Резольвент (теория Галуа)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории Галуа , дисциплине в области абстрактной алгебры , резольвента для группы перестановок G - это многочлен , коэффициенты которого полиномиально зависят от коэффициентов данного многочлена p и имеет, грубо говоря, рациональный корень тогда и только тогда, когда уравнение Галуа группа из р входит в G . Точнее, если группа Галуа входит в G , то резольвента имеет рациональный корень, и обратное верно, если рациональный корень является простым корнем . Резольвенты были введены Жозеф Луи Лагранж и систематически использовал Эварист Галуа . В настоящее время они по-прежнему являются основным инструментом для вычисления групп Галуа . Простейшие примеры резольвент:

• ${\ displaystyle X ^ {2} - \ Delta}$где - дискриминант , являющийся резольвентой знакопеременной группы . В случае кубического уравнения эту резольвенту иногда называют квадратичной резольвентой ; его корни явно фигурируют в формулах корней кубического уравнения.${\ displaystyle \ Delta}$
• Кубические резольвентный из уравнения четвертого степени , которая является резольвентной для двугранной группы из 8 элементов.
• Резольвентные Кэли является резольвентной для максимальных подбивать Галуа групп в пятой степени. Это полином шестой степени.

Эти три резольвенты обладают свойством всегда быть отделимыми , что означает, что если они имеют кратный корень, то многочлен p не является неприводимым. Неизвестно, существует ли всегда разделимая резольвента для каждой группы перестановок.

Для любого уравнения корни могут быть выражены через радикалы и корень резольвенты для разрешимой группы, потому что группа Галуа уравнения над полем, порожденным этим корнем, разрешима.

Определение [ править ]

Пусть n будет положительным целым числом, которое будет степенью уравнения, которое мы будем рассматривать, и ( X ₁ , ..., X _n ) - упорядоченный список неопределенных . Это определяет общий многочлен степени  n

${\ Displaystyle F (X) = X ^ {n} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {i} E_ {i} X ^ {ni} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X-X_ {i}),}$

где E _i - i- ^й элементарный симметричный многочлен .

Симметричная группа S _п действует на X _я перестановка их, и это индуцирует действие на многочленах в X _я . Стабилизатор данного многочлена при этом действиях , как правило , тривиален, но некоторые многочлены имеют больший стабилизатор. Например, стабилизатором элементарного симметрического многочлена является вся группа S _n . Если стабилизатор нетривиален, многочлен фиксируется некоторой нетривиальной подгруппой G ; говорится об инвариант из G . Наоборот, для подгруппы G группы S _n инвариант группыG является резольвентным инвариантом для G, если он не является инвариантом какой-либо большей подгруппы в S _n . ^[1]

Найти инварианты для данной подгруппы G в S _n относительно легко; можно просуммировать орбиту монома под действием S _n . Однако может случиться так, что полученный многочлен будет инвариантом для большей группы. Например, рассмотрим случай подгруппы G группы S ₄ порядка 4, состоящей из (12) (34) , (13) (24) , (14) (23) и единицы (обозначения см. В разделе Группа перестановок ). Моном X ₁ X ₂ дает инвариант 2 ( X ₁ X₂  +  Х ₃ Х ₄ ) . Это не резольвентное инвариант для G , как инвариант (12) , на самом деле, это резольвентное инвариант для двуграннога подгруппы ⟨(12), (1324)⟩ , и используется для определения резольвенты кубической из квартика уравнение .

Если Р является резольвентным инвариантным для группы G с индексом т , то его орбиты под S _п имеет порядок т . Пусть P ₁ , ..., P _m - элементы этой орбиты. Тогда многочлен

${\displaystyle R_{G}=\prod _{i=1}^{m}(Y-P_{i})}$

инвариантен относительно S _n . Таким образом, при раскрытии его коэффициенты являются многочленами от X _i , которые инвариантны относительно действия группы симметрии и, таким образом, могут быть выражены как многочлены от элементарных симметричных многочленов. Другими словами, R _G представляет собой неприводимый многочлен в Y , коэффициенты которого являются многочленом коэффициентов F . Имея в качестве корня инвариант резольвенты, она называется резольвентой (иногда резольвентным уравнением ).

Рассмотрим теперь неприводимый многочлен

${\displaystyle f(X)=X^{n}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}X^{n-i}=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),}$

с коэффициентами в данном поле K (обычно поле рациональных чисел ) и корнями x _i в алгебраически замкнутом расширении поля . Подставляя X _я в й _я и коэффициентах F тех из F в то , что предшествует, мы получим многочлен , называемую также резольвенту или специализированные резольвенты в случае неясности). Если группа Галуа функции f содержится в G , специализация резольвентного инварианта инвариантна G${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$и, таким образом, является корнем того, что принадлежит K (рационально на K ). И наоборот, если имеет рациональный корень, который не является кратным корнем, группа Галуа F содержится в G .${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$${\displaystyle R_{G}^{(f)}(Y)}$

Терминология [ править ]

Есть несколько вариантов терминологии.

• В зависимости от авторов или контекста резольвента может относиться к инварианту резольвенты, а не к уравнению резольвенты .
• Галуа резольвентное является резольвентной таким образом, что резольвентное инвариант является линейным в корнях.
• Резольвенты Лагранжа может относиться к линейному полиномом

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}X_{i}\omega ^{i}}$

где - примитивный корень n- й степени из единицы . Это резольвентный инвариант резольвенты Галуа для группы идентичностей.${\displaystyle \omega }$

• Относительно резольвентное определяется аналогично резольвентным, но учитывая только действие элементов данной подгруппы Н из S _п , обладающие тем свойством , что если относительная резольвентное для подгруппы G из H имеет рациональный корень простой и Галуа группа F содержится в H , то группа Галуа F содержится в G . В этом контексте обычная резольвента называется абсолютной резольвентой .

Резольвентный метод [ править ]

Группа Галуа многочлена степени является его собственной подгруппой. Если многочлен отделим и неприводим, то соответствующая группа Галуа является транзитивной подгруппой.${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$

Транзитивные подгруппы образуют ориентированный граф: одна группа может быть подгруппой нескольких групп. Одна резольвента может сказать, является ли группа Галуа многочлена (не обязательно собственной) подгруппой данной группы. Метод резольвенты - это просто систематический способ проверки групп одну за другой, пока не станет возможной только одна группа. Это не означает, что необходимо проверять каждую группу: каждая резольвента может аннулировать множество возможных групп. Например, для многочленов пятой степени никогда не требуется резольвента : резольвенты и дают желаемую информацию.${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle D_{5}}$${\displaystyle A_{5}}$${\displaystyle M_{20}}$

Один из способов - начать с максимальных (транзитивных) подгрупп до тех пор, пока не будет найдена правая, а затем продолжить с максимальных подгрупп из нее.

Ссылки [ править ]

• Диксон, Леонард Э. (1959). Алгебраические теории . Нью-Йорк: Dover Publications Inc., стр. ix + 276. ISBN 0-486-49573-6.
• Гирстмэр, К. (1983). «О вычислении резольвент и групп Галуа». Manuscripta Mathematica . 43 (2–3): 289–307. DOI : 10.1007 / BF01165834 . S2CID  123752910 .