876, [105] были разработаны, чтобы проверить идею о том, что золотое сечение играет роль в человеческом восприятии красоты . Хотя Фехнер предпочел прямоугольные отношения, основанные на золотом сечении, более поздние попытки тщательно проверить такую гипотезу были в лучшем случае безрезультатными. [106] [48]
- При инвестировании некоторые специалисты по техническому анализу используют золотое сечение для обозначения поддержки уровня цен или сопротивления росту цен на акции или товары; после значительных изменений цены вверх или вниз новые уровни поддержки и сопротивления предположительно обнаруживаются на уровне или около цен, связанных с начальной ценой через золотое сечение. [107] Использование золотого сечения в инвестировании также связано с более сложными моделями, описываемыми числами Фибоначчи (например, волновой принцип Эллиотта и коррекция Фибоначчи ). Однако другие аналитики рынка опубликовали анализы, предполагающие, что эти проценты и закономерности не подтверждаются данными. [108]
Парфенон
Parthenon «ы фасад (ок. 432 г. до н.э.), а также элементы его фасада и в других местах , как говорят некоторые , чтобы быть ограниченный золотыми прямоугольниками. [110] Другие ученые отрицают, что у греков была какая-либо эстетическая связь с золотым сечением. Например, Кейт Девлин говорит: «Конечно, часто повторяемое утверждение, что Парфенон в Афинах основан на золотом сечении, не подтверждается фактическими измерениями. Фактически, вся история о греках и золотом сечении кажется безосновательной. " [111] Мидхат Дж. Газале утверждает, что «математические свойства золотого сечения были изучены только после Евклида ...». [112]
Из измерений 15 храмов, 18 монументальных гробниц, 8 саркофагов и 58 надгробных стел с пятого века до нашей эры до второго века нашей эры один исследователь пришел к выводу, что золотое сечение полностью отсутствует в греческой архитектуре классического пятого века до нашей эры, и почти отсутствовал в течение следующих шести веков. [113] Более поздние источники, такие как Витрувий (первый век до нашей эры), обсуждают исключительно пропорции, которые могут быть выражены целыми числами, то есть соразмерные, а не иррациональные пропорции.
Современное искусство
Раздел d'Or ( «Золотое сечение») был коллектив художников , скульпторов, поэтов и критиков , связанных с кубизмом и орфизме . [114] Работавшие с 1911 по 1914 год, они приняли это название, чтобы подчеркнуть, что кубизм представляет собой продолжение великой традиции, а не изолированное движение, и дань уважения математической гармонии, связанной с Жоржем Сёра . [115] Кубисты наблюдали в его гармонии, геометрической структуре движения и формы, примат идеи над природой, абсолютную научную ясность концепции. [116] Однако, несмотря на общий интерес к математической гармонии, труднее определить , использовали ли картины, представленные на знаменитой выставке Salon de la Section d'Or 1912 года, золотое сечение в каких-либо композициях. Ливио, например, утверждает, что они этого не сделали [117], и Марсель Дюшан сказал об этом в интервью. [118] С другой стороны, анализ показывает, что Хуан Грис использовал золотое сечение при создании работ, которые, скорее всего, но не окончательно, были показаны на выставке. [118] [119] [120] Историк искусства Дэниэл Роббинс утверждал, что помимо ссылки на математический термин, название выставки также относится к более ранней группе Bandeaux d'Or , с которой Альберт Глейзес и другие бывшие члены Abbaye de Кретей был замешан. [121]
Говорят, что Пит Мондриан широко использовал золотое сечение в своих геометрических картинах [122], хотя другие эксперты (включая критика Ива-Алена Буа ) опровергли эти утверждения. [48] [123]
Смотрите также
- Золотой угол
- Список работ с золотым сечением
- Металлическое средство
- Пластиковый номер
- Сакральная геометрия
- Сверхзолотое соотношение
Рекомендации
Пояснительные сноски
- ^ Если ограничение на a и b, каждое из которых больше нуля, снимается, то фактически есть два решения, одно положительное и одно отрицательное, для этого уравнения. ϕ определяется как положительное решение. Отрицательное решение можно записать как. Сумма двух решений равна одному, а произведение двух решений отрицательно.
- ^ Евклид, Элементы , Книга II, Предложение 11; Книга IV, предложения 10–11; Книга VI, Предложение 30; Книга XIII, Предложения 1–6, 8–11, 16–18.
- ^ "Κρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζοὸ ρὸςτ. [21]
- ^ После древнегреческий скульптор Фидия (. С 490-430 до н.э.); [33] Барр позже писал, что он считает маловероятным, что Фидий действительно использовал золотое сечение. [34]
- ^ Не путать с серебряным средним , также известным как соотношение серебра .
- ↑ Тейлор перевел Геродота: «Пирамида четырехгранная, каждая грань имеет 8 плетров со всех сторон, а высота равна». Он интерпретировал это творчески, и в 1860 году Джон Гершель был первым из многих авторов, повторившим его ложное утверждение. В 2000 году Роджер Херц-Фишлер проследил за ошибкой до Тейлора. [94]
Цитаты
- ^ a b «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ a b c OEIS : A001622
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 3, 81.
- ^ a b Данлэп, Ричард А., Золотое сечение и числа Фибоначчи , World Scientific Publishing, 1997
- ^ Евклид, Элементы , Книга 6, Определение 3.
- ^ а б Финк, Карл; Беман, Вустер Вудрафф; Смит, Дэвид Юджин (1903). Краткая история математики: авторизованный перевод книги доктора Карла Финка Geschichte der Elementar-Mathematik (2-е изд.). Чикаго: Open Court Publishing Co., стр. 223.
- ^ Саммерсон Джон, Небесные особняки: и другие очерки архитектуры (Нью-Йорк: WW Norton, 1963), стр. 37. «Тоже самое применимо в архитектуре к прямоугольникам, представляющим эти и другие соотношения (например,« золотая огранка »). Единственная ценность этих соотношений в том, что они интеллектуально плодотворны и предполагают ритмы модульного дизайна».
- ^ Джей Хамбидж, Dynamic Symmetry: Греческая ваза , New Haven CT: Yale University Press, 1920
- ^ Уильям Лидвелл, Критина Холден, Джилл Батлер, Универсальные принципы дизайна: междисциплинарная ссылка , Глостер Массачусетс: Издательство Rockport, 2003
- ^ a b c Пачоли, Лука. Де божественная пропорция , Лука Паганинем де Паганинус де Брешиа (Антонио Капелла) 1509, Венеция.
- ^ Строгац, Стивен (24 сентября 2012 г.). «Я, я и математика: контроль пропорций» . Нью-Йорк Таймс .
- ^ а б Вайсштейн, Эрик В. «Сопряжение золотого сечения» . MathWorld .
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 6.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 4: «... линейное деление, которое Евклид определил для ... чисто геометрических целей ...»
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 7–8.
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 4–5.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 78.
- ^ Хеменуэй, Прия (2005). Божественная пропорция: Phi в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. С. 20–21. ISBN 978-1-4027-3522-6.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 3.
- ^ Ричард Фицпатрик (переводчик) (2007). Элементы геометрии Евклида . п. 156. ISBN. 978-0615179841.
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 88–96.
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 131–132.
- ^ Баравалле, HV (1948). «Геометрия пятиугольника и золотого сечения». Учитель математики . 41 : 22–31.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 141.
- ^ Шрайбер, Питер (1995). «Приложение к статье Дж. Шаллита« Истоки анализа алгоритма Евклида » ». Historia Mathematica . 22 (4): 422–424. DOI : 10.1006 / hmat.1995.1033 .
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 151–152.
- ^ «Золотое сечение» . Архив истории математики MacTutor . Проверено 18 сентября 2007 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Формула чисел Фибоначчи Бине" . MathWorld .
- ^ Герц-Фишлер, Роджер (1987). Математическая история деления в крайнем и среднем соотношении . Издательство Университета Уилфрида Лорье. ISBN 978-0889201521.
- ^ Посаментьер, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Великолепное золотое сечение . Книги Прометея . п. 8. ISBN 9-781-61614-424-1.
- ^ Посаментьер, Альфред С .; Леманн, Ингмар (2011). Великолепное золотое сечение . Книги Прометея . п. 285. ISBN 9-781-61614-424-1.
- ^ Кук, Теодор Андреа (1914). Кривые жизни . Лондон: Констебль и Компания Лтд., Стр. 420.
- ^ Барр, Марк (1929). «Параметры красоты». Архитектура (Нью-Йорк) . Vol. 60. с. 325. Перепечатано: «Параметры красоты». Подумай . Vol. 10–11. Международная корпорация бизнес-машин. 1944 г.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 5.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение» . MathWorld .
- ^ Гарднер, Мартин (2001). Колоссальная книга математики: классические головоломки, парадоксы и проблемы . WW Norton & Company. С. 77, 88. ISBN 978-0393020236.
- ^ Герлин, Андреа (5 октября 2011 г.). «Шехтман компании Tecnion получил Нобелевскую премию по химии за открытие квазикристаллов» . Блумберг . Архивировано из оригинала на 5 декабря 2014 года . Проверено 4 января 2019 года .
- ^ Ярич, Марко В. (2012), Введение в математику квазикристаллов , Elsevier, стр. x, ISBN 978-0323159470,
Хотя в момент открытия квазикристаллов теории квазипериодических функций была известна в течение шестидесяти лет, это была математика апериодических Пенроуза разбиений, главным образом , разработанное Николаса де Брейно , что обеспечило значительное влияние на новом поле.
- ^ Ливио 2003 , стр. 203-209.
- ^ Гольдман, Алан I .; и другие. (1996). «Квазикристаллические материалы». Американский ученый . 84 (3): 230–241.
- ^ Ле Корбюзье, модулера р. 25, цитируется по: Padovan, Richard, Proportion: Science, Philosophy, Architecture (1999), p. 316, Тейлор и Фрэнсис, ISBN 0-419-22780-6
- ^ Фрингс, Marcus, Золотое сечение в теории архитектуры , Nexus Network Journal Vol. 4 шт. 1 (зима 2002 г.).
- ^ Ле Корбюзье, модулера , стр. 35, как процитировано у Падована, Ричарда, Пропорция: Наука, Философия, Архитектура (1999), стр. 320. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-419-22780-6 : «И в картинах, и в архитектурных проектах используется золотое сечение».
- ^ Урвин, Саймон. Анализируя архитектуру (2003), стр. 154–155, ISBN 0-415-30685-X
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 134–135.
- ^ Харт, Джордж У. (1999). "Многогранники Леонардо да Винчи" . Джордж У. Харт . Проверено 10 марта 2019 года .
- ^ а б в г Ливио, Марио (1 ноября 2002 г.). «Золотое сечение и эстетика» . Плюс журнал . Проверено 26 ноября 2018 года .
- ^ Кейт Девлин (май 2007 г.). «Миф, который никуда не денется» . Проверено 26 сентября 2013 года .
Похоже, что часть процесса становления писателем-математиком состоит в том, чтобы понять, что нельзя ссылаться на золотое сечение, не следуя при первом упоминании фразой, которая выглядит примерно так: «которую древние греки и другие считали обладающей божественными и мистическими свойствами». ' Почти столь же навязчивым является побуждение добавить второй фактоид вроде «Леонардо да Винчи считал, что человеческая форма отображает золотое сечение». Нет ни малейшего доказательства, подтверждающего любое из утверждений, и есть все основания предполагать, что они оба ложны. Тем не менее, оба утверждения, наряду с различными другими подобными заявлениями, остаются в силе.
- ^ Дональд Э. Симанек. «Фибоначчи Флим-Флам» . Архивировано из оригинала 9 января 2010 года . Проверено 9 апреля 2013 года .
- ^ Сальвадор Дали (2008). Измерение Дали: Расшифровка разума гения (DVD) . Медиа 3.14-TVC-FGSD-IRL-AVRO.
- ↑ Хант, Карла Херндон и Гилки, Сьюзен Никодемус. Обучение математике в блоке стр. 44, 47, ISBN 1-883001-51-X
- ^ Олариу, Агата, Золотое сечение и искусство живописи Доступно в Интернете
- ^ Tosto, Пабло, Ла composición Aurea ан Las Artes Plasticas - Эль número де - Оро ., Librería Hachette, 1969, стр 134-144
- ^ Ян Чихольд . Форма книги , стр. 43 Рис. 4. «Структура идеальных пропорций в средневековой рукописи без нескольких столбцов. Определено Яном Чихольдом в 1953 году. Пропорции страницы 2: 3. Пропорции полей 1: 1: 2: 3, область текста пропорциональна золотому сечению. угол текстовой области также фиксируется диагональю ".
- ^ Чихольд, Ян (1991). Форма книги . Хартли и Маркс. С. 27–28. ISBN 0-88179-116-4.
- ^ Джонс, Рональд (1971). «Золотое сечение: замечательная мера». Структурист . 11 : 44–52.
Кто бы мог заподозрить, например, что пластина переключателя для одиночных выключателей света стандартизирована в виде золотого прямоугольника?
- ^ Джонсон, Искусство (1999). Известные задачи и их математики . Библиотеки без ограничений. п. 45. ISBN 978-1-56308-446-1.
Золотое сечение - стандартная особенность многих современных дизайнов, от открыток и кредитных карт до плакатов и пластин для выключателей света.
- ^ Стахов & Olsen 2009 , стр. 21. «Кредитная карта имеет форму золотого прямоугольника».
- ^ Кокс, Саймон (2004). Взломать код да Винчи: неавторизованный справочник по фактам, лежащим в основе бестселлера Дэна Брауна . Barnes & Noble Books. п. 62. ISBN 978-0-7607-5931-8.
Золотое сечение также встречается в очень неожиданных местах: широкоэкранные телевизоры, открытки, кредитные карты и фотографии обычно соответствуют его пропорциям.
- ^ Lendvai, Эрна (1971). Бела Барток: анализ его музыки . Лондон: Кан и Аверилл.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 190.
- ^ Смит, Питер Ф. Динамика восторга: архитектура и эстетика (Нью-Йорк: Рутледж, 2003) с. 83, ISBN 0-415-30010-X
- ^ Рой Ховат (1983). Дебюсси в пропорции: музыкальный анализ . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-31145-8.
- ^ Саймон Трезизе (1994). Дебюсси: La Mer . Издательство Кембриджского университета. п. 53. ISBN 978-0-521-44656-3.
- ^ " Шкала 833 центов: эксперимент по гармонии ", Huygens-Fokker.org . По состоянию на 1 декабря 2012 г.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 154.
- ^ Ричард Падован (1999). Пропорция . Тейлор и Фрэнсис. С. 305–306. ISBN 978-0-419-22780-9.
- ^ Падован, Ричард (2002). «Пропорции: наука, философия, архитектура» . Сетевой журнал Nexus . 4 (1): 113–122. DOI : 10.1007 / s00004-001-0008-7 .
- ^ Цейзинг, Адольф (1854). Neue Lehre van den Proportionen des meschlischen Körpers . предисловие.
- ^ «Золотое сечение обнаружено в квантовом мире» . Eurekalert.org. 2010-01-07 . Проверено 31 октября 2011 .
- ^ Поммершайм, Джеймс Э., Тим К. Маркс и Эрика Л. Флапан , ред. 2010. "Теория чисел: живое введение с доказательствами, приложениями и историями". Джон Уайли и сыновья: 82.
- Перейти ↑ Weisstein, Eric W. (2002). «Сопряжение золотого сечения» . CRC Краткая энциклопедия математики, второе издание , стр. 1207–1208. CRC Press. ISBN 978-1420035223 .
- ^ Максимум. Хаильперин; Барбара К. Кайзер; Карл В. Найт (1998). Конкретные абстракции: введение в информатику с использованием схемы . Brooks / Cole Pub. Co. ISBN 978-0-534-95211-2.
- ↑ Брайан Розел, "Золотая середина"
- ^ «Диско-шар в космосе» . НАСА. 2001-10-09 . Проверено 16 апреля 2007 .
- ^ Крис и Пенни. «Сложности и вопросы» . Math Central . Проверено 23 октября 2011 года .
- ↑ American Mathematical Monthly , стр. 49–50, 1954.
- ^ а б в г д Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. ISBN 978-0-88920-324-2.[ требуется страница ]
- ^ Коджа, Мехмет; Коджа, Назифе Оздес; Коч, Рамазан (2010), «Каталонские твердые тела, полученные из трехмерных корневых систем и кватернионов», Журнал математической физики , 51 (4): 043501, arXiv : 0908.3272 , Bibcode : 2010JMP .... 51d3501K , doi : 10.1063 /1.3356985 , S2CID 115157829.
- ^ Таттерсолл, Джеймс Джозеф (2005). Элементарная теория чисел в девяти главах (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . п. 28. ISBN 978-0-521-85014-8.
- ^ Числа Фибоначчи и природа - Часть 2: Почему золотое сечение является «лучшим» расположением? , из числа Фибоначчи и золотого сечения доктора Рона Нотта , полученного 29.11.2012.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Число Пизо» . MathWorld .
- ^ Орикруг exinscrits: ипа hyperbolique remarquable недвижимость , , cabri.net, извлекается 2009-07-21.
- ^ Брендт, Б. и др. "Непрерывная дробь Роджерса-Рамануджана"
- ^ Йи, Александр Дж. (13 марта 2021 г.). "Рекорды, установленные y-cruncher" . numberword.org . Два независимых вычисления, выполненные Клиффордом Спилманом.
- ^ Элисон, Джим (2006). Никсон, Стив (ред.). Лучшее из Астреи: 17 статей по науке, истории и философии . Веб-радио Astrea. С. 92–93. ISBN 978-1-4259-7040-6.
- ^ а б Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни . Нью-Йорк: Дувр. С. 22–24. ISBN 978-0486235424.
- ^ Мидхат Gazale, гномон: От фараонов до фракталов , пер. Пресса, 1999 г.
- ^ а б Эли Маор , Тригонометрические наслаждения , Princeton Univ. Пресса, 2000 г.
- ^ Хогбен, Ланселот , Математика для Million , London: Allen & Анвин, 1942, стр. 63. Цитируется Терези, Дик , Утраченные открытия: Древние корни современной науки - от вавилонян до майя , Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 2003, стр. 56
- ^ «Великая пирамида, великое открытие и великое совпадение» . Архивировано из оригинала на 2014-01-02 . Проверено 25 ноября 2007 .
- ^ Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. С. 80–89. ISBN 978-0-88920-324-2.
- ^ a b Ливио 2003 , стр. 55–58.
- ^ Тейлор, Великая пирамида: почему она была построена и кто ее построил? , 1859 г.
- ^ Белл, Эрик Темпл (1940). Развитие математики . Нью-Йорк: Дувр. п. 40. ISBN 978-0486272399.
- ↑ Райс, Майкл, Наследие Египта: архетипы западной цивилизации, 3000–30 гг. До н.э., стр. 24 Рутледж, 2003 г., ISBN 0-415-26876-1
- ^ С. Giedon, 1957, Начала архитектуры, AW Mellon Лекции в Художеств, 457, цит Райс, Майкл Египта Наследие: Архетипы западной цивилизации, 3000 до 30 г. до н.э. р. 24 Рутледж, 2003 г.
- ^ Марковский, Джордж (январь 1992 г.). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Журнал математики колледжа . Математическая ассоциация Америки. 23 (1): 2–19. DOI : 10.2307 / 2686193 . JSTOR 2686193 .
- ^ а б Фазан, Стивен (1998). Bodyspace . Лондон: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-7484-0067-6.
- ^ а б ван Лаак, Вальтер (2001). Лучшая история нашего мира: Том 1 Вселенная . Ахен: van Laach GmbH.
- ^ Moscovich, Иван , Айван Москавич вдохновитель Коллекция: Откидная площади и другие головоломки, НьюЙорк: Sterling, 2004 [ нужная страница ]
- ^ Петерсон, Иварс (1 апреля 2005 г.). "Спирали морских ракушек" . Новости науки .
- ↑ Человек, Джон, Гутенберг: Как один человек переделал мир с помощью слова (2002), стр. 166–167, Wiley, ISBN 0-471-21823-5 . «Половина страницы (30,7 × 44,5 см) состояла из двух прямоугольников - всей страницы и ее текстовой области - на основе так называемого« золотого сечения », которое определяет важнейшее соотношение между короткой и длинной сторонами и дает иррациональное число, такое как пи, но в соотношении примерно 5: 8 ".
- ^ Фехнер, Густав (1876). Vorschule der Ästhetik . Лейпциг: Breitkopf & Härtel. С. 190–202.
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 7.
- ^ Например, Ослер пишет, что «38,2% и 61,8% откатов недавних подъемов или падений являются обычным явлением» в Ослер, Кэрол (2000). «Поддержка сопротивления: технический анализ и внутридневной обменный курс» (PDF) . Обзор экономической политики Федерального резервного банка Нью-Йорка . 6 (2): 53–68.
- ^ Рой Бачелор и Ричард Ramyar, « номера Волшебные в Dow ,» 25й Международный симпозиум по прогнозированию, 2005, с. 13, 31. « С тех пор, как« большой - красивый », гиганты не выглядели лучше », - Том Стивенсон, The Daily Telegraph , 10 апреля 2006 г., и «Технический сбой», The Economist , 23 сентября 2006 г. сообщения популярной прессы об исследованиях Бэтчелора и Рамьяра.
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 74–75.
- ^ Ван Мерсберген, Одри М., «Риторические прототипы в архитектуре: измерение Акрополя с философской полемикой», Ежеквартальное сообщение , Vol. 46 № 2, 1998, стр. 194–213.
- ^ Девлин, Кейт Дж. (2009) [2005]. Математический инстинкт: почему вы математический гений (наряду с лобстерами, птицами, кошками и собаками) . Нью-Йорк: Основные книги . п. 54. ISBN 978-1-56025-672-4.
- ^ Gazale, Мидхат J. , гномон: От фараонов до фракталов , Princeton University Press, 1999, стр. 125. ISBN 0-691-00514-1
- ^ Patrice Foutakis, "Сделал Построить грекам Согласно Золотой пропорции?", Cambridge Archaeological Journal , Vol. 24, № 1, февраль 2014 г., стр. 71–86.
- ↑ Le Salon de la Section d'Or , октябрь 1912 г., Центр медиации Помпиду
- ^ Jeunes Peintres ne vous frappez pas! , La Section d'Or: Numéro spécial consacré à l'Exposition de la "Section d'Or", première année, n ° 1, 9 октября 1912 г., стр. 1–7 , Bibliothèque Kandinsky
- ↑ Герберт, Роберт, Неоимпрессионизм , Нью-Йорк: Фонд Соломона Р. Гуггенхайма, 1968 [ необходима страница ]
- Перейти ↑ Livio 2003 , p. 169.
- ^ a b Камфилд, Уильям А., Хуан Грис и Золотое сечение , Art Bulletin, 47, вып. 1, март 1965 г., 128–134. 68
- ↑ Грин, Кристофер, Хуан Грис , Художественная галерея Уайтчепела, Лондон, 18 сентября - 29 ноября 1992 г .; Staatsgalerie Stuttgart 18 декабря 1992–14 февраля 1993 года; Rijksmuseum Kröller-Müller, Otterlo, 6 марта - 2 мая 1993 г., Yale University Press, 1992, стр. 37–38, ISBN 0300053746
- ^ Cottington, Дэвид, кубизм и ее истории, критические перспективы Парикмахер института в истории искусства серии, Критические перспективы в области истории искусств , Манчестер University Press, 2004, стр. 112, 142, ISBN 0719050049
- ↑ Roger Allard, Sur quelques peintre , Les Marches du Sud-Ouest, июнь 1911 г., стр. 57–64. В: Марк Антлифф и Патрисия Лейтен, Читатель кубизма, Документы и критика, 1906–1914 , Издательство Чикагского университета, 2008, стр. 178–191, 330.
- ^ Bouleau, Чарльз, Тайная геометрия художника: Изучение состава в ст . (1963)стр 247-248, Harcourt, Brace & World, ISBN 0-87817-259-9
- Перейти ↑ Livio 2003 , pp. 177–178.
Процитированные работы
- Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке, ред.). Нью-Йорк: Бродвейские книги . ISBN 978-0-7679-0816-0.
- Стахов Алексей П .; Олсен, Скотт (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики . Сингапур: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-277-582-5.
дальнейшее чтение
- Докзи, Дьёрдь (2005) [1981]. Сила ограничений: пропорциональные гармонии в природе, искусстве и архитектуре . Бостон: Публикации Шамбалы. ISBN 978-1-59030-259-0.
- Хеменуэй, Прия (2005). Божественная пропорция: Phi в искусстве, природе и науке . Нью-Йорк: Стерлинг. ISBN 978-1-4027-3522-6.
- Хантли, HE (1970). Божественная пропорция: исследование математической красоты . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-22254-7.
- Джозеф, Джордж Г. (2000) [1991]. Гребень павлина: неевропейские корни математики (новое изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-00659-8.
- Сахлквист, Лейф (2008). Кардинальные выравнивания и золотое сечение: принципы древней космографии и дизайна (3-е изд.). Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge. ISBN 978-1-4196-2157-4.
- Шнайдер, Майкл С. (1994). Руководство для начинающих по построению Вселенной: математические архетипы природы, искусства и науки . Нью-Йорк: HarperCollins. ISBN 978-0-06-016939-8.
- Scimone, Альдо (1997). La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica . Палермо: Sigma Edizioni. ISBN 978-88-7231-025-0.
- Вальзер, Ханс (2001) [ Der Goldene Schnitt 1993]. Золотое сечение . Питер Хилтон пер. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-534-8.
Внешние ссылки
- "Золотое сечение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- «Золотое сечение» Михаэля Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
- Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение» . MathWorld .
- Нотт, Рон. «Соотношение золотого сечения: Фи» . Информация и деятельность профессора математики.
- Пентаграмма и золотое сечение . Грин, Томас М. Обновлено в июне 2005 г. Архивировано в ноябре 2007 г. Инструкция по геометрии с задачами, которые необходимо решить.
- «Миф, который никуда не денется» , Кейт Девлин , в ответ на многочисленные утверждения об использовании золотого сечения в культуре.
- Поддельные золотые спирали, собранные Рэндаллом Манро