Проблема трех тел

Примерные траектории трех одинаковых тел, расположенных в вершинах разностороннего треугольника и имеющих нулевые начальные скорости. Видно, что центр масс в соответствии с законом сохранения количества движения остается на месте.

В физике и классической механики , то задача трех тел является проблема принятия начальных положения и скорости (или импульсы ) трех точечных масс и решения для их последующего движения в соответствии с законами Ньютона и закон Ньютона всемирного тяготения . ^[1] Задача трех тел является частным случаем проблемы n тел . В отличие от проблем двух тел , нет вообще замкнутой форме раствора не существует, ^[1] , поскольку в результате чего динамическая система является хаотичным для большинстваначальные условия и численные методы обычно требуются.

Исторически первой конкретной проблемой трех тел, получившей расширенное исследование, была проблема, связанная с Луной , Землей и Солнцем . ^[2] В расширенном современном смысле проблема трех тел - это любая проблема классической механики или квантовой механики, которая моделирует движение трех частиц.

Математическое описание [ править ]

Математическая постановка задачи трех тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения для векторных положений трех гравитационно взаимодействующих тел с массами :${\ Displaystyle \ mathbf {r_ {i}} = (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$${\ displaystyle m_ {i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}}$

где - гравитационная постоянная . ^{[3] [4]} Это набор из 9 дифференциальных уравнений второго порядка . Проблема также может быть сформулирована эквивалентно в гамильтоновом формализме , и в этом случае она описывается набором из 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждой компоненты положений и импульсов :${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbf {r_{i}} }$${\displaystyle \mathbf {p_{i}} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},}$

где есть гамильтониан :${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.}$

В данном случае это просто полная энергия системы, гравитационная плюс кинетическая.${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Ограниченная задача трех тел [ править ]

В ограниченной задаче трех тел , ^[3] тела ничтожно малой массы (далее «планетоидом») перемещается под воздействием двух массивных тел. Имея пренебрежимо малую массу, силой, которую планетоид оказывает на два массивных тела, можно пренебречь, и система может быть проанализирована и, следовательно, может быть описана в терминах движения двух тел. Обычно считается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг центра масс , и предполагается, что планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами.

Ограниченную задачу трех тел легче анализировать теоретически, чем полную задачу. Это также представляет практический интерес, поскольку точно описывает многие проблемы реального мира, наиболее важным примером является система Земля – Луна – Солнце. По этим причинам он сыграл важную роль в историческом развитии проблемы трех тел.

Математически задача формулируется следующим образом. Позвольте быть массами двух массивных тел с (плоскими) координатами и , и пусть быть координатами планетоида. Для простоты выберите такие единицы измерения, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны . Тогда движение планетоида определяется выражением${\displaystyle m_{1,2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}}\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}}$

где . В таком виде уравнения движения несут явную зависимость от времени через координаты . Однако эта зависимость от времени может быть устранена путем преобразования во вращающуюся систему отсчета, что упрощает любой последующий анализ.${\displaystyle r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}}$${\displaystyle x_{i}(t),y_{i}(t)}$

Решения [ править ]

Общее решение [ править ]

Не существует общего решения в замкнутой форме у задачи трех тел ^{[1], что} означает, что не существует общего решения, которое может быть выражено в терминах конечного числа стандартных математических операций. Причем движение трех тел обычно не повторяется, за исключением особых случаев. ^[5]

Однако в 1912 году финский математик Карл Фритьоф Сундман доказал, что существует аналитическое решение задачи трех тел в виде степенного ряда по степеням t ^1/3 . ^[6] Этот ряд сходится для всех вещественных t , за исключением начальных условий, соответствующих нулевому угловому моменту. На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом редки, имея нулевую меру Лебега .

Важным моментом при доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей особенности. Поэтому необходимо изучить возможные особенности задач трех тел. Как будет кратко обсуждено ниже, единственными особенностями в задаче трех тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент времени) и тройные столкновения (столкновения трех частиц в один момент времени).

Столкновения, будь то двоичные или тройные (фактически любое число), в некоторой степени маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий нулевой меры. Однако не существует известного критерия, который можно было бы применить к начальному состоянию, чтобы избежать коллизий для соответствующего решения. Итак, стратегия Сундмана состояла из следующих шагов:

1. Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами двоичного столкновения в процессе, известном как регуляризация .
2. Доказательство того, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент L обращается в нуль. Ограничив начальные данные до L ≠ 0 , он удалил все действительные особенности из преобразованных уравнений задачи трех тел.
3. Показано, что если L ≠ 0 , то не только не может быть тройного столкновения, но система строго отделена от тройного столкновения. Из этого следует, используя Коши «s теоремы существования для дифференциальных уравнений, что не существует никаких сложных особенностей в полосе ( в зависимости от величины L ) в комплексной плоскости вокруг вещественной оси (оттенки Ковалевской ).
4. Найдите конформное преобразование, которое отображает эту полосу на единичный диск. Например, если s = t ^1/3 (новая переменная после регуляризации) и если | ln s | ≤ β , ^{[ требуется пояснение ],} то это отображение имеет вид

${\displaystyle \sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.}$

Это завершает доказательство теоремы Сундмана.

К сожалению, соответствующий ряд очень медленно сходится. То есть для получения значимой точности требуется столько терминов, что это решение практически не имеет смысла. Действительно, в 1930 году Дэвид Белориски подсчитал, что если бы ряд Сундмана использовался для астрономических наблюдений, то в вычислениях потребовалось бы не менее 10^{8 000 000} терминов. ^[7]

Особые решения [ править ]

В 1767 году Леонард Эйлер нашел три семейства периодических решений, в которых три массы коллинеарны в каждый момент времени. См. Проблему трех тел Эйлера .

В 1772 году Лагранж нашел семейство решений, в которых три массы образуют равносторонний треугольник в каждый момент времени. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют центральные конфигурации для задачи трех тел. Эти решения справедливы для любых соотношений масс, и массы движутся по кеплеровским эллипсам . Эти четыре семейства являются единственными известными решениями, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трех тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчета, вращающейся вместе с главными элементами, становятся точками, которые обозначаются как L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ и L _5., и называются лагранжевыми точками , причем L ₄ и L ₅ являются симметричными экземплярами решения Лагранжа.

В работе, подведенной в 1892–1899 гг., Анри Пуанкаре установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трех тел, а также методы продолжения этих решений в общую задачу трех тел.

В 1893 году Мейсель сформулировал то, что сейчас называется проблемой трех тел Пифагора: три массы в соотношении 3: 4: 5 покоятся в вершинах прямоугольного треугольника 3: 4: 5 . Буррау ^[8] дополнительно исследовал эту проблему в 1913 году. В 1967 году Виктор Себехели и Ч. Фредерик Петерс установили возможный выход из этой проблемы с помощью численного интегрирования и в то же время нашли близкое периодическое решение. ^[9]

В 1970-х годах Мишель Энон и Роджер А. Бруке нашли набор решений, которые составляют часть одного и того же семейства решений: семейства Бруке – Энона – Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут иметь как ретроградные, так и прямые формы. В некоторых решениях Бруке два тела движутся по одному и тому же пути. ^[10]

В 1993 году физик Крис Мур из Института Санта-Фе численно обнаружил решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися вокруг формы восьмерки . ^[12] Его формальное существование было позже доказано в 2000 году математиками Аленом Шенсинером и Ричардом Монтгомери. ^{[13] [14]} Решение было показано численно устойчиво для малых возмущений массы и параметров орбиты, что поднимает интригующую возможность того, что такие орбиты могут наблюдаться в физической вселенной. Однако утверждалось, что это событие маловероятно, поскольку область стабильности мала. Например, вероятность события бинарно-бинарного рассеяния ^{[требуется уточнение ], в}результате чего орбита в форме восьмерки оценивается как небольшая часть в 1%. ^[15]

В 2013 году физики Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде обнаружили 13 новых семейств решений задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^{[5] [10]}

В 2015 году физик Ана Худомал обнаружила 14 новых семейств решений задачи трех тел с равными массами и нулевым угловым моментом. ^[16]

В 2017 году исследователи Сяомин Ли и Шицзюнь Ляо обнаружили 669 новых периодических орбит задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. ^[17] За этим последовало еще 1223 новых решения для системы неравных масс с нулевым импульсом. ^[18]

В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях проблемы трех тел неравной массы "свободного падения". ^[19] Формулировка задачи о трех телах в свободном падении начинается с того, что все три тела находятся в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутой «петле», а движутся вперед и назад по открытой «дорожке».

Численные подходы [ править ]

С помощью компьютера проблема может быть решена с произвольно высокой точностью с помощью численного интегрирования, хотя высокая точность требует большого количества процессорного времени. В 2019 году Брин и др. анонсировал быстрый решатель нейронной сети , обученный с помощью числового интегратора. ^[20]

История [ править ]

Проблема гравитации трех тел в ее традиционном понимании по существу восходит к 1687 году, когда Исаак Ньютон опубликовал свои « Начала» ( Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ). В предложении 66 книги 1 Принципов и его 22 следствиях Ньютон сделал первые шаги в определении и изучении проблемы движений трех массивных тел, подверженных их взаимно возмущающему гравитационному притяжению. В предложениях 25–35 Книги 3 Ньютон также сделал первые шаги в применении своих результатов предложения 66 к теории Луны , движению Луны под гравитационным влиянием Земли и Солнца.

Физическая проблема была рассмотрена Америго Веспуччи, а затем Галилео Галилей ; В 1499 году Веспуччи использовал знание положения Луны, чтобы определить свое положение в Бразилии. Это приобрело техническое значение в 1720-х годах, поскольку точное решение могло быть применимо к навигации, особенно для определения долготы в море , что было решено на практике изобретением Джоном Харрисоном морского хронометра . Однако точность лунной теории была низкой из-за возмущающего воздействия Солнца и планет на движение Луны вокруг Земли.

Жан ле Ронд д'Аламбер и Алексис Клеро , которые давно стали соперниками, оба попытались проанализировать проблему в некоторой степени; они представили свои конкурирующие первые анализы в Королевскую академию наук в 1747 году. ^[21] Именно в связи с их исследованиями в Париже в 1740-х годах возникло название «проблема трех тел» ( французский язык : Problème des trois Corps ). для повсеместного использования. Отчет, опубликованный в 1761 году Жаном ле Рондом д'Аламбером, указывает на то, что это имя впервые было использовано в 1747 году ^[22].

Другие проблемы, связанные с тремя телами [ править ]

Термин «проблема трех тел» иногда используется в более общем смысле для обозначения любой физической проблемы, связанной с взаимодействием трех тел.

Квантово-механическим аналогом гравитационной задачи трех тел в классической механике является атом гелия , в котором ядро гелия и два электрона взаимодействуют согласно кулоновскому взаимодействию обратных квадратов . Как и гравитационная проблема трех тел, атом гелия не может быть решен точно. ^[23]

Однако как в классической, так и в квантовой механике существуют нетривиальные законы взаимодействия помимо силы обратных квадратов, которые действительно приводят к точным аналитическим решениям трех тел. Одна такая модель состоит из комбинации гармонического притяжения и силы обратного куба отталкивания. ^[24] Эта модель считается нетривиальной, поскольку она связана с набором нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих особенности (по сравнению, например, с одними только гармоническими взаимодействиями, которые приводят к легко решаемой системе линейных дифференциальных уравнений). В этих двух отношениях он аналогичен (неразрешимым) моделям, имеющим кулоновские взаимодействия, и в результате был предложен в качестве инструмента для интуитивного понимания физических систем, таких как атом гелия. ^{[24] [25]}

Гравитационная задача трех тел также изучалась с помощью общей теории относительности . С физической точки зрения релятивистский подход становится необходимым в системах с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры . Однако релятивистская проблема значительно сложнее, чем в механике Ньютона, и требуются сложные численные методы . Даже полная задача двух тел (т.е. для произвольного отношения масс) не имеет строгого аналитического решения в общей теории относительности. ^[26]

п -Боди проблема [ править ]

Задача трех тел - это частный случай задачи n тел , которая описывает, как n объектов будут двигаться под действием одной из физических сил, например гравитации. Эти проблемы имеют глобальное аналитическое решение в виде сходящихся степенных рядов, как было доказано Карлом Ф. Сундманом для n = 3 и Qiudong Wang для n > 3 (подробности см. В задаче с n телами ). Однако ряды Сундмана и Ванга сходятся настолько медленно, что бесполезны для практических целей; ^[27] поэтому в настоящее время необходимо аппроксимировать решения численным анализом в видечисленное интегрирование или, в некоторых случаях, приближения классических тригонометрических рядов (см. моделирование n- тела ). Атомные системы, например атомы, ионы и молекулы, можно рассматривать в терминах проблемы квантовых n- тел. Среди классических физических систем проблема n- тел обычно относится к галактике или скоплению галактик ; планетные системы, такие как звезды, планеты и их спутники, также можно рассматривать как системы n тел. Некоторые приложения удобно рассматривать с помощью возмущения теория, в которой система рассматривается как задача двух тел плюс дополнительные силы, вызывающие отклонения от гипотетической невозмущенной траектории двух тел.

В популярной культуре [ править ]

Первый том трилогии китайского автора Лю Цисиня « Воспоминания о прошлом Земли» называется « Проблема трех тел» и представляет проблему трех тел в качестве центрального сюжетного устройства. ^[28]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Физики открыли 13 потрясающих новых решений проблемы трех тел ( наука )