Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( ноябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В Рейнольдс-усредненные уравнения Навье-Стокса (или АДЭ уравнения) являются усредненный по времени ^[а] уравнения движения для потока текучей среды . Идея, лежащая в основе уравнений, - это разложение Рейнольдса , при котором мгновенная величина разлагается на ее усредненные по времени и флуктуирующие величины, идея, впервые предложенная Осборном Рейнольдсом . ^[1] Уравнения RANS в основном используются для описания турбулентных течений . Эти уравнения могут использоваться с приближениями, основанными на знании свойств турбулентности потока, для получения приближенных усредненных по времени решений уравнений Навье – Стокса . Дляпри стационарном течении несжимаемой ньютоновской жидкости эти уравнения могут быть записаны в обозначениях Эйнштейна в декартовых координатах как:

\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].

Левая часть этого уравнения представляет собой изменение среднего количества движения элемента жидкости из-за неустойчивости среднего потока и конвекции из-за среднего потока. Это изменение уравновешивается средней объемной силой, изотропным напряжением из-за поля среднего давления, вязкими напряжениями и кажущимся напряжением из-за флуктуирующего поля скорости, обычно называемого напряжением Рейнольдса . Этот нелинейный член напряжения Рейнольдса требует дополнительного моделирования, чтобы закрыть уравнение RANS для решения, и привело к созданию множества различных моделей турбулентности . Оператор среднего времени - это оператор Рейнольдса . $\left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)$ ${\overline {.}}$

Вывод уравнений RANS [ править ]

Основным инструментом, необходимым для вывода уравнений RANS из мгновенных уравнений Навье – Стокса, является разложение Рейнольдса . Разложение Рейнольдса относится к разделению переменной потока (например, скорости ) на среднюю (усредненную по времени) составляющую ( ) и флуктуирующую составляющую ( ). Поскольку оператор среднего является оператором Рейнольдса , у него есть набор свойств. Одно из этих свойств состоит в том, что среднее значение флуктуирующей величины равно нулю . Таким образом, $u$ ${\overline {u}}$ $u^{\prime }$ $({\bar {u^{\prime }}}=0)$

u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x}})+u^{\prime }({\boldsymbol {x}},t)\,

, где - вектор положения. Некоторые авторы ^[2] предпочитают использовать вместо среднего термина (поскольку черта сверху иногда используется для обозначения вектора). В этом случае колеблющийся член представлен вместо . Это возможно, потому что два члена не появляются одновременно в одном и том же уравнении. Чтобы избежать путаницы, обозначения будут использоваться для обозначения мгновенного, среднего и флуктуирующего членов соответственно.

{\boldsymbol {x}}=(x,y,z)

U

{\bar {u}}

u^{\prime }

u

u,{\bar {u}},{\mbox{ and }}u^{\prime }

Свойства операторов Рейнольдса полезны при выводе уравнений RANS. Используя эти свойства, уравнения движения Навье – Стокса, выраженные в тензорной записи, имеют вид (для несжимаемой ньютоновской жидкости):

{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0

{\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}

где - вектор, представляющий внешние силы. $f_{i}$

Затем каждую мгновенную величину можно разделить на усредненные по времени и флуктуирующие компоненты, и получившееся уравнение усредненное по времени ^[b], чтобы получить:

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.

Уравнение импульса также можно записать как, ^[c]

{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.

При дальнейших манипуляциях это дает,

\rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right]

где, - тензор средней скорости деформации. ${\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$

Наконец, поскольку интегрирование по времени устраняет временную зависимость результирующих членов, необходимо исключить производную по времени, оставив:

\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].

Уравнения напряжения Рейнольдса [ править ]

Уравнение временной эволюции напряжения Рейнольдса определяется следующим образом: ^[3]

{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}=-{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}+{\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}}-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}

Это уравнение очень сложное. Если прослеживается, получается кинетическая энергия турбулентности . Последний член - скорость турбулентной диссипации. Все модели RANS основаны на приведенном выше уравнении. ${\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$ $\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}$

Заметки [ править ]

^ Истинное среднее время () переменной () определяется как ${\bar {X}}$ $x$
${\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.$
Чтобы это было четко определенным термином, предел ( ) должен быть независимым от начального условия в . В случае хаотической динамической системы , которой считаются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что система может иметь только один странный аттрактор , результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, если предположить, что предел существует (что имеет место для любой ограниченной системы, а скорости жидкости определенно равны), существует такой предел , что интегрирование от до ${\bar {X}}$ $t_{0}$ $T$ $t_{0}$ $T$ произвольно близко к среднему. Это означает, что для данных переходных процессов за достаточно большой промежуток времени среднее значение может быть вычислено численно с некоторой небольшой ошибкой. Однако не существует аналитического способа получить оценку сверху . $T$
^ Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненную и флуктуирующую составляющие дает,
${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0$
${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$
Усреднение этих уравнений по времени дает
${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0$
${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}.$
Обратите внимание, что нелинейные члены (например, ) можно упростить до ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ ${\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$
^ Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает
${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0$

Ссылки [ править ]

^ Рейнольдс, Осборн (1895). «К динамической теории несжимаемой вязкой жидкости и определению критерия» . Философские труды Королевского общества Лондона A . 186 : 123–164. Bibcode : 1895RSPTA.186..123R . DOI : 10,1098 / rsta.1895.0004 . JSTOR 90643 .
^ Tennekes, H .; Ламли, Дж. Л. (1992). Первый курс в турбулентности (14-е изд.). Кембридж, Массачусетс [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.
^ PY Chou (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентных колебаний» . Кварта. Прил. Математика . 3 : 38–54. DOI : 10,1090 / qam / 11999 .

[1] Истинное среднее время () переменной () определяется как ${\bar {X}}$ $x$
${\bar {X}}=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}x\,dt.$
Чтобы это было четко определенным термином, предел ( ) должен быть независимым от начального условия в . В случае хаотической динамической системы , которой считаются уравнения в турбулентных условиях, это означает, что система может иметь только один странный аттрактор , результат, который еще предстоит доказать для уравнений Навье-Стокса. Однако, если предположить, что предел существует (что имеет место для любой ограниченной системы, а скорости жидкости определенно равны), существует такой предел , что интегрирование от до ${\bar {X}}$ $t_{0}$ $T$ $t_{0}$ $T$ произвольно близко к среднему. Это означает, что для данных переходных процессов за достаточно большой промежуток времени среднее значение может быть вычислено численно с некоторой небольшой ошибкой. Однако не существует аналитического способа получить оценку сверху . $T$

[4] Разделение каждой мгновенной величины на ее усредненную и флуктуирующую составляющие дает,
${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}=0$
${\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}+\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}=\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$
Усреднение этих уравнений по времени дает
${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}=0$
${\overline {\frac {\partial \left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial t}}}+{\overline {\left({\bar {u}}_{j}+u_{j}^{\prime }\right){\frac {\partial \left({\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}}}}}={\overline {\left({\bar {f}}_{i}+f_{i}^{\prime }\right)}}-{\frac {1}{\rho }}{\overline {\frac {\partial \left({\bar {p}}+p^{\prime }\right)}{\partial x_{i}}}}+\nu {\overline {\frac {\partial ^{2}\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}.$
Обратите внимание, что нелинейные члены (например, ) можно упростить до ${\overline {u_{i}u_{j}}}$ ${\overline {u_{i}u_{j}}}={\overline {\left({\bar {u}}_{i}+u_{i}^{\prime }\right)\left({\bar {u_{j}}}+u_{j}^{\prime }\right)}}={\overline {{\bar {u_{i}}}{\bar {u}}_{j}+{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }+u_{i}^{\prime }{\bar {u}}_{j}+u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}={\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}+{\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$

[5] Это следует из уравнения сохранения массы, которое дает
${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}=0$

[2] Рейнольдс, Осборн (1895). «К динамической теории несжимаемой вязкой жидкости и определению критерия» . Философские труды Королевского общества Лондона A . 186 : 123–164. Bibcode : 1895RSPTA.186..123R . DOI : 10,1098 / rsta.1895.0004 . JSTOR 90643 .

[3] Tennekes, H .; Ламли, Дж. Л. (1992). Первый курс в турбулентности (14-е изд.). Кембридж, Массачусетс [ua]: MIT Press. ISBN 978-0-262-20019-6.

[6] PY Chou (1945). «О корреляциях скоростей и решениях уравнений турбулентных колебаний» . Кварта. Прил. Математика . 3 : 38–54. DOI : 10,1090 / qam / 11999 .

[а]