Замирание Рэлея

Рэлеевские замирания - это статистическая модель влияния среды распространения на радиосигнал , например, используемый беспроводными устройствами.

Модели замирания Рэлея предполагают, что величина сигнала, прошедшего через такую среду передачи (также называемую каналом связи ), будет случайным образом изменяться или затухать в соответствии с распределением Рэлея - радиальной составляющей суммы двух некоррелированных гауссовских случайных величин. .

Рэлеевские замирания рассматриваются как разумная модель распространения тропосферных и ионосферных сигналов, а также как влияние на радиосигналы сильно застроенной городской среды. ^[1]^[2] Рэлеевское замирание наиболее применимо, когда нет преобладающего распространения по линии прямой видимости между передатчиком и приемником. Если есть доминирующая линия обзора, более подходящим может быть рисовское замирание . Рэлеевское замирание - это частный случай двухволнового замирания с диффузной мощностью (TWDP) .

Модель [ править ]

Рэлеевское замирание является разумной моделью, когда в окружающей среде много объектов, которые рассеивают радиосигнал до того, как он достигает приемника. Центральная предельная теорема гласит , что, если существует достаточно много разброс, канал импульсного отклика будет хорошо моделируется как гауссова процесса независимо от распределения отдельных компонентов. Если в разбросе нет доминирующего компонента, то такой процесс будет иметь нулевое среднее значение и фазу, равномерно распределенную между 0 и 2π радиан . Таким образом, огибающая отклика канала будет распределена по Рэлею .

Вызывая эту случайную величину , она будет иметь функцию плотности вероятности : ^[1] ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle p_ {R} (r) = {\ frac {2r} {\ Omega}} e ^ {- r ^ {2} / \ Omega}, \ r \ geq 0}

где . ${\ Displaystyle \ Omega = \ OperatorName {E} (R ^ {2})}$

Часто элементы усиления и фазы искажения канала удобно представлять в виде комплексного числа . В этом случае замирание Рэлея проявляется в предположении, что действительная и мнимая части отклика моделируются независимыми и одинаково распределенными гауссовскими процессами с нулевым средним, так что амплитуда отклика является суммой двух таких процессов.

Применимость [ править ]

Было показано, что плотно застроенный Манхэттен приближается к рэлеевской среде.

Одна секунда рэлеевского замирания с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц.

Одна секунда рэлеевского замирания с максимальным доплеровским сдвигом 100 Гц.

Требование наличия большого количества рассеивателей означает, что рэлеевские замирания могут быть полезной моделью в сильно застроенных городских центрах, где нет прямой видимости между передатчиком и приемником, а многие здания и другие объекты ослабляют , отражают , преломляют и дифрагируют. сигнал. Экспериментальные работы в Манхэттене обнаружили там затухание, близкое к рэлеевскому. ^[3] В тропосфере и ионосферераспространение сигнала: многие частицы в атмосферных слоях действуют как рассеиватели, и такая среда также может приближаться к рэлеевскому замиранию. Если окружающая среда такова, что в дополнение к рассеянию на приемнике наблюдается сильно доминирующий сигнал, обычно вызванный лучом зрения , то среднее значение случайного процесса больше не будет равно нулю, а будет изменяться вокруг мощности -уровень доминирующего пути. Такую ситуацию можно лучше смоделировать как рисовское замирание .

Обратите внимание, что замирание Рэлея - это мелкомасштабный эффект. Будут присутствовать основные свойства среды, такие как потери на трассе и затенение, на которые накладывается затухание.

Скорость затухания канала будет зависеть от скорости движения приемника и / или передатчика. Движение вызывает доплеровский сдвиг компонентов принимаемого сигнала. На рисунках показано изменение мощности постоянного сигнала в течение 1 секунды после прохождения через однолучевой канал с рэлеевскими замираниями с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц и 100 Гц. Эти доплеровские сдвиги соответствуют скоростям около 6 км / ч (4 мили в час) и 60 км / ч (40 миль в час) соответственно на 1800 МГц, одной из рабочих частот для мобильных телефонов GSM . Это классическая форма рэлеевского выцветания. Обратите внимание, в частности, на «глубокие затухания», когда уровень сигнала может упасть в несколько тысяч раз, или на 30–40 дБ .

Свойства [ править ]

Поскольку оно основано на хорошо изученном распределении с особыми свойствами, распределение Рэлея поддается анализу, а ключевые особенности, влияющие на производительность беспроводной сети, имеют аналитические выражения .

Обратите внимание, что обсуждаемые здесь параметры относятся к нестатическому каналу. Если канал не меняется со временем, он не исчезает, а вместо этого остается на определенном уровне. Отдельные экземпляры канала в этом случае будут некоррелированы друг с другом из-за предположения, что каждая из рассеянных составляющих затухает независимо. Как только относительное движение вводится между любым из передатчика, приемника и рассеивателя, замирание становится коррелированным и изменяется во времени.

Скорость пересечения железнодорожных путей [ править ]

Скорость пересечения уровня является мерой скорости замирания. Он количественно определяет, как часто замирание пересекает некоторый порог, обычно в положительном направлении. Для рэлеевских замираний частота пересечения уровней равна: ^[4]

{\ displaystyle \ mathrm {LCR} = {\ sqrt {2 \ pi}} f_ {d} \ rho e ^ {- \ rho ^ {2}}}

где - максимальный доплеровский сдвиг, а - пороговый уровень, нормированный на среднеквадратичный (RMS) уровень сигнала: ${\ displaystyle f_ {d}}$ ${\ Displaystyle \, \! \ rho}$

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {R _ {\ mathrm {threshold}}} {R _ {\ mathrm {rms}}}}.}

Средняя длительность затухания [ править ]

Средняя длительность замирания количественно определяет, как долго сигнал находится ниже порогового значения . Для рэлеевского замирания средняя продолжительность замирания составляет: ^[4] ${\ Displaystyle \, \! \ rho}$

{\ displaystyle \ mathrm {AFD} = {\ frac {e ^ {\ rho ^ {2}} - 1} {\ rho f_ {d} {\ sqrt {2 \ pi}}}}.}.

Скорость перехода уровня и средняя длительность замирания, взятые вместе, дают полезные средства для характеристики серьезности замирания с течением времени.

Для конкретного нормализованного порогового значения произведение средней продолжительности замирания и скорости пересечения уровня является постоянным и определяется выражением ${\ displaystyle \ rho}$

{\ displaystyle \ mathrm {AFD} \ times \ mathrm {LCR} = 1-e ^ {- \ rho ^ {2}}.}

Доплеровская спектральная плотность мощности [ править ]

Нормированный доплеровский спектр мощности рэлеевских замираний с максимальным доплеровским сдвигом 10 Гц.

Доплеровская спектральная плотность мощности канала с замиранием описывает, насколько спектральное уширение это вызывает. Это показывает, как чистая частота, например чистая синусоида, которая является импульсом в частотной области, распространяется по частоте при прохождении через канал. Это преобразование Фурье функции автокорреляции времени. Было показано, что для замирания Рэлея с вертикальной приемной антенной с одинаковой чувствительностью во всех направлениях: ^[5]

{\ displaystyle S (\ nu) = {\ frac {1} {\ pi f_ {d} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {\ nu} {f_ {d}}} \ right) ^ { 2}}}}},}

где - сдвиг частоты относительно несущей частоты. Это уравнение действительно только для значений между ; вне этого диапазона спектр равен нулю. Этот спектр показан на рисунке для максимального доплеровского сдвига 10 Гц. «Форма чаши» или «форма ванны» - классическая форма этого доплеровского спектра. ${\ Displaystyle \, \! \ ню}$ ${\ Displaystyle \, \! \ ню}$ ${\ displaystyle \ pm f_ {d}}$

Создание рэлеевского замирания [ править ]

Как описано выше , сам канал с рэлеевскими замираниями может быть смоделирован путем генерации действительной и мнимой частей комплексного числа в соответствии с независимыми нормальными гауссовыми переменными. Однако иногда бывает так, что интерес представляют просто колебания амплитуды (например, на рисунке, показанном выше). Есть два основных подхода к этому. В обоих случаях цель состоит в том, чтобы создать сигнал, который имеет доплеровский спектр мощности, указанный выше, и эквивалентные свойства автокорреляции.

Модель Джейкса [ править ]

В своей книге ^[6] Джейкс популяризировал модель замирания Рэлея, основанную на суммировании синусоид . Пусть рассеиватели равномерно распределены по окружности под углами, под которыми выходят лучи от каждого рассеивателя. Доплеровский сдвиг луча равен ${\ Displaystyle \ альфа _ {п}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle n}$

\,\!f_{n}=f_{d}\cos \alpha _{n}

и с такими рассеивателями рэлеевское замирание формы сигнала с течением времени может быть смоделировано как: $M$ $k^{\text{th}}$ $t$

{\begin{aligned}R(t,k)=2{\sqrt {2}}\left[\sum _{n=1}^{M}\right.&\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{n}t+\theta _{n,k}\right)\\[4pt]&\left.{}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\cos \alpha +j\sin \alpha \right)\cos(2\pi f_{d}t)\right].\end{aligned}}

Здесь и и являются параметрами модели, обычно равными нулю, выбранными таким образом, чтобы не было взаимной корреляции между действительной и мнимой частями : $\,\!\alpha$ $\,\!\beta _{n}$ $\,\!\theta _{n,k}$ $\,\!\alpha$ $\,\!\beta _{n}$ $R(t)$

\,\!\beta _{n}={\frac {\pi n}{M+1}}

и используется для генерации нескольких сигналов. Если моделируется однолучевой канал, так что есть только одна форма сигнала, тогда может быть нулевое значение. Если многолучевой, частотно-избирательный канал моделируется таким образом, что требуется несколько форм сигналов, Джейкс предполагает, что некоррелированные формы сигналов задаются выражением $\,\!\theta _{n,k}$ $\,\!\theta _{n}$

\theta _{n,k}=\beta _{n}+{\frac {2\pi (k-1)}{M+1}}.

Фактически, было показано, что формы сигналов коррелированы между собой - они имеют ненулевую взаимную корреляцию - за исключением особых обстоятельств. ^[7] Модель также является детерминированной (она не содержит случайных элементов после выбора параметров). Модифицированная модель Джейкса ^[8] выбирает немного разные интервалы для рассеивателей и масштабирует их формы волны с помощью последовательностей Уолша-Адамара, чтобы гарантировать нулевую взаимную корреляцию. Параметр

\alpha _{n}={\frac {\pi (n-0.5)}{2M}}{\text{ and }}\beta _{n}={\frac {\pi n}{M}},

приводит к следующей модели, обычно называемой моделью Дента или модифицированной моделью Джейкса:

R(t,k)={\sqrt {\frac {2}{M}}}\sum _{n=1}^{M}A_{k}(n)\left(\cos \beta _{n}+j\sin \beta _{n}\right)\cos \left(2\pi f_{d}t\cos \alpha _{n}+\theta _{n}\right).

Эти весовые функции являются ^й Уолша-Адамара последовательность . Поскольку они имеют нулевую взаимную корреляцию по конструкции, эта модель приводит к некоррелированным сигналам. Фазы могут быть инициализированы случайным образом и не влияют на свойства корреляции. Быстрое преобразование Уолша может быть использовано для эффективно генерировать образцы с использованием этой модели. $A_{k}(n)$ $k$ $n$ $\,\!\theta _{n}$

Модель Джейкса также популяризировала спектр Доплера, связанный с замиранием Рэлея, и, как результат, этот спектр Доплера часто называют спектром Джейкса.

Фильтрованный белый шум [ править ]

Другой способ сгенерировать сигнал с требуемым доплеровским спектром мощности - пропустить сигнал белого гауссова шума через фильтр Гаусса с частотной характеристикой, равной квадратному корню из требуемого доплеровского спектра. Хотя он проще, чем модели, приведенные выше, и недетерминирован, он представляет некоторые вопросы реализации, связанные с необходимостью фильтров высокого порядка для аппроксимации иррациональной функции квадратного корня в отклике и дискретизации гауссовой формы волны с соответствующей частотой.

См. Также [ править ]

Затухание
Рэлеевское рассеяние
Рицианское увядание
Распространение вне прямой видимости
Распространение в прямой видимости
Беспроводной
Распределение Рэлея
Двухволновое затухание с диффузной мощностью (TWDP)
Лорд Рэйли

Ссылки [ править ]

^ а б Джон Г. Проакис (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., стр. 767–768 . ISBN 978-0-07-113814-7.
↑ Бернард Скляр (июль 1997 г.). «Каналы с рэлеевскими замираниями в мобильных системах цифровой связи, часть I: характеристика». Журнал IEEE Communications . 35 (7): 90–100. DOI : 10.1109 / 35.601747 .
^ Дмитрий Чижик; Джонатан Линг; Питер В. Вольнянский; Рейнальдо А. Валенсуэла; Нельсон Коста и Крис Хубер (апрель 2003 г.). «Измерения и моделирование с несколькими входами и выходами на Манхэттене» (PDF) . Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 21 (3): 321–331. DOI : 10.1109 / JSAC.2003.809457 .
^ а б Т. С. Раппапорт (31 декабря 2001 г.). Беспроводная связь: принципы и практика (2-е изд.). Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-042232-3.
^ RH Кларк (июль – август 1968 г.). «Статистическая теория мобильного радиоприема». Технический журнал Bell System . 47 (6): 957–1000. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1968.tb00069.x .
↑ Уильям С. Джейкс, редактор (1 февраля 1975 г.). СВЧ мобильная связь . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons Inc. 978-0-471-43720-8.
^ Von Eckardstein, S. & Isaksson, K. (декабрь 1991). Kanalmodeller för radiotransmission (Модели каналов для радиопередачи) (магистерская диссертация) требует ( помощь ) (на шведском языке). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт. |format=|url=
↑ P. Dent, GE Bottomley и T. Croft (24 июня 1993 г.). «Возвращение к исчезающей модели Джейкса». Письма об электронике . 29 (13): 1162–1163. Bibcode : 1993ElL .... 29.1162D . DOI : 10.1049 / эл: 19930777 .

Внешние ссылки [ править ]

Генератор сигналов канала с рэлеевскими замираниями с использованием модели Dent (Matlab)

[proakis-1] а б Джон Г. Проакис (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., стр. 767–768 . ISBN 978-0-07-113814-7.

[2] Бернард Скляр (июль 1997 г.). «Каналы с рэлеевскими замираниями в мобильных системах цифровой связи, часть I: характеристика». Журнал IEEE Communications . 35 (7): 90–100. DOI : 10.1109 / 35.601747 .

[3] Дмитрий Чижик; Джонатан Линг; Питер В. Вольнянский; Рейнальдо А. Валенсуэла; Нельсон Коста и Крис Хубер (апрель 2003 г.). «Измерения и моделирование с несколькими входами и выходами на Манхэттене» (PDF) . Журнал IEEE по избранным областям коммуникаций . 21 (3): 321–331. DOI : 10.1109 / JSAC.2003.809457 .

[rappaport-4] а б Т. С. Раппапорт (31 декабря 2001 г.). Беспроводная связь: принципы и практика (2-е изд.). Prentice Hall PTR. ISBN 978-0-13-042232-3.

[clarke-5] RH Кларк (июль – август 1968 г.). «Статистическая теория мобильного радиоприема». Технический журнал Bell System . 47 (6): 957–1000. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1968.tb00069.x .

[6] Уильям С. Джейкс, редактор (1 февраля 1975 г.). СВЧ мобильная связь . Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons Inc. 978-0-471-43720-8.

[7] Von Eckardstein, S. & Isaksson, K. (декабрь 1991). Kanalmodeller för radiotransmission (Модели каналов для радиопередачи) (магистерская диссертация) требует ( помощь ) (на шведском языке). Стокгольм, Швеция: Королевский технологический институт. |format=|url=

[8] P. Dent, GE Bottomley и T. Croft (24 июня 1993 г.). «Возвращение к исчезающей модели Джейкса». Письма об электронике . 29 (13): 1162–1163. Bibcode : 1993ElL .... 29.1162D . DOI : 10.1049 / эл: 19930777 .

[1]