Распределение Рэлея

Рэлей

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	шкала: ${\ displaystyle \ sigma> 0}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {x} {\ sigma ^ {2}}} e ^ {- x ^ {2} / \ left (2 \ sigma ^ {2} \ right)}}$
CDF	${\ Displaystyle 1-е ^ {- х ^ {2} / \ left (2 \ sigma ^ {2} \ right)}}$
Квантиль	${\ Displaystyle Q (F; \ sigma) = \ sigma {\ sqrt {-2 \ ln (1-F)}}}$
Иметь в виду	${\ displaystyle \ sigma {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}$
Медиана	${\ Displaystyle \ sigma {\ sqrt {2 \ ln (2)}}}$
Режим	${\ displaystyle \ sigma}$
Дисперсия	${\ displaystyle {\ frac {4- \ pi} {2}} \ sigma ^ {2}}$
Асимметрия	${\ displaystyle {\ frac {2 {\ sqrt {\ pi}} (\ pi -3)} {(4- \ pi) ^ {3/2}}}}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle - {\ frac {6 \ pi ^ {2} -24 \ pi +16} {(4- \ pi) ^ {2}}}}$
Энтропия	${\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}$
CF	${\displaystyle 1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}$

В теории вероятностей и статистике , то распределение Рэлея является непрерывным распределением вероятности для неотрицательных многозначных случайных величин . По сути, это распределение ци с двумя степенями свободы .

Распределение Рэлея часто наблюдается, когда общая величина вектора связана с его направленными компонентами . Одним из примеров, когда естественно возникает распределение Рэлея, является анализ скорости ветра в двух измерениях . Предполагая, что каждый компонент не коррелирован , нормально распределен с равной дисперсией и нулевым средним , тогда общая скорость ветра ( величина вектора ) будет характеризоваться распределением Рэлея. Второй пример распределения возникает в случае случайных комплексных чисел, действительные и мнимые компоненты которых независимо и одинаково распределены по Гауссу.с равной дисперсией и нулевым средним. В этом случае абсолютное значение комплексного числа распределено по Рэлею.

Распределение назван в честь лорда Рэлея ( / г eɪ л я / ). ^[1]

Определение [ править ]

Функция плотности вероятности распределения Рэлея имеет вид ^[2]

${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},\quad x\geq 0,}$

где - масштабный параметр распределения. Интегральная функция распределения является ^[2]${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle F(x;\sigma )=1-e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}$

за ${\displaystyle x\in [0,\infty ).}$

Связь со случайной длиной вектора [ править ]

Рассмотрим двумерный вектор, у которого есть компоненты, которые нормально распределены, центрированы в нуле и независимы. Тогда и имеют функции плотности${\displaystyle Y=(U,V)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle f_{U}(x;\sigma )=f_{V}(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}.}$

Позвольте быть длиной . То есть тогда имеет кумулятивную функцию распределения${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X={\sqrt {U^{2}+V^{2}}}.}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )=\iint _{D_{x}}f_{U}(u;\sigma )f_{V}(v;\sigma )\,dA,}$

где диск${\displaystyle D_{x}}$

${\displaystyle D_{x}=\left\{(u,v):{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}<x\right\}.}$

Записывая двойной интеграл в полярных координатах , он принимает вид

${\displaystyle F_{X}(x;\sigma )={\frac {1}{2\pi \sigma ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr\,d\theta ={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\int _{0}^{x}re^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})}\,dr.}$

Наконец, функция плотности вероятности для является производной ее кумулятивной функции распределения, которая согласно основной теореме исчисления равна${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{X}(x;\sigma )={\frac {d}{dx}}F_{X}(x;\sigma )={\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})},}$

которое является распределением Рэлея. Легко обобщить на векторы размерности, отличной от 2. Существуют также обобщения, когда компоненты имеют неравную дисперсию или корреляции, или когда вектор Y следует двумерному t- распределению Стьюдента . ^[3]

Свойства [ править ]

В сырые моменты определяются:

${\displaystyle \mu _{j}=\sigma ^{j}2^{j/2}\,\Gamma \left(1+{\frac {j}{2}}\right),}$

где - гамма-функция .${\displaystyle \Gamma (z)}$

Таким образом, среднее значение случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \mu (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\ \approx 1.253\ \sigma .}$

Стандартное отклонение случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \operatorname {std} (X)={\sqrt {\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)}}\sigma \approx {\sqrt {0.429}}\ \sigma }$

Дисперсия случайной величины Рэлея:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}=\left(2-{\frac {\pi }{2}}\right)\sigma ^{2}\approx 0.429\ \sigma ^{2}}$

Режим является и максимальный PDF является${\displaystyle \sigma ,}$

${\displaystyle f_{\max }=f(\sigma ;\sigma )={\frac {1}{\sigma }}e^{-1/2}\approx {\frac {0.606}{\sigma }}.}$

Перекос определяется по формуле:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0.631}$

Избыточный эксцесс определяется:

${\displaystyle \gamma _{2}=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0.245}$

Характеристическая функция определяется по формуле:

${\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erfi} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right]}$

где - функция мнимой ошибки . Функция генерирования момента задается${\displaystyle \operatorname {erfi} (z)}$

${\displaystyle M(t)=1+\sigma t\,e^{{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right]}$

где - функция ошибок .${\displaystyle \operatorname {erf} (z)}$

Дифференциальная энтропия [ править ]

Дифференциальная энтропия задаются ^{[ править ]}

${\displaystyle H=1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони .${\displaystyle \gamma }$

Оценка параметров [ править ]

Учитывая выборку из N независимых и одинаково распределенных случайных величин Рэлея с параметром ,${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}=\!\,{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}$является оценкой максимального правдоподобия и также является несмещенной .

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}\approx {\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}}$ является смещенной оценкой, которую можно исправить с помощью формулы

${\displaystyle \sigma ={\widehat {\sigma }}{\frac {\Gamma (N){\sqrt {N}}}{\Gamma (N+{\frac {1}{2}})}}={\widehat {\sigma }}{\frac {4^{N}N!(N-1)!{\sqrt {N}}}{(2N)!{\sqrt {\pi }}}}}$^[4]

Доверительные интервалы [ править ]

Чтобы найти доверительный интервал (1 -  α ), сначала найдите границы, где:${\displaystyle [a,b]}$

  ${\displaystyle P(\chi _{2N}^{2}\leq a)=\alpha /2,\quad P(\chi _{2N}^{2}\leq b)=1-\alpha /2}$

тогда параметр масштаба попадет в границы

  ${\displaystyle {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{b}}\leq {\widehat {\sigma }}^{2}\leq {\frac {{N}{\overline {x^{2}}}}{a}}}$^[5]

Генерация случайных значений [ править ]

Для случайной переменной U, взятой из равномерного распределения в интервале (0, 1), тогда переменная

${\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln U}}\,}$

имеет распределение Рэлея с параметром . Это достигается применением метода выборки с обратным преобразованием .${\displaystyle \sigma }$

Связанные дистрибутивы [ править ]

• ${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$является распределенным Рэлея, если , где и - независимые нормальные случайные величины . ^[6] (Это дает мотивацию к использованию символа «сигма» в вышеупомянутой параметризации плотности Рэлея.)${\displaystyle R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle X\sim N(0,\sigma ^{2})}$${\displaystyle Y\sim N(0,\sigma ^{2})}$

• Величина из стандартного комплекса нормально распределенной переменной г будет иметь распределение Рэлея.${\displaystyle |z|}$

• Распределение хи с v  = 2 эквивалентно распределению Рэлея с  σ  = 1.

• Если , то имеет распределение хи-квадрат с параметром степеней свободы, равным двум ( N  = 2)${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}$${\displaystyle R^{2}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle [Q=R^{2}]\sim \chi ^{2}(N)\ .}$

• Если , то имеет гамма-распределение с параметрами и${\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {1}{2\sigma ^{2}}}}$

${\displaystyle \left[Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\right]\sim \Gamma (N,{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}).}$

• Распределение риса является нецентральной обобщение распределения Рэлея: .${\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}$
• Распределение Вейбулла с «параметром формы» k = 2 дает распределение Рэлея. Тогда параметр распределения Рэлея связан с параметром шкалы Вейбулла согласно формуле${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \lambda =\sigma {\sqrt {2}}.}$
• Распределение Максвелла – Больцмана описывает величину вектора нормали в трех измерениях.
• Если имеет экспоненциальное распределение , то${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}$${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} (1/{\sqrt {2\lambda }}).}$

• Половинное нормальное распределение является одномерным частным случаем распределения Рэлея.

Приложения [ править ]

Применение оценки σ можно найти в магнитно-резонансной томографии (МРТ). Поскольку изображения МРТ записываются как сложные изображения, но чаще всего рассматриваются как изображения магнитуды, фоновые данные распределяются по Рэлею. Следовательно, приведенная выше формула может использоваться для оценки дисперсии шума на МРТ-изображении по фоновым данным. ^{[7] [8]}

Распределение Рэлея также использовалось в области питания для установления связи между уровнями питательных веществ в рационе и реакциями человека и животных . Таким образом, параметр σ может использоваться для расчета зависимости отклика на питательные вещества. ^[9]

См. Также [ править ]

• Замирание Рэлея
• Распределение смеси Рэлея
• Вероятна круговая ошибка

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ссылки [ править ]