Аналитическое кручение

В математике, Райдемайстер кручение (или R-кручение , или Райдемайстер-Франц кручение ) является топологическим инвариантом из многообразия введенных Рейдемейстеров ( Райдемайстера 1935 ) для 3-многообразий и обобщенного на более высокие размеры от Wolfgang Franz  ( 1935 ) и Ж. де Рама  ( 1936 ). Аналитическое кручение (или кручение Рэя – Зингера ) является инвариантом римановых многообразий, определенных Дэниелом Б. Рэем иИсадор М. Сингер  ( 1971 , 1973a , 1973b ) как аналитический аналог кручения Рейдемейстера. Джефф Чигер  ( 1977 , 1979 ) и Вернер Мюллер  ( 1978 ) доказали гипотезу Рэя и Зингера о том, что кручение Рейдемейстера и аналитическое кручение одинаковы для компактных римановых многообразий.

Кручение Рейдемейстера было первым инвариантом в алгебраической топологии, который мог различать замкнутые многообразия, которые гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны , и, таким образом, может рассматриваться как рождение геометрической топологии как отдельной области. Его можно использовать для классификации линзовых пространств .

Кручение Рейдемейстера тесно связано с кручением Уайтхеда ; см. ( Milnor 1966 ). Это также дало важную мотивацию арифметической топологии ; см. ( Мазур ). Более свежие работы по кручению см. В книгах ( Тураев, 2002 ) и (Николаеску,  2002 , 2003 ).

Определение аналитического кручения [ править ]

Если М является римановым многообразием и Е векторное расслоение над М , то есть оператор Лапласа , действующий на я -формы со значениями в E . Если собственные значения на i -формах равны λ _j, то дзета-функция ζ _i определяется как

${\ displaystyle \ zeta _ {i} (s) = \ sum _ {\ lambda _ {j}> 0} \ lambda _ {j} ^ {- s}}$

для s большой, и это распространяется на все комплексные s с помощью аналитического продолжения . Дзета-регуляризованный определитель лапласиана, действующего на i -формы, равен

${\ Displaystyle \ Delta _ {я} = \ ехр (- \ zeta _ {я} ^ {\ prime} (0))}$

который формально является произведением положительных собственных значений лапласиана, действующего на i -формы. Аналитическое кручение Т ( М , Е ) определяется как

${\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{i}(-1)^{i}i\zeta _{i}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{i}\Delta _{i}^{-(-1)^{i}i/2}.}$

Определение кручения Рейдемейстера [ править ]

Пусть - конечный связный CW-комплекс с фундаментальной группой и универсальным покрытием , и пусть - ортогональное конечномерное -представление. Предположим, что${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}}))=0}$

для всех п. Если мы зафиксируем клеточный базис для и ортогональный -базис для , то получится стягиваемый конечный базисный комплекс со свободной цепью. Пусть - любое цепное сжатие D _* , т. Е. Для всех . Мы получаем изоморфизм с , . Определим кручение Рейдемейстера${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} [\pi ]}C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle \mathbf {R} }$${\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}$${\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}$${\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,odd}\,D_{n}}$${\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}$

${\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}$

где A - матрица относительно заданных базисов. Кручение Рейдемейстера не зависит от выбора клеточного базиса , ортогонального базиса и сжатия цепи .${\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}$${\displaystyle \rho (X;U)}$${\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \gamma _{*}}$

Пусть - компактное гладкое многообразие, и пусть - унимодулярное представление. имеет плавную триангуляцию. При любом выборе объема мы получаем инвариант . Тогда мы называем положительное вещественное число кручением Рейдемейстера многообразия относительно и .${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}$${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}$${\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mu }$

Краткая история кручения Рейдемейстера [ править ]

Кручение Рейдемейстера было впервые использовано для комбинаторной классификации трехмерных линзовых пространств в ( Reidemeister 1935 ) Рейдемейстером и в многомерных пространствах Францем. Классификация включает примеры гомотопически эквивалентных трехмерных многообразий, которые не являются гомеоморфными - в то время (1935 г.) классификация была только до гомеоморфизма PL , но позже Э. Дж. Броуди ( 1960 ) показал, что на самом деле это была классификация с точностью до гомеоморфизма .

Дж. Х. К. Уайтхед определил "кручение" гомотопической эквивалентности между конечными комплексами. Это прямое обобщение концепции Рейдемейстера, Франца и де Рама; но это более тонкий инвариант. Кручение Уайтхеда обеспечивает ключевой инструмент для изучения комбинаторных или дифференцируемых многообразий с нетривиальной фундаментальной группой и тесно связано с концепцией «простого гомотопического типа», см. ( Milnor 1966 )

В 1960 году Милнор открыл отношение двойственности инвариантов кручения многообразий и показал, что (скрученный) многочлен Александера узлов является кручением Рейдемейстера его узлового дополнения в . ( Милноровская тысяча девятьсот шестьдесят-два ) Для каждого ц в двойственности Пуанкар индуцирует${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle P_{o}}$

${\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}$

и тогда получаем

${\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}$

Центральную роль в них играет представление фундаментальной группы узлового дополнения. Это дает связь между теорией узлов и инвариантами кручения.

Теорема Чигера – Мюллера [ править ]

Пусть - ориентируемое компактное риманово многообразие размерности n и представление фундаментальной группы на вещественном векторном пространстве размерности N. Тогда мы можем определить комплекс де Рама${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}$

и формально сопряжены и из-за плоскостности . Как обычно, мы также получаем лапласиан Ходжа на p-формах ${\displaystyle d_{p}}$${\displaystyle \delta _{p}}$${\displaystyle E_{q}}$

${\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}$

Если предположить , что лапласиан тогда является симметричным положительным полуположительным эллиптическим оператором с чисто точечным спектром${\displaystyle \partial M=0}$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}$

Как и раньше, поэтому мы можем определить дзета - функцию , связанную с лапласианом на по${\displaystyle \Delta _{q}}$${\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}$

${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}$

где - проекция на ядерное пространство лапласиана . Более того, было показано ( Seeley 1967 ), что распространяется на мероморфную функцию , голоморфную в точке .${\displaystyle P}$${\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}$${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}$${\displaystyle \Delta _{q}}$${\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}$${\displaystyle s\in \mathbf {C} }$${\displaystyle s=0}$

Как и в случае ортогонального представления, мы определяем аналитическое кручение как${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}$

${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}$

В 1971 г. Д. Б. Рэй и И. М. Зингер предположили это для любого унитарного представления . Эта гипотеза Рэя – Зингера была в конечном итоге независимо доказана Чигером ( 1977 , 1979 ) и Мюллером (1978) . Оба подхода сосредоточены на логарифме кручений и их следов. Для нечетномерных многообразий это проще, чем для четномерных, что сопряжено с дополнительными техническими трудностями. Эта теорема Чигера – Мюллера (об эквивалентности двух понятий кручения) вместе с теоремой Атьи – Патоди – Зингера позже легла в основу теории возмущений Черна – Саймонса .${\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}$${\displaystyle \rho }$

Доказательство теоремы Чигера-Мюллера для произвольных представлений было позже дано JM Bismut и Weiping Zhang. В их доказательстве используется деформация Виттена .

Ссылки [ править ]

• Bismut, J. -M .; Чжан, У. (1994-03-01), "метрика Милноры и лучевой певец на эквивариантном детерминанте плоского векторного расслоения", Геометрический & Функциональный анализ GAFA , 4 (2): 136-212, DOI : 10.1007 / BF01895837 , ISSN  1420-8970
• Броуди, Е.Ю. (1960), "Топологическая классификация линзовых пространств", Анналы математики , 2, 71 (1): 163-184, DOI : 10,2307 / 1969884 , JSTOR  1969884 , МР  0116336
• Чигер, Джефф (1977), «Аналитическое кручение и кручение Рейдемейстера» , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 74 (7): 2651–2654, Bibcode : 1977PNAS ... 74.2651C , doi : 10.1073 /pnas.74.7.2651 , MR  0451312 , PMC  431228 , PMID  16592411
• Чигера, Джефф (1979), "Аналитическое кручение и уравнение теплопроводности", Анналы математики , 2, 109 (2): 259-322, DOI : 10,2307 / 1971113 , JSTOR  1971113 , МР  0528965
• Франц, Вольфганг (1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 173 : 245–254
• Милнор, Джон (1962), "Теорема двойственности для кручения Рейдемейстера", Анналы математики , 76 (1): 137-138, DOI : 10,2307 / 1970268 , JSTOR  1970268
• Милнор, Джон (1966), "кручение Уайтхеда", Бюллетень Американского математического общества , 72 (3): 358-426, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1966-11484-2 , MR  0196736
• Мищенко, Александр С. (2001) [1994], "Кручение Рейдемейстера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мюллер, Вернер (1978), "Аналитическое кручение и R-кручение риманова многообразия", достижения в области математики , 28 (3): 233-305, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (78) 90116-0 , МР  0498252
• Николаеску, Ливиу И. (2002), Заметки о кручении Рейдемейстера (PDF) Онлайн-книга
• Николаеску, Ливиу И. (2003), кручение Райдемейстера трехмерных многообразий , Исследования де Грюйтера по математике, 30 , Берлин: Вальтер де Грюйтер и Ко, стр. Xiv + 249, DOI : 10.1515 / 9783110198102 , ISBN 3-11-017383-2, MR  1968575
• Ray, Daniel B .; Певец, Изадор М. (1973а), "Аналитические кручения для комплексных многообразий.", Анналы математики , 2, 98 (1): 154-177, DOI : 10,2307 / 1970909 , JSTOR  1970909 , МР  0383463
• Ray, Daniel B .; Сингер, Исадор М. (1973b), "Аналитическое кручение", уравнения с частными производными , Proc. Симпозиумы. Pure Math., XXIII , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 167–181, MR  0339293
• Ray, Daniel B .; Певец, Изадор М. (1971), " R -кручения и лапласиан на римановых многообразиях.", Успехи в математике , 7 (2): 145-210, DOI : 10,1016 / 0001-8708 (71) 90045-4 , М.Р.  0295381
• Рейдемейстер, Курт (1935), «Homotopieringe und Linsenräume», Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург , 11 : 102-109, DOI : 10.1007 / BF02940717
• де Рам, Жорж (1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister", Recueil Mathématique (Математический сборник) , Nouvelle Série, 1 (5): 737–742, Zbl  0016.04501
• Тураев, Владимир (2002), Кручения трехмерных многообразий , Progress in Mathematics, 208 , Basel: Birkhäuser Verlag, стр. X + 196, doi : 10.1007 / 978-3-0348-7999-6 , ISBN 3-7643-6911-6, MR  1958479
• Мазур, Барри . «Замечания о многочлене Александера» (PDF) .
• Сили, RT (1967), «Комплексные степени эллиптического оператора», в Calderón, Alberto P. (ed.), Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) , Proceedings of Symposia in Чистая математика, 10 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 288–307, ISBN. 978-0-8218-1410-9, MR  0237943