Логика релевантности

Актуальность логика , называемая также релевантная логика , является своего рода не- классической логики требуя антецедент и консеквент от последствий быть релевантно связаны. Их можно рассматривать как семейство субструктурных или модальных логик. (Обычно, но не повсеместно, британские и особенно австралийские логики называют релевантной логикой , а американские логики - логикой релевантности .)

Логика релевантности стремится уловить аспекты импликации, которые игнорируются оператором « материальной импликации » в классической функциональной логике истинности , а именно понятие релевантности между антецедентом и условием истинной импликации. Эта идея не нова: К. И. Льюис был вынужден изобрести модальную логику, и особенно строгую импликацию , на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материального подтекста, такие как принцип, согласно которому ложь подразумевает любое предложение . ^{[1] [2]} Следовательно, «если я осел, то два и два равно четырем» истинно при переводе как материальный подтекст, но это кажется интуитивно ложным, поскольку истинный подтекст должен связывать антецедент и следствие неким понятием релевантности. И осел я или нет, кажется, никоим образом не имеет отношения к тому, есть ли два и два четыре.

Как логика релевантности формально фиксирует понятие релевантности? С точки зрения синтаксического ограничения для исчисления высказываний необходимо, но недостаточно, чтобы посылки и заключение имели общие атомарные формулы (формулы, не содержащие никаких логических связок ). В исчислении предикатов релевантность требует разделения переменных и констант между предпосылками и заключением. Это может быть обеспечено (наряду с более строгими условиями), например, путем наложения определенных ограничений на правила системы естественного вывода. В частности, естественный вычет в стиле Fitchмогут быть адаптированы для соответствия релевантности путем введения тегов в конце каждой строки приложения вывода, указывающих на предпосылки, относящиеся к выводу вывода. Генценовский -стиль секвенция исчислений может быть изменено путем удаления правила ослабления , которые позволяют для введения произвольных формул на правой или левой стороне секвенции .

Примечательной особенностью логик релевантности является то, что они являются паранепротиворечивыми логиками : наличие противоречия не вызовет « взрыва ». Это следует из того факта, что условное выражение с противоречивым антецедентом, которое не разделяет пропозициональных или предикатных букв с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).

История [ править ]

Логика релевантности была предложена в 1928 г. русским советским философом Иваном Е. Орловым (1886 - около 1936 г.) в его строго математической статье «Логика совместимости предложений», опубликованной в «Математическом сборнике». Основная идея релевантной импликации появляется в средневековой логике, а некоторые новаторская работа была сделана Аккерман , ^[3] Мох , ^[4] и Церковь ^[5] в 1950 - х годах. Опираясь на них, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (вместе с другими) написали величайший труд на эту тему, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity.в 1970-е годы (второй том выходит в девяностые годы). Они сосредоточились как на системах следования, так и на системах релевантности, где следствия первых видов должны быть как релевантными, так и необходимыми.

Аксиомы [ править ]

Первые разработки логики релевантности были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Рутли – Мейера выявило ряд более слабых логик. Самой слабой из этих логик является логика релевантности B. Она аксиоматизирована следующими аксиомами и правилами.

1. ${\ Displaystyle от А \ до А}$
2. ${\ displaystyle A \ land B \ to A}$
3. ${\ displaystyle A \ land B \ to B}$
4. ${\ Displaystyle (от А \ к В) \ земля (от А \ к С) \ к (от А \ к В \ земля С)}$
5. ${\ displaystyle A \ to A \ lor B}$
6. ${\ Displaystyle B \ к A \ lor B}$
7. ${\ Displaystyle (от А \ к С) \ земля (В \ к С) \ к (А \ лор В \ к С)}$
8. ${\ Displaystyle А \ земля (В \ лор С) \ к (А \ земля В) \ лор (А \ земля С)}$
9. ${\ Displaystyle \ lnot \ lnot от А \ до А}$

Правила следующие.

1. ${\ displaystyle A, A \ to B \ vdash B}$
2. ${\ displaystyle A, B \ vdash A \ land B}$
3. ${\ Displaystyle А \ к В \ vdash (С \ к А) \ к (С \ к В)}$
4. ${\displaystyle A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)}$
5. ${\displaystyle A\to B\vdash \lnot B\to \lnot A}$

Более сильную логику можно получить, добавив любую из следующих аксиом.

1. ${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
2. ${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
3. ${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
4. ${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
5. ${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
6. ${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
7. ${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
8. ${\displaystyle (A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))}$
9. ${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
10. ${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
11. ${\displaystyle A\lor \lnot A}$
12. ${\displaystyle A\to (A\to A)}$

Есть некоторые известные логики, более сильные, чем B, которые могут быть получены путем добавления аксиом к B следующим образом.

• Для DW добавьте аксиому 1.
• Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
• Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
• Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Для R добавьте аксиомы 1-11.
• Для E добавьте аксиомы 1-7, 10, 11 , и , где определено как .${\displaystyle ((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C}$${\displaystyle \Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)}$${\displaystyle \Box A}$${\displaystyle (A\to A)\to A}$
• Для RM добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели [ править ]

Модели Рутли-Мейера [ править ]

Стандартная теория моделей для логики релевантности - это тернарно-реляционная семантика Рутли-Мейера, разработанная Ричардом Рутли и Робертом Мейером . Фрейм Раутли – Мейера F для языка высказываний - это четверка (W, R, *, 0), где W - непустое множество, R - тернарное отношение на W, а * - функция из W в W, и . Модель Рутли-Мейера M представляет собой фрейм Раутли-Мейера F вместе с оценкой , которая присваивает значение истинности каждому элементарному предложению относительно каждой точки . На фреймы Рутли-Мейера накладываются некоторые условия. Определите как .${\displaystyle 0\in W}$${\displaystyle \Vdash }$${\displaystyle a\in W}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle R0ab}$

• ${\displaystyle a\leq a}$.
• Если и , то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$
• Если и , то .${\displaystyle d\leq a}$${\displaystyle Rabc}$${\displaystyle Rdbc}$
• ${\displaystyle a^{**}=a}$.
• Если , то .${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b^{*}\leq a^{*}}$

Напишите и, чтобы указать, что формула верна или неверна, соответственно, в точке в . Одним из последних условий моделей Рутли-Мейера является условие наследственности.${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle M,a\nVdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle M}$

• Если и , то для всех атомарных предложений .${\displaystyle M,a\Vdash p}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash p}$${\displaystyle p}$

С помощью индуктивного аргумента можно показать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя следующие условия истинности.

• Если и , то для всех формул .${\displaystyle M,a\Vdash A}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle A}$

Условия истинности сложных формул следующие.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$ или же ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A}$

Формула держится в модели на всякий случай . Формула верна для фрейма тогда и только тогда, когда A выполняется в каждой модели . Формула действительна в классе фреймов тогда и только тогда, когда A выполняется для каждого фрейма в этом классе. Класс всех фреймов Рутли-Мейера, удовлетворяющих указанным выше условиям, подтверждает эту логику релевантности B. Можно получить фреймы Рутли-Мейера для других логик релевантности, наложив соответствующие ограничения на R и *. Эти условия легче сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Позвольте быть определено как , и пусть будет определено как . Некоторые из условий фрейма и аксиом, которые они подтверждают, следующие.${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,\Vdash )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Rabcd}$${\displaystyle \exists x(Rabx\land Rxcd)}$${\displaystyle Ra(bc)d}$${\displaystyle \exists x(Rbcx\land Raxd)}$

Имя	Состояние рамы	Аксиома
Псевдо-модус поненс	${\displaystyle Raaa}$	${\displaystyle (A\land (A\to B))\to B}$
Префикс	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))}$
Суффикс	${\displaystyle Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d}$	${\displaystyle (A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))}$
Сокращение	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rabbc}$	${\displaystyle (A\to (A\to B))\to (A\to B)}$
Конъюнктивный силлогизм	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Ra(ab)c}$	${\displaystyle (A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)}$
Утверждение	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rbac}$	${\displaystyle A\to ((A\to B)\to B)}$
Аксиома E	${\displaystyle Ra0a}$	${\displaystyle ((A\to A)\to B)\to B}$
Аксиома смешивания	${\displaystyle Rabc\Rightarrow a\leq c}$ или же ${\displaystyle b\leq c}$	${\displaystyle A\to (A\to A)}$
Reductio	${\displaystyle Raa^{*}a}$	${\displaystyle (A\to \lnot A)\to \lnot A}$
Противопоставление	${\displaystyle Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}}$	${\displaystyle (A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)}$
Исключенный средний	${\displaystyle 0^{*}\leq 0}$	${\displaystyle A\lor \lnot A}$
Строгое ослабление импликации	${\displaystyle 0\leq a}$	${\displaystyle A\to (B\to B)}$
Ослабление	${\displaystyle Rabc\Rightarrow b\leq c}$	${\displaystyle A\to (B\to A)}$

Последние два условия подтверждают формы ослабления, избежать которых изначально была разработана логика релевантности. Они включены, чтобы показать гибкость моделей Рутли – Мейера.

Операционные модели [ править ]

Модели Уркхарта [ править ]

Операционные модели для свободных от отрицания фрагментов логики релевантности были разработаны Аласдером Уркартом в его докторской диссертации и в последующей работе. Интуитивная идея, лежащая в основе операционных моделей, заключается в том, что точки в модели представляют собой фрагменты информации, а объединение информации, поддерживающей условное выражение, с информацией, поддерживающей его антецедент, дает некоторую информацию, поддерживающую консеквент. Поскольку операционные модели обычно не интерпретируют отрицание, в этом разделе будут рассмотрены только языки с условным выражением, соединением и дизъюнкцией.

Операционный фрейм - это тройка , где - непустое множество , и - бинарная операция над . У фреймов есть условия, некоторые из которых могут быть отброшены для моделирования другой логики. Условия, предложенные Уркартом для моделирования условной логики релевантности R, заключаются в следующем.${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle x\cdot x=x}$
• ${\displaystyle (x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)}$
• ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x}$
• ${\displaystyle 0\cdot x=x}$

В этих условиях операционный каркас представляет собой полурешетку соединения .

Операционная модель - это рамка с оценкой, которая отображает пары точек и атомарных предложений на значения истинности, T или F. могут быть расширены до оценки по сложным формулам следующим образом.${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, для атомарных предложений
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$ или же ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Формула верна в модели тогда и только тогда . Формула действительна в классе моделей, если и только если она выполняется в каждой модели .${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

Условный фрагмент R корректен и полон по отношению к классу полурешеточных моделей. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией в собственном смысле сильнее, чем условный, конъюнктивный, дизъюнкционный фрагмент R. В частности, формула действительна для операционных моделей, но недействительна в R. Логика, сгенерированная операционными моделями для R, имеет полную система аксиоматических доказательств, причитающаяся Китаю Файну и Джеральду Чарлвуду. Чарлвуд также предоставил естественную систему вывода для логики, которая, как он доказал, эквивалентна аксиоматической системе. Чарлвуд показал, что его естественная система дедукции эквивалентна системе, предложенной Дагом Правитцем .${\displaystyle (A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)}$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного Е добавления непустого множества миров и доступность отношения на к кадрам. Отношение доступности должно быть рефлексивным и транзитивным, чтобы уловить идею о том, что условное выражение E имеет необходимость S4. Затем оценки отображают тройки элементарных предложений, точек и миров в значения истинности. Условие истинности для условного изменяется на следующее. ${\displaystyle W}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle W\times W}$

• ${\displaystyle M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)}$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условного оператора T путем добавления отношения on . Отношение должно удовлетворять следующим условиям.${\displaystyle \leq }$${\displaystyle K\times K}$

• ${\displaystyle 0\leq x}$
• Если и , то${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\leq z}$${\displaystyle x\leq z}$
• Если , то${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\cdot z\leq y\cdot z}$

Условие истинности для условного изменяется на следующее.

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Есть два способа смоделировать логику релевантности TW и RW без сжатия с помощью операционных моделей. Первый способ - отказаться от условия that . Второй способ - сохранить условия полурешетки на фреймах и добавить к фрейму бинарное отношение дизъюнкции. Для этих моделей условия истинности для условного выражения изменены на следующие, с добавлением порядка в случае TW.${\displaystyle x\cdot x=x}$${\displaystyle J}$

• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Модели Хамберстоуна [ править ]

Уркарт показал, что полурешеточная логика для R собственно сильнее, чем положительный фрагмент Р. Ллойд Хамберстон предоставил обогащение операционных моделей, которые допускали другое условие истинности для дизъюнкции. Полученный класс моделей порождает в точности положительный фрагмент R.

Операционный фрейм - это четверка , где - непустое множество , и { , } - бинарные операции над . Позвольте быть определено как . Условия кадра следующие.${\displaystyle F}$${\displaystyle (K,\cdot ,+,0)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle 0\in K}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle +}$${\displaystyle K}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle \exists x(a+x=b)}$

Операционная модель - это рамка с оценкой, которая отображает пары точек и атомарных предложений на значения истинности, T или F. могут быть расширены до оценки по сложным формулам следующим образом.${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Vdash }$

• ${\displaystyle M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T}$, для атомарных предложений
• ${\displaystyle M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p}$ и ${\displaystyle M,b\Vdash p}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A}$ и ${\displaystyle M,a\Vdash B}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A}$или или ; и${\displaystyle M,a\Vdash B}$${\displaystyle \exists b,c(a=b+c}$${\displaystyle M,b\Vdash A}$${\displaystyle M,c\Vdash B)}$
• ${\displaystyle M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)}$

Формула верна в модели тогда и только тогда . Формула действительна в классе моделей, если и только если она выполняется в каждой модели .${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M,0\Vdash A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M\in C}$

Положительный фрагмент R здоров и полон по отношению к классу этих моделей. Семантика Хамберстоуна может быть адаптирована для моделирования различных логик путем удаления или добавления условий кадра следующим образом.

Алгебраические модели [ править ]

Некоторым логикам релевантности могут быть заданы алгебраические модели, такие как логика R. Алгебраические структуры для R - это моноиды де Моргана , которые являются шестерками, где${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)}$

• ${\displaystyle (D,\land ,\lor ,\lnot )}$является распределительной решеткой с унарной операцией, подчиняющейся законам, а если то ;${\displaystyle \lnot }$${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \lnot y\leq \lnot x}$
• ${\displaystyle e\in D}$, Бинарная операция является коммутативной ( ) и ассоциативно ( ), и , т.е. является абелевым моноидом с идентичностью ;${\displaystyle \circ }$${\displaystyle x\circ y=y\circ x}$${\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)}$${\displaystyle e\circ x=x}$${\displaystyle (D,\circ ,e)}$ ${\displaystyle e}$
• моноид решеточно упорядочен и удовлетворяет ;${\displaystyle x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)}$
• ${\displaystyle x\leq x\circ x}$; и
• если , то .${\displaystyle x\circ y\leq z}$${\displaystyle x\circ \lnot z\leq \lnot y}$

Операция интерпретации условного оператора R определяется как . Моноид де Моргана представляет собой решетку с делениями , удовлетворяющую следующему условию вычетов. ${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle \lnot (x\circ \lnot y)}$

${\displaystyle x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z}$

Интерпретация - это гомоморфизм языка высказываний на моноид де Моргана такой, что ${\displaystyle v}$${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle v(p)\in D}$ для всех атомарных предложений,
• ${\displaystyle v(\lnot A)=\lnot v(A)}$
• ${\displaystyle v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\land B)=v(A)\land v(B)}$
• ${\displaystyle v(A\to B)=v(A)\to v(B)}$

Учитывая моноид де Моргана и интерпретацию , можно сказать, что формула остается в силе на всякий случай . Формула действительна только в том случае, если она верна для всех интерпретаций на всех моноидах де Моргана. Логика R верна и полна для моноидов де Моргана.${\displaystyle M}$${\displaystyle v}$${\displaystyle A}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e\leq v(A)}$${\displaystyle A}$

См. Также [ править ]

• Non sequitur (логика)
• Соответствующий тип системы , субструктурные тип системы

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Алан Росс Андерсон и Нуэль Белнап , 1975. Вмешательство: логика релевантности и необходимости, т. Я . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-07192-6 
• ------- и JM Dunn, 1992. Вмешательство: логика релевантности и необходимости, т. II , Princeton University Press.
• Марес, Эдвин и Мейер, РК, 2001, «Соответствующая логика», в Гобле, Лу, изд., Блэквелл: Руководство по философской логике . Блэквелл.
• Ричард Рутли, Вэл Пламвуд, Роберт К. Мейер и Росс Т. Брэди. Актуальные логики и их соперники . Риджвью, 1982.
• Р. Брэди (редактор), Соответствующие логики и их соперники (Том II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
• Уркхарт, Аласдер (1972). «Семантика релевантных логик» (PDF) . Журнал символической логики . 37 : 159–169. DOI : 10.2307 / 2272559 .
• Аласдер Уркхарт. Семантика вовлечения . Кандидатская диссертация, Питтсбургский университет, 1972 год.
• Каталин Бимбо , Логика релевантности, в Философии логики , Д. Жакетт (ред.), (Том 5 Справочника по философии науки , Д. Габбей, П. Тагард, Дж. Вудс (ред.)), Эльзевир (Север. -Holland), 2006, с. 723–789.
• Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл. Логика релевантности. В Справочнике по философской логике , том 6, Ф. Гентнер и Д. Габбей (ред.), Дордрехт: Kluwer, 2002, стр. 1–136.
• Стивен Рид, Актуальная логика , Оксфорд: Блэквелл, 1988.
• Хамберстон, Ллойд (1987). «Операционная семантика для положительного R» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . 29 (1): 61–80. DOI : 10.1305 / ndjfl / 1093637771 .

Внешние ссылки [ править ]

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Логика релевантности » - Эдвин Марес.
• « Логика релевантности » - Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл.
• Актуальная логика - Стивен Рид